二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法

1、二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法課程背景：二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法是高考中數(shù)列的一個(gè)高頻考點(diǎn),由于其遞推數(shù)列的特殊性和復(fù)雜性,很多學(xué)生感到無從下手,是學(xué)生高考中較大的一個(gè)失分點(diǎn),其實(shí)此題來源于課本習(xí)題,本課就這個(gè)問題以課本習(xí)題為載體來深入的探討和研究一下二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法課程內(nèi)容：真題再現(xiàn)：*351 . 2021廣東又19設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, nu N .a=1, a?=, a3 =-,24且當(dāng) n2時(shí),4Sn書+5Sn =8Sn書+SnJL.1求a4的值;-1-2求證：4an書一an卜為等比數(shù)列；I23求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.2 .在數(shù)列an 中,a=1,a2=1

2、, an+=an+ann±2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式問題呈現(xiàn)：第一題中的第三問是難點(diǎn),當(dāng)n2時(shí),4Sn也+ 5Sn= 8Sn1 + Sm 易得114 Sn 書Sn 由=4Sn +Sn4Sni-SP a"= Hn 4 一 一 Hn ,頭際上就ZEHn&= Hn 書一一 Hn ,求匕門的44通項(xiàng)公式.第2題更是典型的an4=an+ann22,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式這兩題的共同特點(diǎn)是：數(shù)列a1 =a,a2 =b,anH2 = pan中+qannw N , pq # 0,求an的通項(xiàng)公式,即二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法.這是學(xué)生的一個(gè)難點(diǎn),同時(shí)也是高考重點(diǎn)考查的知識,很多學(xué)

3、生感到很繁瑣,無從下手.實(shí)質(zhì),此類題型來源于我們的課本習(xí)題課本例題呈現(xiàn)：例13數(shù)列 圾上a1 =5,a2 =2, an =2an+3ann之3,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.人教版高中數(shù)學(xué)必修 5第二章數(shù)列復(fù)習(xí)參考題 B組第6題解法 1 ：歸納猜想由可得：a=1, a2 =2,a3 =19,a4 = 44,a5 =145,猜想an =1 7 niT1-3"n-1N用擻隼歸納法詡明略4解法2:構(gòu)造法心3將 an =2an4+3an變形,! 九=2九加工 +3%=2九an+-an2 -3右九=T,即人=T或者3,那么母中一 自是一個(gè)等比數(shù)列,公比為2-九.九=一1時(shí),an書+ an是一個(gè)首2 -項(xiàng)為

4、7,公比為3的數(shù)列,an + an,=7父3n工九=3時(shí),小十一3小是一個(gè)首項(xiàng)為-13,公比為一1的等比數(shù)列一一 ,.n -1an+3an =-13 父-1由兩式消去 an5得：an =17x3n-+13x-1n-ne N* 4解法3：待定系數(shù)轉(zhuǎn)化法an =2an1+3anN,設(shè)an 九%= Nan九an/,其中九,B是待定的常數(shù),那么an =九+Nanj ?出an/.得小鳥 ,比較系數(shù)顯然 九與N是方程x22x3 = 0的兩根,即方程x2 = 2x + 3的兩根.: ' 2 -21 -3= -13 AR=3 = 1.1 或,N=3 ,得：an -3維=一再3斑1an +,an=3 4

5、an世a小療解法 , 相同可得an =17 3nl 13 -1nln N* 4我們發(fā)現(xiàn)解法2與3本質(zhì)相同,都是構(gòu)造等比數(shù)列,再利用方程思想得到通項(xiàng)公式.這種解法可以推廣到一般： 揭示結(jié)論：設(shè)數(shù)列 為 =a,a2 =b, an也=pan書+qann w N* , pq =0,求 an設(shè)：an-2 Aan =an電九a,九,N是待定系數(shù),整理得an也=兒+N同書-九Nan,比較系數(shù)得：九+ N = p,=-q ,所以九,N是方程x2 - px q = 0的兩根.I.當(dāng)420時(shí),設(shè)其實(shí)根為a,P ,從而有 n=0或anH2 一 0an 書=二小書-Ctn.!、. I所以,數(shù)列an書aan, an書P

6、an分別是P和a的等比數(shù)列?_p卜田 得an七一儀前由=P an由a n或故得：an 書a an = (a2 aa1)口 an4 Pan =(a2 Pa1)c(n當(dāng)a #P時(shí),由消去an書得an(a2 -匚 a1) ：n, -(a2 一 : a) anP -a令 G ="a一包",C2 =aa1,那么 an =Gan,+c2pn,常數(shù) C1,C2 由 ai,a2確定 P -Ctp -Ct當(dāng)O=P=E時(shí),由得an+£an =a2uajan,兩邊同除an引得第一駕=亙二箸.數(shù)列粵是公 2.2n 1 .2n .22.2n差為 曳二魯,首項(xiàng)為 亙的等差數(shù)列.得：為二駕+1

7、包二普,得令g =告a-等1, q=曳等1 , 二 ： ： 二 ： ： 二 二得an =.+nc2«n,常數(shù)G.由a1,a2共同決定.所以,遇到此類題求通項(xiàng)公式只需考查方程遞推方程工七=pan+ qan的特征方程x2 = px + q ,運(yùn)用特征根方程特點(diǎn)解題,是非常簡單的.結(jié)論運(yùn)用對于文中所涉及白第一小題2021廣東文19的第三小問我們便可以運(yùn)用此法解答.題目中已經(jīng)求出遞推方程121an =an書-an ,所以其特征方程為x2 =x-,解得方程只有兩個(gè)相等的實(shí)根即:1a = P =一,所以2an = (G nc2ni3,.a =1, a2=一可得:2 ,、1 ,(C1C2)- -1,1、2(C12c2 )()2=1C1 = 0, C2 =2 an第2小題的遞推公式 an4=an+ann至2,其特征方程為X2 = X +1 .解得 X1 =1 - .52,X23 .可2設(shè)an,a1 =1,.比=1 ,可得:C1.=1_1 解得 d=,C2&2 52、52215C1 j%2代入an可彳導(dǎo)an44由此可見遇到此類求通項(xiàng)公式的題,用特征根方程通過待定系數(shù)法解決此類問題是很簡單的.回頭梳理整個(gè)通