數(shù)列求和錯(cuò)位相減法,裂項(xiàng)相消法后附答案

1、一、解答題1 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（ ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ ）若數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前項(xiàng)和【詳解】（）， 則，.（ ）由（ ）可知，,-（）（）=2 已知數(shù)列的前n 項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)，求數(shù)列的前n 項(xiàng)和【答案】（ 1）（ 2 ）【詳解】，即，兩式相減，得，即，又，即數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2 的等比數(shù)列，所以；設(shè)，則，兩式相減，得：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，通項(xiàng)公式，前 n 項(xiàng)和，錯(cuò)位相減法，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題試卷第1頁(yè)，總7 頁(yè)3 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足.數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足.（ 1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（ 2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案

2、】（ 1）,；（2）.【解析】【分析】（ 1 ）根據(jù)題意，求得，然后求得公差，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)，再利用求得的通項(xiàng)公式；（ 2）先求出的通項(xiàng)，然后利用數(shù)列求和中錯(cuò)位相減求和.【詳解】解：（1）由，得，解得.由，解得或.若，則，所以.所以，故不合題意，舍去 .所以等差數(shù)列的公差，故.數(shù)列對(duì)任意正整數(shù)，滿(mǎn)足.當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，所以.所以是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（ 2）由（ 1）知，所以， 所以， -，得試卷第2頁(yè)，總7 頁(yè)，所以.4 已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿(mǎn)足求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；記，求數(shù)列的前項(xiàng)和為【答案】（ 1）證明見(jiàn)解析，（ 2 ）【解析】【分析】由，得

3、，由此可判斷為等差數(shù)列，可求，進(jìn)而得到;求出，利用錯(cuò)位相減法可求【詳解】由，得，又，為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2 ，得，【點(diǎn)睛】5 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，.（ 1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ 2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得恒成立時(shí)的最小正整數(shù).【分析】（ 1）先設(shè)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，列出方程組求出首項(xiàng)和公差即可；（ 2）由 (1) 先求出，再由裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和即可.【詳解】試卷第3頁(yè)，總7 頁(yè)解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以解得所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.（ 2）由（ 1）可知,， 的最小正整數(shù)為16 已知是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，各項(xiàng)均為正數(shù)，且.（ 1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ 2）設(shè)

4、，求數(shù)列的前項(xiàng)和 .【分析】（ 1）由得 q 方程求解即可； （ 2）變形為裂項(xiàng)求和即可 .【詳解】（ 1）設(shè)的公比為，由得，解得，或，因各項(xiàng)都為正數(shù)，所以，所以，所以，7 已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，依次成等比數(shù)列.（ 1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ 2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求的值 .【分析】（ 1）設(shè)等差數(shù)列的公差為 d ，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得首項(xiàng)和公差，即可得到所求通項(xiàng)公式；（ 2）求得bn（），運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和可得Sn ，解方程可得n 【詳解】（ 1）設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，解?試卷第4頁(yè)，總7 頁(yè)因?yàn)椋来纬傻缺葦?shù)列，所以，即，解得.所以.（ 2）由（

5、 1）知，所以，所以，由，得.8 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且是與的等比中項(xiàng)，其中.（ ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ ）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【分析】（ ）由是 與的等比中項(xiàng)列方程整理，可得出：數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為 1 的等差數(shù)列，問(wèn)題得解。（ ）整理，代入的表示式子即可求解?！驹斀狻拷猓海?）是與的等比中項(xiàng)，等時(shí)，.當(dāng)時(shí)，整理得.又， ，即數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1 的等差數(shù)列.（），.【點(diǎn)睛】本題主要考查了法的應(yīng)用及等差數(shù)列概念，通項(xiàng)公式，還考查了數(shù)列裂項(xiàng)求和，屬于基礎(chǔ)題。9 已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（ 1）；（2）【解析】【分析】試卷第5頁(yè)，總

6、7 頁(yè)根據(jù)等差數(shù)列中，列出關(guān)于首項(xiàng)、公差的方程組，解方程組可得與的值，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ 2 ）由（1 ）可得，利用裂項(xiàng)相消法求和即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)首項(xiàng)為，公差為d 的等差數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則：，解得：或 9，或 1，由于數(shù)列為遞增數(shù)列，則：，故：，則：由于，則：所以：【點(diǎn)睛】本題主要考查的知識(shí)要點(diǎn)為等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用， 裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，屬于中檔題型裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2）；（3）；（4 ）；需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題

7、，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.10 等差數(shù)列的公差為正數(shù)，其前項(xiàng)和為；數(shù)列為等比數(shù)列，且(I) 求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(II) 設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】()，；().【解析】【分析】（ ）等差數(shù)列 an 的公差 d 為正數(shù)，數(shù)列 bn 為等比數(shù)列，設(shè)公比為 q ，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通項(xiàng)公式；（ ）求得cn bn2n2n+2 （），數(shù)列的分組求和和裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和【詳解】解： ( )設(shè)等差數(shù)列的公差為d ，等比數(shù)列的公比為q，則解得，.()由()知.，試卷第6頁(yè)，總7 頁(yè).【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的分組求和和裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題11 已知數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列滿(mǎn)足，且是公差為2 的等差數(shù)列（ ）求和的通項(xiàng)公式；（ ）求的前n 項(xiàng)和【答案】（ ），（ ）【解析】【分析】（ ）利用等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，轉(zhuǎn)化求an 和 bn 的通項(xiàng)公式；（ ）利用分組求和法求bn 的前n 項(xiàng)