方法策略理科第20題的最自然證法

1、2016年高考山東卷理科第 20(2)題的最自然證法2x _1高考題1 (2016年高考山東卷理科第 20題)已知f(x)=a X-I nx2 ，aR .x(1) 討論f (x)的單調(diào)性；(2) 當(dāng) a=1時(shí)，證明f(x) f(x)3對于任意的 x 1,2 成立.2解(1)略(參考答案)當(dāng)a =1時(shí)，可得2x_1122312f (x) f '(x) = x In x(13)= x In x23 1(1 _ x _ 2)xx x xx x x312令g(x)=x-l n x(1 遼 x 遼2), h(x)23-1(1乞 x込 2)，得x x xf (- x)=f ( x) . g - x

2、 - hxxX 1由g (x)0(1：x2)，可得g(x)g(1) = 1(仁x乞2)(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取得等x號)23x 2x 6還可得h'(x)4.x設(shè)(x)二3x -2x 6，可得(x)在1,2單調(diào)遞減由(11, (2-10 知，存在 X。 (1,2)使得當(dāng) x (1,x。)時(shí)，(x) 0 ；當(dāng) x (Xo,2)時(shí)，(x) <0.所以函數(shù)h(x)在(1,x°)上單調(diào)遞增；在(x0,2)上單調(diào)遞減11因?yàn)閔(1)=1,h(2)，所以當(dāng)1,2時(shí)，h(x)h(2)(當(dāng)且僅當(dāng)x = 2時(shí)取等號).221 33得f(x)-f'(x)1，即f (x) f '(

3、x)對于任意的x，1,2恒成立2 22x 1(2)的另證 設(shè) g(x) =x-l nx(1x2),可得 g (x)0(1 ： x 乞 2),所以xg(x)g(1尸1(1 x乞(當(dāng)且僅當(dāng)x = 1時(shí)取得等號).f(x) - f(x)由此可得，當(dāng)a =1,1乞x豈2時(shí):= x-l nx寫-(1-丄-電三)-弓xx x x 223-$)-3(當(dāng)且僅當(dāng)X"時(shí)取等號)X32所以2x3(2_x)(3x _2) _0(1豈豈2)(當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號)f (x) 一 f (x) 一 弓 023f(x) f (x)2得欲證結(jié)論成立.以上對第(2)問的兩種證法都是“分而食之”，減少了運(yùn)算量.X，曲線

4、x實(shí)際上，解答2014年高考課標(biāo)全國卷I理科第21(2)題時(shí)也要運(yùn)用這種“分而食之”的技 巧一一指對分離.be高考題2 (2014年高考課標(biāo)全國卷I理科第21題)設(shè)函數(shù)f (x)二aex In x 些y = f (x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線為 y =e(x -1) 2 .求a, b;(2)證明：f (x) 1 .分析 (1) f (x) =aex In x aexexJL - exJ .x xx題設(shè)即 f (1) = 2, f (1) = e，可求得 a =1,b =2 .x2 x 1(2)由(1)的答案可知，即證 e In x e 1 .x自然的想法是先求左邊函數(shù)的最小值或下確界，再

5、證明其大于1.但這種常規(guī)方法往往是徒勞無功的.其原因是對數(shù)與指數(shù)的組合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)往往仍然含有對數(shù)與指數(shù)的組合函數(shù)，接下來會很難處理鑒于此，我們應(yīng)當(dāng)考慮把對數(shù)與指數(shù)分離開來，分別放在欲證不等式的兩邊，對兩邊的函數(shù)分別用導(dǎo)數(shù)處理(求最值或取值范圍)：因?yàn)橛C不等式中有 ex In x ,所以應(yīng)當(dāng)“指對分離”，兩邊都除以正數(shù) ex個為In x的正負(fù)不確定，所以不優(yōu)先考慮兩邊都除以In x),得即證2In xex可以嘗試著求該不等式左、右兩邊的最值或取值范圍，以達(dá)到目的：212ex_22設(shè)g(x) = In x ，得g (x)22 ，進(jìn)而可得：當(dāng)且 僅當(dāng)x 時(shí),exx exexelnx ?I ex

6、.丿min= ln2.接下來，1若能證明In 2 x(x . 0)即可，但這是辦不到的：因?yàn)楫?dāng)eXr 0時(shí)，1x 1, In 2：e證明失敗了 .但失敗是成功之母：把上述“證明”作微調(diào)后即可獲得成功即證把式兩邊都乘以 x后，,2 xxln xxe e設(shè) u(x) = xln x 2 ，e得 u ( X>l nx進(jìn)1而可得：當(dāng)且僅當(dāng)xlnx 2乙e m_ 1in e設(shè) v(x)=x-，得 v (x)e1 - xx進(jìn)而可得：當(dāng)且僅當(dāng) x = 1時(shí), e上 J ex max e1因?yàn)?1，所以e.+21 xxln xxe e e且兩個等號不能同時(shí)取到，所以成立，得欲證成立這種證明函數(shù)不等式的策

7、略是“一分為二，嘗試成功”=1時(shí)，可以求得下面再給出高考題1(2)題的最自然證法：當(dāng)af (x) - f (x)(1乞x乞2)的最小值是ln 2，再由 ln 2 -，便得欲證結(jié)論成立.222553當(dāng)a =1時(shí)，可得x2 x3(2)f(x) - f '(x) =x -lnx 3x設(shè) g(x) = f (x) - f '(x)，可得g(x)-4-Ji 4x x x xx33x22x 6(1 =淞)再設(shè) h(x) =x4 x3 3x2 2x 6(1 空 x 乞 2)，可得h(x) =4x3 _3x2 _6x_2(1Ex E2)(h(x)： =6(2x 1)(x 1)0(1 ： x 一

8、2)所以函數(shù)h(x)是增函數(shù).又因?yàn)閔(1)= 7c 0,h'(2)= 6 0所以 歆1乏(1,2)使得h(Xi)=0，得函數(shù)h(x)在1,x,),(x,2上分別是減函數(shù)、增函數(shù)又因?yàn)?h(1) =1 .0,h(2)=一2：0(得h (xj：2： 0),所以 x?(1,xJ使得 h(x20即g(X2)=0，得函數(shù)g(x)在1,X2),(X2,2上分別是增函數(shù)、減函數(shù).所以g(x)min =min (g(1),g(2) .； = min 2,- -l n2 =- -l n 2(1 空 x 乞 2)2 2實(shí)際上，這種最自然的證法，就是“把求導(dǎo)進(jìn)行到底”：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的有力工具，如果函數(shù)f

9、(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)的性質(zhì)仍不清楚，可以對f (x)繼續(xù)求導(dǎo)得f(X)，若(X)的性質(zhì)清楚了，一般來說f(X)的性質(zhì)也清楚了，再由f (x)的性質(zhì)可得原函數(shù) f(x)的性質(zhì).筆者用幾何畫板得到了關(guān)于兩個初等函數(shù)sin x與In(x 1)的一個不等式(見下文的結(jié)論)，證明它還有些困難經(jīng)過多次嘗試，用“求導(dǎo)進(jìn)行到底”終于獲證.結(jié)論 若0乞x"，則sinx In(x，1)(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號).2證明設(shè)一遼，得f(x)二 COSX -0 xx + 112 丿f (x) =-sinxJ 0x (x+1)2l2 丿2f応)f (X)COSXE:0 0汐込所以f (x)是減函數(shù)(由兩個減函數(shù)之和是減函數(shù)，也可得此結(jié)論).又 f (0) =10, f1(JTY12 1所以存在唯一的x，0，-使得f (Xo) =0 ,進(jìn)而可得f (x)在(O,Xo), Xo-i上分別是增函數(shù)、減函數(shù)，2又 f (0) = 0，所以 f (x) . 0(0 :： x 乞 x0)，得 f (x0) . 0.又f(x)在'x0 - i上分別是增函數(shù)、減函數(shù)， 2丿<0,所以存在唯一的2x1x,-使得f (xj = 0，進(jìn)而可得f (x)在(0, x1)J x!,上