三角形面積公式——之水平寬鉛垂高葉茂恒文檔良心出品

1、形ABCD,E為AD的中點(diǎn),P為CE的中點(diǎn),F為BP的中點(diǎn),那么 BFD的面積是12D. 一a64三角形面積公式之水平寬鉛垂高三角形的面積公式計算較多,而在平面直角 坐標(biāo)系中的三邊都不與坐標(biāo)軸平行的三角形面積 一般會采用割補(bǔ)形來求解,但有時采用水平寬鉛 垂高面積公式會更加的方便.公式呈現(xiàn)如右圖所示,過4ABC三個頂點(diǎn)分別作x軸的垂 線,其中過A, C兩條垂線與x軸交于點(diǎn)E, F, 線段EF的長度稱為4ABC的水平寬,而過B點(diǎn)1的垂線與邊AC父于點(diǎn)D,線段BD的長度稱為鉛垂圖,那么$ ABC=1EFgBD , 此即為三角形水平寬鉛垂高面積公式,其中水平寬EF通常取最外兩條垂線的寬度,對應(yīng)鉛垂高取

2、經(jīng)過夾在中間的頂點(diǎn)B與邊AC交點(diǎn)D之間的距離.公式推導(dǎo)如右圖,過點(diǎn)A, C作鉛垂高BD上的高AG, CH, 1 1 . _那么有 Saabc = Szabd+S»abcd = AGgBD CH gBD1 一 八1=AG CH gBD = EFgBD .22公式應(yīng)用1上下垂線例1 適合八年級如圖,邊長為a的正方“12-12A. a B. a816說明：此題可以連結(jié)CF,由4BCD的面積減去4BCF 與4CDF的面積求解,也可以建立平面直角坐標(biāo)系, 利用三角形水平寬鉛垂高面積公式求得.解析：不妨以B為原點(diǎn),BC為x軸,BA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,那么點(diǎn) C 坐標(biāo)為a, 0,點(diǎn)D坐標(biāo)為a

3、, a,. E為AD的中點(diǎn),.占.八、. P為CE的中點(diǎn),.占.八、F為BP的中點(diǎn),.占.八、過F點(diǎn)作BC的垂線交BD于點(diǎn)G,3坐標(biāo)為3 a ,又直線BD的解析式為8G的縱坐標(biāo)為3 a ,8.BDF 的鉛垂高 FG = 3a 1a =E坐標(biāo)為P坐標(biāo)為F坐標(biāo)為8a,281 一 一 11S>A BDF=BCgFG -ag-a22%a 16公式應(yīng)用2左右垂線例2 適合八年級如圖,直線yx3x3x軸,y軸分別交于點(diǎn)A, B,以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角AABC ,且CB1/ BAC=90 .如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn) Pa,1, 2且4ABP的面積與RtA ABC的面積相等,求a的 值.

4、說明：此題常見解法有三,一是連結(jié)OP, AABP|yCBPOA的面積= AOB面積+4BOP面積AAOP面積,然后用a的代數(shù)式表示,與RtAABC的面積 相等列方程求解；二是將點(diǎn)C沿AB翻折到C'位置,那么4 ABC面積與 ABC詢積相等,假設(shè)4ABP的面積與RtAABC的面積CBPA相等,那么可得PC' AB,因此,可以由點(diǎn)A, C坐標(biāo)先求C'坐標(biāo),再根據(jù)AB的 斜率與點(diǎn)C'坐標(biāo)求直線PC'的解析式,將點(diǎn)P縱坐標(biāo)代入,即可求a的值.三是考慮水平寬鉛垂高公式來計算,但如果從 A, B, P三點(diǎn)向x軸作垂線,較為復(fù)雜,不妨換個角度應(yīng)用公式,即從 垂線,仿公

5、式求解.現(xiàn)解析如下.解析：過A, B, P三點(diǎn)作y軸的垂 線,那么OB可以看成公式中的水平寬, 而PE可以看成公式中的鉛垂高,不 習(xí)慣的同學(xué)可以將屏幕或頭轉(zhuǎn)個 90 度由AB的解析式可以得OA=后,A, B, P向y軸作垂線即左右方向作OB=1,而P的縱坐標(biāo)為-,所以E為AB的中點(diǎn),2所以PE = -a+理,2從而有12 2-1 a 舊,2222條垂線將與第三邊AB的延長線相交,此時頂公式應(yīng)用3內(nèi)外垂線從例2可以看到,三條垂線不一定作向 x軸,也可以作向y軸,仿公式用即可.一般地,水平寬取的是最外的兩條直線的距離,但這個做法不是絕對的,有 時根據(jù)需要也可以取任意兩條直線的寬度,那么公式可以變化

6、為:1 -EFgCG.簡單推導(dǎo)：11S»a abc = Sz acg Sa bcg=-CGgEH -CGgFH 221=- EFgCG.S»A ABC =說明：當(dāng)取相鄰兩條垂線距離為水平寬時,第三點(diǎn)(C)到交點(diǎn)(G)的距離為鉛垂高(CG)例3 (適合九年級) 如下圖,直線l: y=3x+3與 x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B.把4AOB沿y軸翻 折,點(diǎn)A落到點(diǎn)C,拋物線過點(diǎn)B, C和D (3, 0).(1)求直線BD和拋物線的解析式.(2)假設(shè)BD與拋物線的對稱軸交于點(diǎn) M ,點(diǎn)N在坐 標(biāo)軸上,以點(diǎn)N, B, D為頂點(diǎn)的三角形與4MCD相 似,求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo).(3)

7、在拋物線上是否存在點(diǎn) P,使Sapbd=6?假設(shè)存 在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在,說明理由.(4)點(diǎn)Q是拋物線對稱軸上一動點(diǎn),是否存在點(diǎn) Q使得BQ CQ的值最大,假設(shè)存在,請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在,請說明理由解析：此題只解(3),由條件可以得拋物 線解析式為y x2 4x 3 , BD解析式為y x 3,由于問題中并未交待P點(diǎn)在BD的 上方或下方,故要分類討論：當(dāng)P在BD下方時,如右上圖,水平寬為 OD =3,鉛垂高為 PE= x2 4x 3 x 3 x2 3x ; 當(dāng)P在BD上方時,P可能在左,也可以在右, 但兩者本質(zhì)相同,如右下列圖,此時依然取OD=3為水平寬,那么鉛垂高 PE =八22-x 3 x 4x 3 x 3x.兩種情況合起來就是1 3 x2 3x 6,即 2x 3x 4 .當(dāng)x2 3x 4時,方程無實(shí)數(shù)根,即 P在BD 下方時,不可能面積為6;當(dāng) X2 3x 4 時,解得 X11,X2 4,即當(dāng) P (-1, 8)或 P (4, 3)時,Szxpbd=6.解后：從以上幾例可以看到,靈活運(yùn)用水平寬與鉛垂高公式