2010考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)講義—概率統(tǒng)計(jì)：第三章　多維隨機(jī)變量及其分布

1、2010年研究生入學(xué)考試輔導(dǎo) 考研數(shù)學(xué) -概率統(tǒng)計(jì)-第三章多維隨機(jī)變量及其分布本講主要內(nèi)容：1.二維離散隨機(jī)變量2.二維連續(xù)隨機(jī)變量（重點(diǎn)）3.二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布（重點(diǎn)）設(shè)與Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，那么我們稱(chēng)二元組（X，Y）為二維隨機(jī)變量.一、二維離散隨機(jī)變量定義7：設(shè)X與Y均為離散隨機(jī)變量，取值分別x1, x2, xi，y1, y2,，yj,那么我們稱(chēng)（X，Y）為二維離散隨機(jī)變量，并稱(chēng)P（X=xi, Y=yj）=pij, i, j =1,2,為（X，Y）的聯(lián)合分布列.聯(lián)合分布列的性質(zhì)： pij0 邊際分布列：X與Y獨(dú)立的任何兩行或者兩列都成比例離散隨機(jī)變量的獨(dú)立性：設(shè)（X，Y）為二維離散隨機(jī)變

2、量，如果即聯(lián)合分布列等于邊際分布列的乘積，則稱(chēng)X與Y相互獨(dú)立.條件分布列與乘法公式：二、二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)定義8：設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，我們稱(chēng)二元函數(shù)為（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù).聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：（1）F（x,y）為x與y的右連續(xù)函數(shù).（2）F（x,y）為x與y的不減函數(shù).（3）（4）三、二維連續(xù)隨機(jī)變量定義9：設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，如果（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)可以寫(xiě)成則稱(chēng)（X，Y）為二維連續(xù)隨機(jī)變量，并稱(chēng)f（x,y）為（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù).易知：聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)：（1），（2）邊際密度函數(shù)：隨機(jī)變量X的邊際密度：隨機(jī)變量Y的邊際密度：連續(xù)隨機(jī)變量的獨(dú)立性：設(shè)（X，

3、Y）為二維連續(xù)隨機(jī)變量，如果則稱(chēng)X與Y相互獨(dú)立.條件密度：我們稱(chēng)為在給定Y=y時(shí)X的條件密度.為在給定X=x時(shí)Y的條件密度.如果二維連續(xù)隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合密度為則稱(chēng)（X，Y）服從區(qū)域G上的二維均勻分布.其中為區(qū)域G的面積.【例39·解答題】假設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)的指數(shù)分布，隨機(jī)變量求X1和X2的聯(lián)合概率分布.【答疑編號(hào)911303101】解：P（X1=0, X2=0）=P（Y1，Y2）= P（X1=1, X2=0）=P（Y1，Y2）=【例40·解答題】 某射手向一目標(biāo)進(jìn)行連續(xù)射擊，每次命中的概率都是p，各次命中與否相互獨(dú)立.以X表示第二次命中時(shí)的射擊次數(shù)，以Y表示第三

4、次命中時(shí)的射擊次數(shù).求（X，Y）的聯(lián)合分布列以及Y的邊際分布列.【答疑編號(hào)911303102】解：P（X=m，Y=n）= 令m-1=k=n=3, 4, 5【例41·解答題】設(shè)（X，Y）具有聯(lián)合分布列：且已知EX=-0.2，記Z=X+Y.求（1）a,b,c的值； 【答疑編號(hào)911303103】（2）Z的概率分布； 【答疑編號(hào)911303104】（3）P（X=Z）.【答疑編號(hào)911303105】解：（1）a+b+c=0.4-（a+0.2）+c+0.1= -0.2解得a=0.2 , b=c=0.1（2）Z的概率分布（3）【例42·解答題】設(shè)某汽車(chē)的車(chē)站人數(shù)XP（），每個(gè)人在中途下

5、車(chē)的概率都是P,且下車(chē)與否相互獨(dú)立，以Y表示中途下車(chē)的人數(shù)。求（X，Y）的聯(lián)合分布列，并求Y的邊際分布列.【答疑編號(hào)911303106】解： 【例43·解答題】設(shè)有一個(gè)母雞每年產(chǎn)雞蛋個(gè)數(shù)為X（）,每個(gè)雞蛋孵出小雞的概率都是p，且孵出與否相互獨(dú)立.以Y表示小雞的個(gè)數(shù).求（X,Y）的聯(lián)合分布列，并求Y的邊際分布列.【答疑編號(hào)911303201】【例44·解答題】設(shè)某人每天打電話的次數(shù)X（15），每次能接通的概率為0.8.以Y表示此人每天打通電話的次數(shù).求（X,Y）的聯(lián)合分布列，并求Y的邊際分布列.【答疑編號(hào)911303202】1.聯(lián)合分布列2.邊際分布列3.獨(dú)立性判斷4.條件分

6、布列的使用方法二維連續(xù)（X,Y）f（x,y）【例45·解答題】設(shè)（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)f（x,y）=Axy，0<x<1，.求（1）常數(shù)A.【答疑編號(hào)911303203】（2）X與Y的邊際密度.【答疑編號(hào)911303204】分析：f（x,y）=Axy，0<x<1，1.該區(qū)域?yàn)椋╔,Y）的變化范圍2.關(guān)于（X,Y）的一切運(yùn)算（二重積分），必須限制在該區(qū)域內(nèi).3.利用區(qū)域投影求X與Y的取值范圍解：（1）A=12 （2）【例46·解答題】隨機(jī)向量（X,Y）的概率密度求兩個(gè)邊緣密度f(wàn)X（x），fY（y）.【答疑編號(hào)911303205】同理可得二維連續(xù)隨機(jī)變量

7、概率的計(jì)算公式： 其中G為二維平面中的區(qū)域.【例47·解答題】 設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合密度為（1）求P（X<Y） 【答疑編號(hào)911303206】（2）P（2X+Y>1）【答疑編號(hào)911303207】P（2X+Y>1）=1-P（2x+y1）【例48·解答題】 設(shè)（X,Y）的密度函數(shù)為試求：（1）X,Y的邊緣密度函數(shù)，并判別其獨(dú)立性；【答疑編號(hào)911303208】（2）（X,Y）的條件分布密度；【答疑編號(hào)911303209】（3）【答疑編號(hào)911303210】（2） （3） 【例49·解答題】設(shè)隨機(jī)變量Xe（1），且對(duì)每個(gè)x>0，當(dāng)

8、X=x時(shí)，Ye（x）.求概率P（Y<X）【答疑編號(hào)911303211】Xe（1）， 當(dāng)X=x時(shí)，Ye（x）四、二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布問(wèn)題提法：設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合密度為f（x,y），令Z=g（X,Y），其中g(shù)（x,y）為一個(gè)二元函數(shù).求Z=g（X,Y）的密度函數(shù). 【例50·解答題】 設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合密度為f（x,y）=.求Z=X+3Y的密度.【答疑編號(hào)911303212】解： 【例51·解答題】 設(shè)（X,Y）f（x,y）=1，0<x<1，0<y<2-2x.求Z=Y+2X的密度函數(shù).【答疑編號(hào)91130

9、3301】解： 【例52·解答題 】設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的分布密度為f（x,y）=3x，0<x<1，0<y<x試求：Z=X-Y的分布密度.【答疑編號(hào)911303302】解：Z的取值范圍：0,1當(dāng)0z<1時(shí)， 【例53·解答題】設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且都服從（0，a）上的均勻分布，試求Z=X/Y的分布函數(shù)與密度函數(shù).【答疑編號(hào)911303303】解：x=zy Z的取值范圍：0，+） 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，【例54·解答題】設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布是正方形上的均勻分布，試求隨機(jī)變量的概率密度f(wàn)（z）.（答案：）【答疑編號(hào)911303304】【例55

10、·解答題】 設(shè)（X,Y）服從區(qū)域 上的均勻分布，求Z=X+Y的密度.【答疑編號(hào)911303305】【例56·解答題】設(shè)，Y的密度為，X與Y相互獨(dú)立求的密度.【例57·解答題】設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合概率密度為求（1）（x,y）的邊際概率密度【答疑編號(hào)911303306】（2）的概率密度.【答疑編號(hào)911303307】（3）【答疑編號(hào)911303308】極大極小分布：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)為，且相互獨(dú)立.令那么如果隨機(jī)變量相互獨(dú)立，并且具有相同的分布函數(shù)F（x）,令那么例58 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，并且都服從區(qū)間0,1上的均勻分布，令 求Z

11、與W的密度函數(shù).【答疑編號(hào)911303309】解： Z與W的分布函數(shù)為： 【例59·解答題】 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，并且都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求的密度.【答疑編號(hào)911303310】答案：fZ（z）=ne-nz z>0ze（n）【例60·解答題】對(duì)某種電子裝置的輸出測(cè)量了5次，得到的觀察值，設(shè)它們是相互獨(dú)立的變量，且都服從同一分布試求：的概率.解：令，由于相互獨(dú)立，且服從同一分布，則，所求概率為.隨機(jī)變量的可加性：正態(tài)分布的可加性：設(shè)，且相互獨(dú)立，那么更一般地，我們有：【例61·解答題】 設(shè) ，且相互獨(dú)立，求 的分布.【答疑編號(hào)911303311】解： 【例62·解答題】 設(shè)，且相互獨(dú)立，求的分布.【答疑編號(hào)911303312】解：泊松分布的可加性：設(shè)，且相互獨(dú)立，那么二項(xiàng)分布的可加性：設(shè)，且相互獨(dú)立，那么【例63·填空題】設(shè)相互獨(dú)立，則 【答疑編號(hào)911303313】答案：（1）【例64·解答題】（條件概率分布）假設(shè)某地區(qū)一年內(nèi)發(fā)生有感地震的次數(shù)X和無(wú)感地震的次數(shù)Y，相互獨(dú)立且分別服從參數(shù)為的泊松分布.試在“一年共發(fā)生了n（n0