小學(xué)數(shù)學(xué)幾何直觀

1、一、什么是幾何直觀？幾何直觀指的是通過“幾何”的手段，達(dá)到“直觀”的目的，實(shí)現(xiàn)“描述和分析問題”的目標(biāo)。這里的“幾何”手段主要是指“利用圖形”，“直觀”的目的主要是將“復(fù)雜、抽象的問題變得簡明、形象”。因此，幾何直觀對學(xué)生而言是一種有效的學(xué)習(xí)方法，對教師而言是一種有效的教學(xué)手段，它是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著重要作用。第二，幾何直觀所利用的“圖形”主要是指點(diǎn)、線、面、體以及由以上四要素組成的其他幾何圖形，在小學(xué)階段主要有正方形、長方形、三角形、平等四邊形、梯形、圓以及線段、直線、射線等。幾何直觀所要描述和分析的問題，不僅可以是生活問題，而且可以是數(shù)學(xué)問題。第三，幾何直觀的意

2、義和價(jià)值主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：一是有助于把復(fù)雜、抽象的問題變得簡明、形象，二是有助于探索解決問題的思路并預(yù)測結(jié)果，三是有助于幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)。二、對于幾何直觀的認(rèn)識(shí)顧名思義，幾何直觀所指有兩點(diǎn)：一是幾何，在這里幾何是指圖形；二是直觀，這里的直觀不僅僅是指直接看到的東西(直接看到的是一個(gè)層次)，更重要的是依托現(xiàn)在看到的東西、以前看到的東西進(jìn)行思考、想象，綜合起來，幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和想象。它在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力。愛因斯：tH_(Einstein，18791955)曾說過一句名言：“想象力比知識(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是有限的，想象力概括著世界上的一切，推動(dòng)著進(jìn)

3、步，并且它是知識(shí)進(jìn)化的源泉。嚴(yán)格地說，想象力是科學(xué)研究中的實(shí)在因素?！?"數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！笨臻g形式最主要的表現(xiàn)就是“圖形”，除了美術(shù)，只有數(shù)學(xué)把圖形作為基本的、主要的研究對象。在數(shù)學(xué)研究、學(xué)習(xí)、講授中，不僅需要關(guān)注研究圖形的方法、研究圖形的結(jié)果，還需要感悟圖形給我們帶來的好處，幾何直觀就是在“數(shù)學(xué)一幾何一圖形”這樣一個(gè)關(guān)系鏈中讓我們體會(huì)到它所帶來的最大好處。這正如20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特(Hilbert，18621943)在其名著直觀幾何一書中所談到的，圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果。

4、幾何直觀在研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的價(jià)值由此可見一斑。 從另一個(gè)角度來說，幾何直觀是具體的，不是虛無的，它與數(shù)學(xué)的內(nèi)容緊密相連。事實(shí)上，很多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念，例如，數(shù)，度量，函數(shù)，以至于高中的解析幾何，向量，等等，都具有“雙重性”，既有“數(shù)的特征”，也有“形的特征”，只有從兩個(gè)方面認(rèn)識(shí)它們，才能很好地理解它們、掌握它們的本質(zhì)意義。也只有這樣，才能讓這些內(nèi)容、概念變得形象、生動(dòng)起來，變得更容易使學(xué)生接受并運(yùn)用他們?nèi)ニ伎紗栴}，形成幾何直觀能力，這也就是經(jīng)常說的“數(shù)形結(jié)合”。這次課程改革中，強(qiáng)調(diào)幾何變換不僅是內(nèi)容上的變化，也是設(shè)計(jì)幾何課程指導(dǎo)思想上的變化，這將是幾何課程發(fā)展的方向。讓圖形“動(dòng)起來”，在“

5、運(yùn)動(dòng)或變換”中來研究、揭示、學(xué)習(xí)圖形的性質(zhì)，這樣，一方面，加深了對圖形性質(zhì)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)；另一方面，對幾何直觀能力也是一種提升。由此也可以看到，在義務(wù)教育階段培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀是很重要的。 幾何直觀與“邏輯”“推理”也是不可分的。幾何直觀常常是靠邏輯支撐的。它不僅是看到了什么?而是通過看到的圖形思考到了什么?想象到了什么?這是數(shù)學(xué)非常重要而有價(jià)值的思維方式。幾何直觀會(huì)把看到的與以前學(xué)到的結(jié)合起來，通過思考、想象，猜想出一些可能的結(jié)論和論證思路，這也就是合情推理，它為嚴(yán)格證明結(jié)論奠定了基礎(chǔ)。 有些數(shù)學(xué)研究的對象是可以“看得見、摸得著”的，而很多數(shù)學(xué)研究對象是“看不見，摸不著”的，是抽象的，這是數(shù)學(xué)的

6、一個(gè)基本特點(diǎn)。但是，數(shù)學(xué)中那些抽象的對象絕不是無根之木、無源之水，它的“根和源”一定是具體的。例如，我們看不到“七維空間”，但是，我們知道“白色的光是由7種顏色的光組成的：紅、橙、黃、綠、青、藍(lán)、紫?！边@就可以是理解“七維空間”的“可以看到的源”，是幫助我們聯(lián)想的“實(shí)物”和基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)中，需要依托“一維、二維、三維空間”去想象和思考“高維空間”的問題，這就是幾何直觀或幾何直觀能力：幾何直觀在研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中是非常重要的，它也可以看做是最基本的能力，希望數(shù)學(xué)教師重視它，在日常教學(xué)中幫助學(xué)生不斷提升這種能力。三、對幾何直觀的認(rèn)識(shí)與教學(xué)思考 摘 要：義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）明確提出在數(shù)學(xué)

7、教學(xué)中要初步形成幾何直觀，強(qiáng)調(diào)了幾何直觀在學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念、解決問題過程中的地位和作用。讓學(xué)生懂得利用幾何圖形表征數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)和分析、解決數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的，也是最有效的方法之一，并能把這種方法實(shí)踐于學(xué)習(xí)中。 關(guān)鍵詞：直觀 幾何直觀 解決問一、對幾何直觀的認(rèn)識(shí) 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）明確提出在數(shù)學(xué)教學(xué)中要初步形成幾何直觀，強(qiáng)調(diào)幾何直觀在學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念、解決實(shí)際問題過程中的地位和作用。 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果?！本唧w說來，幾何

8、直觀是學(xué)生通過幾何學(xué)習(xí)，在掌握幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征、空間關(guān)系以及度量的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)建立和操作平面或空間內(nèi)物體的心智表征，形成準(zhǔn)確感知和洞察客觀世界的能力；能從空間形式和關(guān)系的角度對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行抽象和推理論證的能力。正如弗萊登塔爾所說，“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦?！边@也與康德的“缺乏概念的直觀是空虛的，缺乏直觀的概念是盲目的”觀念是相同的。 徐利治先生提出，直觀就是借助于經(jīng)驗(yàn)、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí)，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知。換言之

9、，通過直觀能夠建立起人對自身體驗(yàn)與外物體驗(yàn)的對應(yīng)關(guān)系。比如，代數(shù)里的列方程解決行程問題，在思考的時(shí)候，經(jīng)常畫出一個(gè)示意圖，一條線代表一段路程，什么時(shí)間走到哪兒，另外一個(gè)人從另一個(gè)方向什么時(shí)間走到哪兒。這個(gè)示意圖就是一個(gè)直觀的模型，它幫助我們思考。比如，要說明三角形內(nèi)角和是180°，你會(huì)任意畫一個(gè)三角形，聯(lián)系平角是180°的直觀印象，想辦法怎么把這3個(gè)角適當(dāng)?shù)匕岚峒易兂梢粋€(gè)平角，這一思維的過程中也利用了直觀。 需要強(qiáng)調(diào)的是，幾何直觀是指利用圖形來闡釋數(shù)學(xué)對象的含義，不能簡單地把所有的直觀手段都看做幾何直觀。 二、幾何直觀的價(jià)值追求 1.借助幾何圖形，理解數(shù)學(xué)概念。 人們在認(rèn)識(shí)

10、和理解抽象數(shù)學(xué)概念的過程中往往要使用視覺形象來表征數(shù)學(xué)問題，以便更加直觀、清晰地了解知識(shí)的實(shí)質(zhì)和關(guān)鍵，達(dá)到理解和接受抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法的目的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于學(xué)生受到知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思維水平的影響和限制，經(jīng)常會(huì)遇到一些很難用語言解釋清楚的概念或性質(zhì)，這時(shí)，圖形直觀往往會(huì)成為非常有效的表達(dá)工具。小學(xué)數(shù)學(xué)中的大多數(shù)概念、性質(zhì)、法則等數(shù)學(xué)知識(shí)都可以利用幾何圖形來幫助理解。例如，五年級(jí)下冊的分?jǐn)?shù)的意義教材呈現(xiàn)了四幅圖要求用分?jǐn)?shù)表示涂色部分，引導(dǎo)學(xué)生直觀地理解分?jǐn)?shù)的意義。&nbsp2.借助幾何圖形，分析數(shù)學(xué)問題。 幾何直觀是創(chuàng)造性思維能力的體現(xiàn)，在科學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程中起到不可磨滅的作用。很多數(shù)學(xué)問題的

11、解決，其靈感往往來源于幾何直觀，人們總是力求把要研究的問題盡量變成可用幾何直觀呈現(xiàn)的問題，借助具體可感的幾何形象來加強(qiáng)學(xué)生對信息及其關(guān)系的理解，幫助他們從整體上把握問題，提示問題的轉(zhuǎn)化方法，從而獲得真正的解題思路。正如波利亞所說，圖形不僅是幾何題目的對象，而且對于幾何一開始沒什么關(guān)系的題目，圖形也是一種重要的幫手。從某種意義上說，幾何直觀對啟迪學(xué)生解題策略的作用時(shí)顯而易見的。解題過程中，個(gè)體借助示意圖或線段圖來表征數(shù)學(xué)問題情景的成分和結(jié)構(gòu)，達(dá)到對數(shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)的理解，并進(jìn)而為解題者提供一些未經(jīng)解釋或只要通過形式轉(zhuǎn)換就可以被察覺和使用的信息，以約束認(rèn)知活動(dòng)的范圍，促進(jìn)問題的解決。例如，下圖是純文字

12、敘述的問題的幾何直觀表征，學(xué)生借助圖形很容易發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，充分體會(huì)到畫示意圖分析數(shù)學(xué)問題對探尋解題思路的重要作用。 3.借助幾何圖形，探索數(shù)學(xué)規(guī)律。 抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，為學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)主動(dòng)思考的機(jī)會(huì)。學(xué)生能夠從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程。例如，蘇教版教材安排一道思考題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和。 在探索這一數(shù)學(xué)規(guī)律時(shí)，我們可以先出示正方形和長方形，讓學(xué)生計(jì)算長方形和正方形的內(nèi)角和，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)它們的內(nèi)角和是360°。繼而，可以提問：那么一般的四邊形的內(nèi)角和是多少度呢？有規(guī)律嗎？學(xué)生猜測可能也是360

13、6;，并說可以畫一個(gè)任意四邊形，想辦法算一算。結(jié)果有的學(xué)生量了四個(gè)內(nèi)角相加后發(fā)現(xiàn)是360°，有的把這個(gè)任意四邊形的對角線相連，剛好把它分成了兩個(gè)三角形，所以四邊形的內(nèi)角和是360°。 從這一案例的教學(xué)中可以看出，長方形和正方形圖為學(xué)生計(jì)算四邊形內(nèi)角和提供了預(yù)測的基礎(chǔ)，而將四邊形轉(zhuǎn)化成三角形計(jì)算內(nèi)角和則是幾何直觀在解決問題的過程中的運(yùn)用。 學(xué)生在解決問題時(shí)，往往會(huì)習(xí)慣性地對問題作出直覺的猜測，也正是因?yàn)檫@種直覺或猜想以及追求真理的愿望，引領(lǐng)學(xué)生展開進(jìn)一步的探究，并最終解決問題。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要充分發(fā)揮幾何直觀在解決問題過程中的作用，注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷利用幾何直觀把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成

14、簡單問題的過程，特別是一些可以利用直觀來解決的問題，不必急于給出解決問題的方法，而要鼓勵(lì)學(xué)生借助直觀提出猜想或猜測，并盡可能地找出解決問題的方法或直接利用直觀手段來解決問題，從而幫助學(xué)生不斷積累利用直觀手段進(jìn)行思考的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展幾何直觀的能力和解決問題的能力。 三、培養(yǎng)幾何直觀能力的教學(xué)策略 1.重視數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合。 數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的基本對象。華羅庚先生說：“形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)缺形時(shí)少直觀。”借助形的知識(shí)研究數(shù)的問題，可以使問題變得更加直觀，也容易發(fā)現(xiàn)不同的解決問題的方法。 例如，蘇教版六年級(jí)下冊“轉(zhuǎn)化的策略”中安排了一道計(jì)算題： 實(shí)際教學(xué)時(shí)，可以分兩個(gè)層次展開，培養(yǎng)幾何直觀能力。第一層次：

15、指導(dǎo)看圖，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化。呈現(xiàn)算式后，教師可以給學(xué)生一些思考的時(shí)間和空間，學(xué)生一般會(huì)應(yīng)用通分的方法，轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算。這時(shí)，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生思考其他的方法，當(dāng)學(xué)生思維受阻時(shí)，出示直觀圖，引導(dǎo)學(xué)生把各個(gè)分?jǐn)?shù)在直觀圖中表示出來，讓學(xué)生在畫示意圖的過程中，體悟計(jì)算的簡便方法。第二層次：讓學(xué)生繼續(xù)在圖上分下去，寫出算式并進(jìn)行計(jì)算。 2.重視文字與圖形的合理互譯。 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，有一些以文字形式呈現(xiàn)的問題可以翻譯成符號(hào)語言或者圖形語言，以幫助學(xué)生更好地理解問題，探索解決問題的思路。 例如，教學(xué)“倒推的策略”，讓學(xué)生解決下面的問題：王大媽有一些雞蛋，第一天賣出全部雞蛋的一半多2個(gè)，還剩16個(gè)雞蛋，王

16、大媽原來有多少個(gè)雞蛋？很多學(xué)生往往會(huì)這樣解決：（16-2）×2?？梢詥l(fā)學(xué)生畫出如下的示意圖： 在畫圖的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生將題目中的數(shù)量關(guān)系與直觀圖形的意義對應(yīng)起來，找到正確的解題思路，初步體會(huì)示意圖對解決問題的作用。列式解答后，讓學(xué)生看圖解釋每一步算式的含義，再一次借助圖形直觀闡釋數(shù)量關(guān)系的含義，理解列式的依據(jù)。學(xué)生在這一過程中也能體會(huì)幾何直觀的價(jià)值。 經(jīng)常性地利用圖形描述文字信息，利用直觀表征抽象的數(shù)學(xué)概念，有助于學(xué)生積累更豐富的幾何直觀的經(jīng)驗(yàn)。 感悟思想，數(shù)學(xué)教學(xué)的理性追求 摘 要：教師對學(xué)科數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的窄化、功利化，是數(shù)學(xué)教學(xué)枯燥乏味的重要成因。把握數(shù)學(xué)基本思想尤為重要。教學(xué)中，

17、教師必須認(rèn)真研讀和整體把握教材，挖掘數(shù)學(xué)基本思想并使之明朗化；必須悉心演繹課堂，適時(shí)點(diǎn)化學(xué)生，使之經(jīng)歷知識(shí)“再創(chuàng)造”，充分感悟數(shù)學(xué)思想；必須實(shí)施反思性、實(shí)踐性作業(yè)，促使學(xué)生在活學(xué)活用中內(nèi)化、積淀數(shù)學(xué)思想。 關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想 顯化 點(diǎn)化 內(nèi)化 讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的魅力，感受數(shù)學(xué)思想的力量，理應(yīng)成為數(shù)學(xué)教師的教學(xué)訴求。作為數(shù)學(xué)教師，要從潛心研讀數(shù)學(xué)教材、悉心演繹課堂、創(chuàng)新作業(yè)形式等途徑引導(dǎo)學(xué)生感悟、內(nèi)化和積淀數(shù)學(xué)基本思想。 一、潛心研讀教材，顯化數(shù)學(xué)思想 小學(xué)數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)思想。如果說數(shù)學(xué)知識(shí)是寫在教材上的一條明線，那么數(shù)學(xué)思想就是隱含其中的一條暗線。明線容易理解，暗線不易看明。教師只

18、有領(lǐng)悟并掌握數(shù)學(xué)思想方法，才能從整體上、本質(zhì)上理解教材，只有深入挖掘教材中的數(shù)學(xué)基本思想，才能科學(xué)地、靈活地設(shè)計(jì)教學(xué)方法，使學(xué)生領(lǐng)悟、把握數(shù)學(xué)基本思想。 蘇教版六年級(jí)上冊“用假設(shè)的策略解決實(shí)際問題”例2是“雞兔同籠”問題，教材是這樣呈現(xiàn)的：首先用圖示的方法，引導(dǎo)學(xué)生想一想、畫一畫；然后采用列表的方法，引導(dǎo)學(xué)生逐層逼近；最后使用問句的形式，引導(dǎo)學(xué)生打開思維另辟蹊徑。我認(rèn)為這部分教材至少蘊(yùn)涵了三種數(shù)學(xué)思想：其一，幾何直觀的思想，“雞兔同籠”問題對于小學(xué)生而言是比較抽象的，如果能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)量關(guān)系借助于直觀的圖形顯現(xiàn)出來，可以降低思維的難度，促進(jìn)學(xué)生的理解。其二，函數(shù)的思想，張景中教授認(rèn)為小學(xué)階段有

19、三種重要的數(shù)學(xué)思想，函數(shù)思想首當(dāng)其沖。教材引導(dǎo)學(xué)生列表，從假設(shè)全部是大船開始，然后調(diào)整大船的只數(shù)，最終得出結(jié)果。其實(shí)，這里的大船只數(shù)就是自變量，而小船只數(shù)和坐船的人數(shù)就是因變量，體現(xiàn)了函數(shù)思想。其三，假設(shè)的思想，這也是數(shù)學(xué)中重要的思想。無論是畫圖、列表，還是解方程都離不開它。當(dāng)然，如果細(xì)究下去還有其他的一些數(shù)學(xué)思想，如區(qū)間套思想、逐步逼近思想等等，這里不再贅述。 數(shù)學(xué)基本思想的感悟不可能畢其功于一役，而應(yīng)通過多種形式反復(fù)出現(xiàn)，促使學(xué)生逐步感悟。譬如分類的思想，在數(shù)學(xué)各個(gè)內(nèi)容領(lǐng)域中都有所滲透，教師要有意識(shí)地將隱藏在文本背后的思想挖掘和顯現(xiàn)出來。如“數(shù)與代數(shù)”部分涉及：數(shù)可以分為負(fù)數(shù)、0和正數(shù)，自

20、然數(shù)可分為奇數(shù)和偶數(shù)，分?jǐn)?shù)可以分為真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)等?！皥D形與幾何”部分涉及：0°到180°的角可以分為銳角、直角和鈍角，三角形按角可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，平面圖形可以分為由曲線圍成的圖形和由線段圍成的圖形。“統(tǒng)計(jì)與概率”部分涉及：分類整理統(tǒng)計(jì)，事件發(fā)生的可能性可分為一定、可能和不可能三種情況。對于這些，教師要通盤考慮，整體把握，引導(dǎo)學(xué)生就為什么要分類，如何確立分類的標(biāo)準(zhǔn)，怎么分類進(jìn)行追問，促使學(xué)生逐步感悟分類思想的深刻內(nèi)涵。 二、悉心演繹課堂，點(diǎn)化數(shù)學(xué)思想 對于數(shù)學(xué)基本思想，學(xué)生不可能像吃餅?zāi)菢右豢谝豢诘赝滔氯?，需要場境的催化和靈感的不期而至。教師要善于

21、做“砸向牛頓的蘋果”，促使學(xué)生深入思考，豁然開朗，從而把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)與核心。 在概念的生成處點(diǎn)化。數(shù)學(xué)概念往往是剝離了生活的感性材料，抽象概括出其數(shù)和形的本質(zhì)特征。史寧中教授認(rèn)為數(shù)學(xué)基本思想包括抽象、推理、建模這三類，抽象解決了數(shù)學(xué)的入口問題。如果僅僅局限于告訴學(xué)生幾個(gè)數(shù)學(xué)概念，那么對于學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成是不利的，甚至是有害的。因此，在教學(xué)中，我們必須讓學(xué)生充分經(jīng)歷概念是如何從生活現(xiàn)實(shí)走向數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化的過程。譬如圓的認(rèn)識(shí)一課，我是這樣引導(dǎo)學(xué)生利用聚化思維實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的。先依次出現(xiàn)幾種能形成圓的方法：第一個(gè)層次，教師用圓規(guī)在黑板上畫一個(gè)圓，學(xué)生在自己的草稿本上畫一個(gè)圓，比較兩者的共同點(diǎn)，

22、明白畫圓要先固定一個(gè)點(diǎn)，再拉開圓規(guī)兩腳，最后旋轉(zhuǎn)一周。第二個(gè)層次，視屏觀看在操場上畫一個(gè)更大的圓。其一是體育老師以自己為中心用灰勺旋轉(zhuǎn)一周畫一個(gè)圓；其二是固定繩子一端，拉直繩子，旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)圓，追問：如果要畫得更大，可以怎么辦？再次比較這兩種畫圓方法的共同點(diǎn)。第三個(gè)層次，畫出無形的圓，其一是用一根一端系著小球的繩子甩動(dòng)一周，想一想小球走過的路線是什么；其二是觀察時(shí)鐘上秒針旋轉(zhuǎn)一周針尖留下的痕跡，再將這一層次的畫法與前兩個(gè)層次進(jìn)行比較。在這三個(gè)層次的基礎(chǔ)上，聚焦分析：這三種方法都畫出了一個(gè)圓，他們有什么共同的地方？進(jìn)而揭示出圓的三個(gè)要素：定點(diǎn)、定長、旋轉(zhuǎn)一周。就這樣，不斷去除圓的非本質(zhì)屬性，

23、直逼知識(shí)的核心部分，學(xué)生對于圓的認(rèn)識(shí)逐步清晰和深刻。 在思維的伸展處點(diǎn)化。面積是多少是蘇教版五年級(jí)下冊的內(nèi)容，它是學(xué)生從學(xué)習(xí)長方形、正方形面積到學(xué)習(xí)其他平面圖形面積的過渡。這部分內(nèi)容既起著橋梁的作用，又滲透著轉(zhuǎn)化、區(qū)間等重要的數(shù)學(xué)思想。如果能把這部分內(nèi)容教扎實(shí)、教透徹，對于面積的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。下面我以計(jì)算銀杏樹葉的面積為例，談?wù)勛约旱慕虒W(xué)。 首先，教師放手讓學(xué)生估計(jì)，并追問其方法；其次，引導(dǎo)學(xué)生思考樹葉面積的范圍，即最少是整格的個(gè)數(shù)，最多是將所有不足一格的都當(dāng)成整格來計(jì)數(shù)；再次，研究一般的估計(jì)方法，即把所有不滿格的都當(dāng)成半格來計(jì)數(shù)；最后，思考發(fā)現(xiàn)更準(zhǔn)確的估計(jì)方法，也就是將邊長1厘米的正方形劃分

24、成更多相等的小正方形。在此基礎(chǔ)上，討論有沒有更簡潔的估計(jì)方法，從而發(fā)現(xiàn)軸對稱圖形的巧妙數(shù)法。以往教學(xué)，教師大都采用“掐頭去尾燒中段”的方法，局限于教學(xué)生“把不足一格的都當(dāng)成半格”的方法來進(jìn)行估計(jì)。而上述教學(xué)，學(xué)生對于為什么這么估計(jì)是清楚的，因?yàn)榻處熞龑?dǎo)他們探究了樹葉的面積范圍（區(qū)間思想）；學(xué)生對于怎么估計(jì)是清楚的，因?yàn)樗麄兗戎莱Ｒ?guī)方法，又知道不斷細(xì)分再估計(jì)的方法（不斷逼近的極限思想），還知道簡化估計(jì)的方法。 三、精心設(shè)計(jì)作業(yè)，內(nèi)化數(shù)學(xué)思想 設(shè)計(jì)反思型作業(yè)。杜威認(rèn)為人的思維中最重要的就是反省思維，只有經(jīng)過深入地反思，人才有可能形成智慧。同樣，要使數(shù)學(xué)思想真正內(nèi)化為學(xué)生的智慧就離不開反省，因而設(shè)

25、計(jì)反思性作業(yè)顯得特別有意義。將數(shù)學(xué)作業(yè)理解為抄概念、做題目，這是對作業(yè)內(nèi)涵認(rèn)識(shí)的異化。反思性作業(yè)，也就是讓學(xué)生對剛剛學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行回顧反思，寫下自己的得與失、困惑與質(zhì)疑。譬如在教學(xué)了平行四邊形面積、三角型面積、梯形面積之后，我們便設(shè)計(jì)了這樣的作業(yè)：如果用其中一種圖形的面積公式概括其他幾種，你認(rèn)為哪種最為合適？學(xué)生經(jīng)過比較之后發(fā)現(xiàn)：梯形的面積公式最具有概括性，因?yàn)槠叫兴倪呅慰梢钥闯缮系缀拖碌紫嗟鹊奶菪?，三角形又可以看成上底?的梯形。有了這樣的反思過程，學(xué)生對于運(yùn)動(dòng)變換的思想有了一定的認(rèn)識(shí)。 設(shè)計(jì)實(shí)踐性作業(yè)。數(shù)學(xué)思想也要在實(shí)踐中體察和感悟。教師要引導(dǎo)學(xué)生走出書齋，關(guān)注實(shí)踐，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)

26、思想。在教學(xué)中，我一方面布置學(xué)生寫數(shù)學(xué)日記，促使他們用數(shù)學(xué)的眼睛來觀察生活，洞察數(shù)學(xué)的思想；另一方面，我設(shè)計(jì)一些富有挑戰(zhàn)性的問題，促使學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，內(nèi)化數(shù)學(xué)思想。在學(xué)生學(xué)習(xí)了長方體的體積之后，我設(shè)計(jì)了這樣的實(shí)踐性作業(yè)：測量一個(gè)土豆的體積，并思考為什么可以這么做。這是一個(gè)富有挑戰(zhàn)性的實(shí)踐性活動(dòng)，也是轉(zhuǎn)化思想活學(xué)活用的體現(xiàn)。四、如何發(fā)展學(xué)生的“幾何直觀”幾何直觀是數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)里提出的十個(gè)核心概念之一，標(biāo)準(zhǔn)里提出幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助它可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作

27、用。 幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知。小學(xué)生的思維水平正處于具體運(yùn)算階段向形式運(yùn)算階段過渡，離不開具體事物的支持。幾何直觀憑借圖形的直觀性特點(diǎn)將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言有機(jī)地結(jié)合起來，抽象思維同形象思維結(jié)合起來，充分展現(xiàn)問題的本質(zhì)，能夠幫助學(xué)生打開思維的大門，開啟智慧的鑰匙，突破數(shù)學(xué)理解上的難點(diǎn)。 “數(shù)無形不直觀，形無數(shù)難入微”，“數(shù)形結(jié)合”的思想是重要的數(shù)學(xué)思想，其實(shí)質(zhì)是使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙和諧地結(jié)合起來，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中特別注重這種思想的滲透，借助幾何直觀，可以把數(shù)形結(jié)合思想更好地反映出來。通過圖形的直

28、觀性質(zhì)來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，實(shí)現(xiàn)代數(shù)問題與圖形之間的互相轉(zhuǎn)化，相互滲透，不僅使解題簡捷明快，還開拓解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟了條重要的途徑。借助“形”的直觀，能促進(jìn)小學(xué)生形成從“數(shù)”和“形”的角度把“數(shù)和形”結(jié)合起來考慮問題的意識(shí)，有機(jī)滲透數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想。例如：教學(xué)“連除兩步計(jì)算問題”時(shí)，學(xué)校圖書室買來200本新書，放在2個(gè)書架上，每個(gè)書架有4層。平均每層放了多少本書?最初可以出示書架的實(shí)物模刑，逐步用長方形的圖示代替來說明解決問題的過程。先算每個(gè)書架放了幾本?先算兩個(gè)書架共有幾層?先算兩個(gè)書架的一層共放幾本書?以數(shù)形結(jié)合的方式

29、幫助學(xué)生感悟用連除兩步計(jì)算解決問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)。 直觀是抽象思維問題的信息源，又是途徑信息源，它不僅為抽象思維提供信息，而且由于直觀形象在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中鮮明性強(qiáng)，可以多思路、反復(fù)地給抽象思維以技巧。通過圖形的直觀性質(zhì)來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，實(shí)現(xiàn)代數(shù)問題與圖形之間的互相轉(zhuǎn)化，相互滲透，不僅使解題簡捷明，還開拓解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟了條重要的途徑。直觀圖形的使用，不但可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并理解數(shù)學(xué)結(jié)論，而且有利于掌握數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和空間觀念。 以下通過線段射線直線這一課談?wù)勅绾伟l(fā)展學(xué)生的幾何直觀： 一、讓學(xué)生在主動(dòng)參與中獲取對圖

30、形的認(rèn)識(shí)教學(xué)中關(guān)注學(xué)生的基本生活經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)歷，注重引導(dǎo)學(xué)生把生活中對圖形的感受與有關(guān)知識(shí)建立聯(lián)系，在學(xué)生積極主動(dòng)的參與學(xué)習(xí)中。如在直線與線段教學(xué)中通過一組圖片，視覺上給同學(xué)們直觀的認(rèn)識(shí)，引出直線，讓學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)直線的特點(diǎn)，尤其直線是一個(gè)理想化的概念，幾何直觀的感受凸顯的更加重要。學(xué)習(xí)直觀幾何，就像書上所說采用學(xué)生喜愛的“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、擺一擺、量一量、畫一畫”等具體、實(shí)際的活動(dòng)方式，引導(dǎo)學(xué)生通過親自觸摸、觀察、測量、制作和實(shí)驗(yàn)，把視覺、聽覺、觸覺、動(dòng)覺等協(xié)同起來，強(qiáng)有力地促進(jìn)心理活動(dòng)的內(nèi)化，從而使學(xué)生掌握圖形特征，形成空間觀念。 二、重視對學(xué)生識(shí)圖、作圖能力培養(yǎng) 圖形是幾何

31、的靈魂，識(shí)圖、作圖更是學(xué)習(xí)幾何最基本的素養(yǎng)，在講授線段射線直線表示是親自示范，強(qiáng)調(diào)圖形名稱及細(xì)節(jié)和注意，讓學(xué)生在實(shí)際問題中動(dòng)手去作圖，同桌之間互相糾正，比一比誰畫的更好，學(xué)生們在畫圖時(shí)無形會(huì)更加認(rèn)真、標(biāo)準(zhǔn)，在彼此糾正過程再次鞏固基本的畫圖方法，一舉兩得。 三、利用利用多媒體信息技術(shù) 多媒體技術(shù)除了給學(xué)生展現(xiàn)豐富多彩的圖形世界外，也多了一條解決問題的途徑。學(xué)生在動(dòng)手探究過一點(diǎn)有多少條直線時(shí)，雖然發(fā)現(xiàn)有無數(shù)條直線這一結(jié)論，但多媒體為學(xué)生展示其不易想像的圖形，擴(kuò)大其空間視野，真正體會(huì)過一點(diǎn)有無數(shù)條直線。 四、利用幾何直觀培養(yǎng)學(xué)生思考問題的能力。 平面幾何的許多性質(zhì)、定義等學(xué)生很難記憶清楚，通過指導(dǎo)學(xué)

32、生利用圖形來記憶就比較容易解決問題，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生用圖形的意識(shí)。如射線、線段的定義在圖形的演示下，直觀、生動(dòng)再現(xiàn)圖形形成的軌跡，利于概念的生成和記憶。在思考數(shù)學(xué)問題時(shí)，能畫圖盡量畫圖，目的是把抽象的東西直觀的表示出來，把本質(zhì)的東西顯現(xiàn)出來，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是，應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成一種用直觀的圖形語言，刻畫、思考問題的習(xí)慣。利用圖形來加強(qiáng)對概念、定理等的理解，實(shí)際上就是幾何直觀在發(fā)揮優(yōu)勢，也是培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想。幾何直觀能力是利用圖形生動(dòng)形象地描述數(shù)學(xué)問題，直觀地反映和揭示思考、討論問題的思路，揭示豐富多彩的數(shù)學(xué)思想。培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力，不僅是新教材的要求，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的要求，同時(shí)借助幾何直觀進(jìn)行

33、教學(xué)，可以形象生動(dòng)地展現(xiàn)問題的本質(zhì)，有助于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，有機(jī)滲透數(shù)學(xué)思想方法的同時(shí)，提高學(xué)生的思維能力和解決問題的能力。五、幾何直觀在教學(xué)中的作用及其應(yīng)用 圖形與幾何是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要模塊之一。幾何直觀是數(shù)學(xué)研究及數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方法之一。幾何直觀是一種創(chuàng)造性思維，是一種很重要的科學(xué)研究方式，在科學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中起到不可磨滅的作用。在平面幾何教學(xué)中，巧妙使用直觀教具，采取觀察比較歸納總結(jié)等方法，既能形象地解決教學(xué)上的難點(diǎn)，又能培養(yǎng)學(xué)生思考、探索、創(chuàng)新的能力，使教學(xué)收到良好的效果?！坝脠D形說話”，用圖形描述問題，用圖形討論問題，這是一種基本的數(shù)學(xué)素質(zhì)。培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力，是新教材的要求，也是

34、提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的要求。 幾何直觀所指有兩點(diǎn)：一是幾何，在這里幾何是指圖形；一是直觀，這里的直觀不僅僅是指直接看到的東西（直接看到的是一個(gè)層次），更重要的是依托現(xiàn)在看到的東西、以前看到的東西進(jìn)行思考、想象，幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考、想象。它在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力。在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中都應(yīng)該重視幾何直觀，培養(yǎng)幾何直觀能力應(yīng)該貫穿義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的始終。 1、 觀察生活，培養(yǎng)學(xué)生觀察能力 在現(xiàn)實(shí)生活中存在著無數(shù)的幾何圖形，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，總結(jié)圖形的特點(diǎn)，性質(zhì)。積累生活經(jīng)驗(yàn)。培養(yǎng)圖感，這一定要讓學(xué)生有一定的幾何圖形的積累，培養(yǎng)感覺，這需要一定質(zhì)量的訓(xùn)練，讓學(xué)生形成一定量

35、的基本圖形，及基本結(jié)論，基本題型。 2、在教學(xué)中使學(xué)生逐步養(yǎng)成畫圖習(xí)慣，重視學(xué)生畫圖能力的培養(yǎng) 首先讓學(xué)生掌握一些基本圖形的畫法，如幾何體的三視圖；平面、異面直線的位置關(guān)系、直線與平面的位置關(guān)系（平行與垂直）、空間四邊形、三棱錐、長方體正方體等直觀圖的畫法，要求每一個(gè)學(xué)生都要畫出圖形的空間感。要求學(xué)生畫出標(biāo)準(zhǔn)常見函數(shù)圖像：正比例函數(shù)、發(fā)比例函數(shù)、 二次函數(shù)等。在日常教學(xué)中，在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，幫助學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣是非常重要的。可以通過多種途徑和方式使學(xué)生真正體會(huì)到畫圖對理解概念、尋求解題思路上帶來的便利。在教學(xué)中應(yīng)有這樣的導(dǎo)向：能畫圖時(shí)盡量畫，其實(shí)質(zhì)是將相對抽象的思考對象“圖形化”，盡

36、量把問題、計(jì)算、證明等數(shù)學(xué)的過程變得直觀，直觀了就容易展開形象思維，無論計(jì)算還是證明，邏輯的、形式的結(jié)論都是在形象思維的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。 3、充分尊重學(xué)生的主體地位，學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的全過程 采用直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證等方法認(rèn)識(shí)和探索幾何圖形及其性質(zhì)。讓學(xué)生經(jīng)歷了“大膽想象操作轉(zhuǎn)化驗(yàn)證猜想”這一過程，以圖形間內(nèi)在聯(lián)系為線索，以未知向已知轉(zhuǎn)化為基本方法開展學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)解決問題。借助于經(jīng)驗(yàn)、觀察或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想像能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力、以及幾何直觀能力，從而建立起人對自身體驗(yàn)與外物體驗(yàn)的對應(yīng)關(guān)系。 4、注重模型的作用，

37、讓學(xué)生參與模型制作 新課標(biāo)在幾何數(shù)學(xué)中強(qiáng)調(diào)幾何學(xué)習(xí)的直觀性，強(qiáng)調(diào)實(shí)物、模型對幾何學(xué)習(xí)的作用。課外讓學(xué)生親手制作立體幾何模型，動(dòng)手做一做，如利用積木搭建不同的幾何圖形等，可以更直接的感受空間幾何圖形的特征。發(fā)展學(xué)生的空間想象力促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。5、 利用現(xiàn)代教學(xué)手段，給學(xué)生展現(xiàn)豐富多彩的圖形世界 借助于幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路，幾何直觀是認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ), 有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。教師充分利用多媒體課件演示，形象、直觀，使學(xué)生得出結(jié)論，通過觀察、交流、討論等形式，發(fā)展學(xué)生思維和表達(dá)能力，這樣教學(xué)對于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，發(fā)展學(xué)生解決生活中實(shí)際問題的能力都有重要作用。只要我們做個(gè)有心人，幫助學(xué)生建

38、立起實(shí)物與概念間的聯(lián)系，化抽象為具體，就可以促使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，也能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣 6、 培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣。 先對幾何問題的結(jié)果進(jìn)行一定的推測，可能用什么知識(shí)來解決。審題時(shí)注意結(jié)論和條件的關(guān)系。如給你一個(gè)幾何條件，如給你等腰三角形底邊上的高，你會(huì)想到什么有關(guān)的知識(shí)。 7、 重視交流合作，師生互動(dòng)、生生交流，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力 新課程標(biāo)準(zhǔn)提倡學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，在課堂教學(xué)中主張以學(xué)生為主體，注重師生互動(dòng)和生生互動(dòng)。為了突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，教師在引導(dǎo)學(xué)生自主探索后，讓學(xué)生交流，自主探究平行四邊形的面積計(jì)算方法。小組同學(xué)發(fā)揮合作精神，紛紛積極主動(dòng)參與活動(dòng)中來，有序參與小組討論活

39、動(dòng)。充分尊重學(xué)生的主體地位，學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的全過程，采用直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證等方法認(rèn)識(shí)和探索幾何圖形及其性質(zhì)。 總之，利用直觀幾何教學(xué)法可以把數(shù)學(xué)中抽象難懂的概念、定理 直觀的展示在學(xué)生面前，充分表達(dá)它們的具體含義，并在解題中靈活運(yùn)用，使數(shù)學(xué)的教與學(xué)變得形象生動(dòng)，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺和數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）中此次課標(biāo)的最大改變是：“雙基”變“四基”。四基：數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)“六個(gè)核心詞”變“十個(gè)核心詞”十個(gè)核心詞：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能

40、力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)其中：幾何直觀、運(yùn)算能力、模型思想、創(chuàng)新意識(shí)是新加上去的。下面我們一一對十個(gè)核心詞進(jìn)行講解：一、數(shù)感數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。如同球員的球感，歌手的樂感一樣（姚明是大家都比較熟悉的，他在NBA賽場上，大家都看到他一個(gè)個(gè)漂亮的投球、一個(gè)個(gè)漂亮的動(dòng)作，這都是跟他的球感分不開的；還有歌手，之所以成名，是因?yàn)樗麄兙哂休^好的音樂細(xì)胞，具有較強(qiáng)的音樂感分不開的，如果一個(gè)人，五音不全，也就是說他缺少音樂感，你想說他要成為一個(gè)歌手那就是做白日夢一樣，就是讓他唱

41、一首普通的歌曲都很難的。）簡單、通俗地說，數(shù)感就是數(shù)的感覺。教學(xué)數(shù)數(shù)、數(shù)的基數(shù)意義與序數(shù)意義、數(shù)序與數(shù)的大小比較都有助于形成數(shù)感。數(shù)感培養(yǎng)實(shí)踐的誤區(qū)誤區(qū)之一：數(shù)感是與生俱來的，后天無法養(yǎng)成（龍生龍、鳳生鳳、老鼠生來挖地洞；貓生貓、狗生狗、小偷兒子三只手的思想）     不可否認(rèn)，某些數(shù)學(xué)家天生就有很強(qiáng)烈的數(shù)感，10歲的高斯毫不費(fèi)勁地完成了等差數(shù)列（比如由1到100的自然數(shù)）求和，得益于他對計(jì)算方法的直接把握；12歲的帕斯加獨(dú)立完成了三角形內(nèi)角和定理的證明，一直為人們津津樂道。瑞士著名的伯努利家族在三代人中產(chǎn)生了八位數(shù)學(xué)家，我國南北朝祖氏父子、清朝梅文鼎祖

42、孫的數(shù)學(xué)成就聞名于世，但畢竟是鳳毛麟角，屈指可數(shù)。數(shù)感的形成固然有遺傳因素和家族影響的作用，而更多是后天努力的結(jié)果。解析幾何創(chuàng)始人笛卡兒出身于法國貴族家庭，父親是政府雇員；牛頓出身在英國農(nóng)民家庭，還是遺腹子，全靠自己努力取得成功；概率論奠基者拉普拉斯的父母是法國農(nóng)民；費(fèi)馬則是法國皮革商的兒子。我國古代數(shù)學(xué)家劉徽、楊輝、朱世杰、秦九韶，直到近代的程大位、徐光啟、李善蘭，他們家族中沒有一人是數(shù)學(xué)家，他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)全靠后天養(yǎng)成。更何況數(shù)學(xué)新課程的培養(yǎng)目標(biāo)不是數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)教育的目的在于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“獲得適應(yīng)未來社會(huì)生活和繼續(xù)學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)基本知識(shí)和技能”，會(huì)“數(shù)學(xué)地”思考問題。誤區(qū)之二：數(shù)感

43、的培養(yǎng)必須通過數(shù)學(xué)情境 通過創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，這是新課程所提倡的，本身無可厚非。問題是有些教師過于追求教學(xué)的情境化，為了創(chuàng)設(shè)情境可謂是“冥思苦想”，好像數(shù)學(xué)課脫離了情境，就不是新課程理念下的數(shù)學(xué)課。為了培養(yǎng)數(shù)感，今天是去商店“買東西”，明天要旅游點(diǎn)“買門票”，后天又是計(jì)算“存款利息”，或者呢今天喜洋洋、明天灰太狼、后天黑貓警長，一派糊涂，剛開始的新鮮勁一過，學(xué)生們漸漸習(xí)以為常，情境也就失去了新異性，根本不能激起他們的興趣。誤區(qū)之三：脫離學(xué)生實(shí)際的“自編題”為了貼近生活，老師常?！巴诳招乃肌本幵煲恍╊}目來幫助學(xué)生建立數(shù)感，由于忽視了學(xué)生的生活基礎(chǔ)往往顯得不倫不類。比如：“

44、100張新版的100元人民幣捆在一起有多厚？1億張100元人民幣有多厚？”想想一下，有多少個(gè)孩子，特別是農(nóng)村孩子，有測量100張100元人民幣的機(jī)會(huì)。同樣的理由，在課堂上讓學(xué)生完成下面這道題也有點(diǎn)不切實(shí)際：“請你測量一張新版100元人民幣的長、寬及厚度是多少？假如這種人民幣有100萬元，請你為銀行設(shè)計(jì)一種長方體鐵箱來裝這100萬元，長方體鐵箱的長、寬、高最少是多少？你有哪幾種方案？”難道我們的小學(xué)生當(dāng)場都能摸出100元錢？其實(shí)，用學(xué)生身邊的東西也可以達(dá)到同樣的目的：“量一量你的數(shù)學(xué)課本，每頁紙的厚度大約是多少？這本書有多厚？100本這樣的書摞在一起有多高？1億本呢？”過于依賴量，過于特殊的量下

45、面是一個(gè)很好的案例    利用千字文這個(gè)例子來讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)感是一個(gè)比較貼近生活的例子。（A學(xué)生有可能會(huì)一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)；B可以一行一行地?cái)?shù)，每行有20個(gè)，共有50行；C可以一列一列地?cái)?shù)，每列有50個(gè)，共有20列；D兩列共100個(gè)，兩列兩列地?cái)?shù)，有這樣的10組；E一行20個(gè)，5行就是100個(gè)，這樣每5行就是100，做個(gè)記號(hào)，最后一數(shù)共有10個(gè)100，就是1000。）將千字文貫穿于教學(xué)各個(gè)環(huán)節(jié)，絕非牽強(qiáng)附會(huì)、嘩眾取寵，用千字文遠(yuǎn)非教材中立方塊所能比擬，而且不但能激發(fā)興趣，更能讓孩子們在無形中受到文學(xué)熏陶，讓課堂彌漫著別樣的人文氣息。（學(xué)科滲透）300000600

46、0    三十億零六千（我們平時(shí)在教學(xué)學(xué)生讀數(shù)的時(shí)候，都是要求學(xué)生按照每一級(jí)末尾的0不讀；每一級(jí)開頭的0或中間有0都要讀出來，但不管有多少個(gè)0只讀一個(gè)就行。）在這里這個(gè)“零”能不能去掉30600，        30060，       30006三萬零六百   三萬零六十   三萬零六接下來的這些“零”能不能去掉，去掉后會(huì)有什么變化？6789讀作(  )千 (  ) 百

47、60; (  ) 十  (  ) ；6789由(  )個(gè)千，(  )個(gè)百，(  )個(gè)十和(  )個(gè)一組成.6789=(  )×1000(  )×100(  )×10(  )這三道練習(xí)是讓學(xué)生通過讀數(shù)、數(shù)的組等來讓學(xué)生讀出數(shù)感來。怎樣培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感：1.在數(shù)概念教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)感（1）圖形的展示讓學(xué)生從數(shù)的概念的認(rèn)識(shí)中，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和年齡特征，先從一到十到百到千到幾千的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生感知到數(shù)形成和大小。（2）看圖寫數(shù)這個(gè)練習(xí)(數(shù)概念直觀化的練習(xí))是讓學(xué)生直觀

48、的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生增強(qiáng)數(shù)感（3）第2到練習(xí)是（數(shù)概念生活化的練習(xí)）是把數(shù)概念滲透到生活中去，讓學(xué)生從具體的情境中去感悟10000有多大，同時(shí)大家都知道；數(shù)學(xué)來源于生活，有服務(wù)于生活，所以在這，教師注意選材，讓學(xué)生能真正的體會(huì)出10000大概會(huì)有多大。（4）前面的讀一讀、填一填的練習(xí)（數(shù)概念形式化的練習(xí)）“多樣化”旨在“各取所需”，適應(yīng)不同學(xué)生！這里的“多樣化”是指在取材方面要適合學(xué)生的需求、適應(yīng)不同的學(xué)生。2.在計(jì)算教學(xué)中發(fā)展數(shù)感   小數(shù)乘法計(jì)算法則的推導(dǎo)通過形象直觀的圖表，讓學(xué)生先知道0.15×3可以看成是有3個(gè)，也可以看做先有3個(gè)，再加上3個(gè)。分?jǐn)?shù)除法

49、計(jì)算法則的推導(dǎo)是結(jié)合直觀的演示，讓學(xué)生感知6除以三分之二，其實(shí)就是把1小時(shí)的路程看成一個(gè)整體，也就是3份中的2份是6 ，那1份就是6÷2,3份就是6÷2×3，從而有根據(jù)前面學(xué)過的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)就可以換成乘倒數(shù)，再結(jié)合結(jié)合律，計(jì)算法則自然就會(huì)推導(dǎo)出來。小學(xué)數(shù)學(xué)歷來重視數(shù)感培養(yǎng)，從“自發(fā)”走向了“自覺”3.在解決實(shí)際問題中展現(xiàn)數(shù)感72×151080（米）1080稍大于1000；就應(yīng)該在少年宮的東面。1080超過2000的一半多一點(diǎn)，從而就容易標(biāo)出相應(yīng)的點(diǎn)。都是真正的數(shù)感，與量無關(guān)二、符號(hào)意識(shí)符號(hào)意識(shí)主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使

50、用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。對于兒童來說，在幼兒園或一年級(jí)老師常常教幼兒讀兒歌：1像鉛筆，會(huì)寫字。2像鴨子，水中游。3像耳朵，聽聲音。4像小旗，迎風(fēng)飄5像稱鉤，來買菜。6像哨子，吹聲音。7像鐮刀，來割草。8像麻花，擰一道9像蝌蚪，尾巴搖。10像鉛筆加雞蛋（貫穿數(shù)形結(jié)合的思想）其實(shí)數(shù)字也是一種數(shù)學(xué)符號(hào)。把數(shù)與形結(jié)合起來，這也是一種符號(hào)意識(shí)。對于小學(xué)數(shù)學(xué)來說：首先是讓學(xué)生親近符號(hào)，接受、理解符號(hào)！怎樣讓學(xué)生親近符號(hào)，接受、理解符號(hào)呢？先認(rèn)識(shí)運(yùn)算符號(hào)“”從演示過程看，加號(hào)更直觀的表示合并；“”從演示過程看，減

51、號(hào)更直觀的表示去掉一部分；“×”從演示過程看，乘號(hào)是加號(hào)的特殊形式，因而乘法就是加法的特殊（簡便）的運(yùn)算；“÷”從演示過程看，除號(hào)表示平均分，非常平均。（上下一樣）關(guān)系符號(hào)“”處處平衡（“再也沒有比平行而又等長的短線段更確切的相等符號(hào)了”     列科爾德）“”向左張開，不平衡，伸出右手兩指張開就形成一個(gè)“”?！啊毕蛴覐堥_，不平衡，伸出左手兩指張開就形成一個(gè)“”。“”處處變彎，但間隔接近?！啊痹诘扔谔?hào)上打了一撇，表示不相等。諸如此類，舉不勝舉?？梢姡簲?shù)學(xué)符號(hào)如同“象形文字”，     

52、      簡潔、生動(dòng)、形象、傳神。符號(hào)本身就具有促進(jìn)理解，幫助記憶的教學(xué)功能。任何教學(xué)藝術(shù)、任何語言描繪，都相形見絀?。╟hu）其次是讓學(xué)生感悟符號(hào)表達(dá)的優(yōu)勢與作用。乘法分配律中，兩個(gè)數(shù)與它們、一個(gè)數(shù)與這個(gè)數(shù)是對應(yīng)的，但是數(shù)字符號(hào)至局限于本道題，而用字母表示它就可以隨意了。（數(shù)學(xué)魔術(shù)）你想一個(gè)整數(shù)，把它乘2加7，再把結(jié)果乘3減21。告訴我計(jì)算結(jié)果，我立即能判斷出你想的整數(shù)是多少？     設(shè)：所想的數(shù)為x，     則（2x7 )×321

53、60;      6x2121       6x其實(shí)這里的密密就是6的倍數(shù)，（也就是說你要說出的整數(shù)必定是6的倍數(shù)才符合題意）就直接把這個(gè)數(shù)除以6就可以得到該數(shù)。三、空間觀念空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。實(shí)際物體   幾何圖形特征描述在教學(xué)幾何圖形的時(shí)候，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和教材的編排意圖，一般情況都是先于實(shí)際物體讓學(xué)生通過觀察、探

54、索，從中抽象出幾何形體，然后再次根據(jù)實(shí)物和形體進(jìn)行特征描述。空間觀念發(fā)展規(guī)律    例如：指認(rèn)圓柱高空間知覺（表象的基礎(chǔ)）    實(shí)物指認(rèn)空間觀念（表象的形成）    圖形指認(rèn)空間想象（表象的改造）   剖面指認(rèn)三種水平既遞進(jìn)發(fā)展，又交錯(cuò)共存小學(xué)生空間觀念發(fā)展的若干特點(diǎn)(1)從感知強(qiáng)成分到感知弱成分     強(qiáng)弱具有相對性,特殊性      如：形狀；邊的長短是強(qiáng)成分；  &#

55、160;          關(guān)系；角的大小是弱成分。  （第一個(gè)圖的展示）在人的錯(cuò)覺中，認(rèn)為角的邊越長，角就越大，第一個(gè)圖的展示是通過平移后，兩個(gè)角剛好完全重合，讓學(xué)生更加加深角大小不是由邊的長短有關(guān)，而是與角的張開的大小有關(guān)。（第二個(gè)圖的展示）初看給人的感覺好像就是一個(gè)平行四邊形，但是通過直觀的演示后知道上下兩條邊不一樣長，它應(yīng)該是一個(gè)梯形。(2)從認(rèn)識(shí)單一要素到認(rèn)識(shí)要素間關(guān)系A(chǔ)第一個(gè)圖展示就是從單一變多樣，第一次顯示就是兩條直線互相垂直，單純表示垂直這個(gè)要素；（單一的要素）第二次演示又加了兩條斜線，形

56、成了不同的角，既有直角的表示、又有銳角、鈍角、平角的要素；同時(shí)也很好地讓學(xué)生知道銳角、直角、鈍角、平角之間的關(guān)系。（要素間關(guān)系）B第二道題是關(guān)于能不能裝下的問題，如果單從體積比較來說，盒子的體積比物體的體積大，就會(huì)出現(xiàn)能裝下的可能；（單一的要素）但是真正能裝得下，就是實(shí)物的每一條表都要比盒子的邊要小，這就是要求高的問題，這道題其實(shí)就是涉及到學(xué)生都對題目思路的要求的要素問題。（三種要素都要考慮）(3)從熟悉標(biāo)準(zhǔn)圖形到熟悉變式圖形第一個(gè)圖示要求從中能找出幾對相等的三角形，通過演示讓人更加容易知道（1）從等底等高的三角形面積相等的圖形有兩對；而從面積相等的兩個(gè)圖形中去掉同一個(gè)部分后面積相等的圖形有一

57、對，共有三對。（標(biāo)準(zhǔn)圖形）第二個(gè)圖形也是從相等圖形中去掉同一個(gè)三角形得到兩個(gè)面積相等的四邊形。（變式圖形）(4)從直觀辨認(rèn)圖形到語言描述特征    如：識(shí)別梯形說出梯形特征(5)從使用日常語言到使用幾何語言      如：底面橫截面(6)從形成二維空間觀念到三維空間觀念    1、圖形A的展示是比較周長的大小，通過直觀演示，進(jìn)行平移代換感知周長的相等。2、圖B的展示是比較表面積的大小，通過直觀演示，進(jìn)行移動(dòng)代換感知表面積是一樣的。怎樣發(fā)展學(xué)生的空間觀念？（1）觀察：有序觀察，

58、選擇對象，變換角度（2）操作：學(xué)會(huì)畫圖，動(dòng)手操作，自我釋疑（3）變式：變化形狀，變化位置，變化大?。?）辨析：同中見異，異中求同，精確分化（5）結(jié)合：形象與語言結(jié)合，數(shù)與形結(jié)合四、幾何直觀幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。案例1：團(tuán)體操原來隊(duì)伍每行10人,有5行?，F(xiàn)在調(diào)整成每行增加3人，增加2行，現(xiàn)在需要增加多少人？案例1通過把數(shù)轉(zhuǎn)換成形體展示，借助幾何直觀把問題簡單化。案例2比較兩種圖形的大小，大的圓形的面積等于四個(gè)小的圓形的面積

59、總和，但是圖中重疊的部分共有八分，把其中四份換到空白部分就是形成整個(gè)圓，從而就可知兩種圖形的面積相等。五、數(shù)據(jù)分析觀念數(shù)據(jù)分析觀念包括：了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息；了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計(jì)的核心。注重學(xué)生理解數(shù)據(jù)分析是從了解到體會(huì)的過程，是按一定的認(rèn)知規(guī)律來的。案例1：小學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)案例2：兩幅條形圖蘊(yùn)涵的信息研究性學(xué)習(xí)的緣起：父子爭論，看電視是否影

60、響視力？自行設(shè)計(jì)調(diào)查問卷：1.你平均每天看多長時(shí)間的電視？半小時(shí)以下半小時(shí)1小時(shí)1小時(shí)以上2.你的視力怎樣？在統(tǒng)計(jì)的過程中，該學(xué)生先通過調(diào)查收集相關(guān)數(shù)據(jù)，然后根據(jù)調(diào)查到的數(shù)據(jù)制成條形統(tǒng)計(jì)圖，從條形統(tǒng)計(jì)圖中明顯表示出：視力是的三種時(shí)間段中，半小時(shí)至一小時(shí)的人數(shù)做多；視力是的三種時(shí)間段中，半小時(shí)至一小時(shí)的人數(shù)做多；視力是的三種時(shí)間段中，半小時(shí)至一小時(shí)的人數(shù)做多；視力是以下的的三種時(shí)間段中，半小時(shí)至一小時(shí)的人數(shù)做多；從中可以看出，在每個(gè)視力段里頭，都是顯示每天看半小時(shí)至一小時(shí)的人數(shù)最多。從而可以得知：每天看電視時(shí)間不要過長，時(shí)間在半小時(shí)至一小時(shí)為宜。第二個(gè)圖是動(dòng)畫片的投入和收益的信息?！拔覟楦杩瘛蓖顿Y大于收益；而“獅子王”卻是投入大，但收益卻是投資的16倍多，這就是國產(chǎn)動(dòng)畫片和國外動(dòng)畫片的制作差距的問題。（現(xiàn)在國內(nèi)多數(shù)動(dòng)畫產(chǎn)品，都達(dá)不到國際入門級(jí)水平，它們實(shí)際上不是動(dòng)畫作品，更準(zhǔn)確地說只是動(dòng)漫產(chǎn)品。動(dòng)畫產(chǎn)品是完全靠繪畫表現(xiàn)力去吸引人的作品，而國內(nèi)動(dòng)畫片制作因?yàn)槌杀締栴}，大多數(shù)僅是電腦FLASH軟件制作出來的無紙動(dòng)畫產(chǎn)品，而非靠大量