滬教版高一上冊數(shù)學(xué)高一上冊教案不等式的證明(1)

1、做學(xué)問的功夫，是細嚼慢咽的功夫。2.5不等式的證明一、教學(xué)內(nèi)容分析有關(guān)不等式的證明問題一直是數(shù)學(xué)中的難點，除一些基本方法外還牽涉到相當(dāng)多 的技巧問題.作為高一的不等式證明重在基本證明思路、方法的介紹，所以教材中也不牽 涉過多的技巧問題，主要涉及利用不等式基本性質(zhì)以及基本不等式來進行證明.二、教學(xué)目標設(shè)計1、掌握用比較法、綜合法和分析法證明不等式的基本思路2、能利用比較法、綜合法和分析法進行簡單不等式的證明3、在證明的過程中，加強不等式性質(zhì)及基本不等式的應(yīng)用4、代數(shù)證明基本能力的提升以及邏輯推理水平的進一步加強。三、教學(xué)重點及難點重點利用比較法、綜合法和分析法進行簡單不等式的證明難點分析法的基本

2、思路及其表達.四、教學(xué)過程設(shè)計一、比較法比較法有兩種：(1)比差法：求差與0比.(2)比商法：求商與1比，要注意討論分母的符號.2例 1 求證：(1) x(x+2 )<(x+1 ).(2) x2 >2x-2.證明：(1)因為 x(x +2 )(x +1 2 = x2 +2x -x2 -2x-1 = 一1 < 0,所以，x(x+2 )<(x+1 )2.(2)因為 x2 (2x2) = (x2 2x+1 )+1 = (x1)2 +1 之1 >0,所以，x2 2x -2.說明本例的幾何意義.2 .(1) y=x(x+2)的圖彳M在y = (x+1)的下萬，如圖所示(A點

3、比B點低1個單位).(2) y = x2的圖像在y =2x-2的圖像上方，如圖所 示(A點比B點高).a b 11例2 設(shè)a>0, b>0,求證：2+與之1+1.(補b2 a2 a b充)證明:a b1 1 a3 b3 - ab2 - a2ba a2 -b2 -b a2 -b2a2b2a2-b2 a-b2. 2a b2a - b i i： a b2. 2a bb aa ba b因為a>0, b>0= a+b>0,又，(a；b)20,當(dāng)且僅當(dāng)a=b>0時等號成立,a2b2所以,(a-b f(a +b)2. 2a ba b 11>0,當(dāng)且僅當(dāng)a = b&g

4、t;0時等號成立.故-ar+>-+-. b a a b另證：因為a>0, b>0,所以ab0,則a b-Ti -b2a211ab33a bab a ba2 b2 -ababab2ab-1之一ab1 = 21=1.當(dāng)且僅當(dāng) aba=b>0時等號成立.又a>0, bA0=1+1>0,故 昌+2之1+1.當(dāng)且僅當(dāng)a = b>0時等號成立. a bb a a b說明此例采用了比差和比商兩種方法給出證明，由證明過程體會兩種方法各自的“優(yōu)占” 八、.二、綜合法從已知條件出發(fā)，利用各種已知的定理和運算性質(zhì)作為依據(jù)，推導(dǎo)出要證的結(jié)論.這種證明方法稱為綜合法.例 3 已

5、知 a、 b、c均為正數(shù)，求證：ab(a+b)+bc(b + c)+ca(c + a廬 6abc.證明：ab a b bc b c ca c a = a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2= (a2b+bc2 )+(b2c + ca2 )+(c2a + ab2 ),a b bcb2c ca2c2a ab22) 2) 2)caabb caa b c八"LIv(2 2 2>>>-因為a、b、c均為正數(shù)，由基本不等式 2和不等式性質(zhì)得：= 2abc= 2abc = a2b bc2 廠b2c ca2 c2a ab2 _ 6abc= 2abc即，ab a b bc b

6、 c ca c a _ 6abc.a2b =bc2當(dāng)且僅當(dāng)b2c =ca2 u a2=b2=c2u a = b = c a 0時等號成立.2.2c a = ab所以，不等式 ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+ a)至 6abc 成立.2例 4 已知 a、b=R,求證：2(a +b )之(a+ b ).證明：2(a2+b2 )=a2+(a2+b2 )+b2 2 a2+2ab + b2 =(a + b )2.當(dāng)且僅當(dāng) a = b時等號成立.所以不等式2(a2+b2)之(a+b)2成立.一 ，、x2 2例5 求證：至2.x2 1證明：因為“x2+1之1/0,由基本不等式得,X2 2 x211

7、=2.當(dāng)且僅當(dāng)、x2+1 =1 U x2 +1 =1 u x = 0時等號成立.x2 1說明此例給出了如何利用基本不等式求函數(shù)最值的一種方法2L 2122例 6 求證：a+b W、a +1 Wb +1 4一a +b +1 .2證明：一方面，a2 +1 Ab2 +1 =(a2 +1 J(b2 +1 ) = Ja2 + (ab )2 +12 + b2 > a2 +2ab+b2 =J(a + bj =|a + b|>a + b.ab = 1當(dāng)且僅當(dāng)rb時等號成立.a b - 0 2 21 o o= Q(a2+b2)+1.當(dāng)且僅當(dāng) ：va2 1b2 1另一方面， a2 1 b2 1 xa2

8、+1 =、b2 +1 = a = b時等號成立.ab =1所以，a + b M Ja2 +1 Ab2 +1 Ma2 +b2 )+1 ,當(dāng)且僅當(dāng)a+b 之 0u a = b = 1 等 2,Ual=lbl號同時成立.說明利用基本不等式證明此例有一定難度，可適當(dāng)選用.、分析法從要證的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，分析出使這個結(jié)論成立的條件，把證明結(jié)論轉(zhuǎn) 化為判定這些條件是否成立的問題，如果能夠判定這些條件都成立，那么就可以斷定原結(jié) 論成立.這種證明方法稱為分析法.分析法也可以如下敘述為：欲證25論Q ,需先證得P ,欲要證得P ,需先證得P2,欲要證得P2,需先證得P3,欲要證得Pn，需先證得pn .

9、當(dāng)Pn成立時，若以上步步可逆，則結(jié)論 Q成立.用數(shù)學(xué)語言表述，必須保證下述過程成立：Qu pu Bu Ruu Pnu Pn,因為Pn成立，所以結(jié)論 Q成立.說明分析法的證明過程即是不斷尋找充分條件的過程.由于分析法要求的是步步逆向成立，所以需慎重使用.例7 求證：1十，3AM7.證明：因為i+Eao, v7>0,則要證1十、'3>、；7成立，一 2 一即證(1 + v3 ) >(V7)2 =7成立，即證4+2w3 a 7成立.即證2<3>3成立，即證(2%；3j>32成立，即證12A9成立.因為12>9成立，且以上步步可逆，所以，1十J3 r7

10、.例8 已知：ad#bc,求證：(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2.c c cc2證明：要證(a2 +b2 Xc2 +d2 )>(ac + bd )成立，2 22,2,22,2,22 22,2即證 ac+ad +bc+bd > a c + 2acbd +b d 成立即證 a2d2 2(ad b bc)+b2c2 >0成立，2即證(ad -bc ) >0成立，2由ad=bc= adbc=0=(adbc) >0成立，且以上步步可逆，故有(a2 +b2 X c2 +d2 )>(ac +bd )2.例9 設(shè)a、bwR,求證：阿|b|Wa+b閆a|+

11、|b| ,并指出等號成立的條件.證：先證"a +b| <|a| +同”.注意到 a + b|之0, |司+同10,則對于任意a、bwR,要證a + b«|a|+同成立 一一2.2即證 a+b| w(|a|+|b|)成立，即證 a2 +2ab+b2 <a2 +2ab|+b2成立,即證ab w|ab|成立，由絕對值定義知，任意 a、bw R,都有abw|ab|,且以上步步可逆，因而a +b| <|a| +|b|,且等號成立 u ab之0.再證；a |a|-|b|a +b ” .由何b歸0, a+b|40,則對于任意a、b R,要證|問|b| a+b|成立,即證

12、 |a| -blp <|a +b2成立， 22即證(|a -b|) <(a+b)成立，即證 |a|2 -2|a| '|b| +|b|24a2 +2ab +b2成立，即證忖b|ab成立，由絕對值定義知，任意 a、bw R,都有ab之-ab,且以上步步可逆，因而lai-bl,且等號成立u ab<0 ；綜上可得，任意a、bwR,不等式 問_|b|a+b «問+|b|成立.例9證明的不等式對任意的實數(shù) a、b成立，以-b換b得到的不等式a|-|-b| <|a -b| <|a| +|-b|,即 同一|訓(xùn)w|a-b| W間+|b|也成立，此時，右端等號成立u

13、 a(-b 戶0u abE0,左端等號成立 u a(-b)W0u ab>0.以上證得的兩個不等式，是絕對值不等式的重要性質(zhì)，稱之為三角不等式對于任意a、bw R,(1) |a|-|b| <|a+b|<|a|+|b| ,左端等號成立 仁ab<0,右端等號成立=ab之0.(2) |a|-|b| <|a-b| <|a|+|b| ,左端等號成立 u ab之0,右端等號成立 u ab<0.說明有關(guān)三角不等式的教學(xué)是講全還是選講其中部分，可適學(xué)生的具體情況而定.例 10 已知 xa<"|, yacj,求證：x - y < 君.證明：由三角不等式可得：x - y| =|(x -a )-(y - a | |x - a| +|y - a <5 十萬=名.所以，|x y|<8.說明此例為練習(xí)2.4 (5)中的一題.四、課堂小結(jié)五、作業(yè)布置選用練習(xí)2.4 (4) (5) (6)、習(xí)題2.3中的部分練習(xí).五、教學(xué)目標說明有關(guān)不等式的證明可分為兩個課時進行.第一課時為比較法、綜合法；第二課時為分 析法.有關(guān)不等式證明問題