二次根式知識點+例題分析+難題拓展+測試

1、二次根式的知識點匯總知識點一：二次根式的概念形如口口之的式子叫做二次根式.注：在二次根式中,被開放數(shù)可以是數(shù),也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式,但必須注意： 由于負數(shù)沒有平方根,所以值之.是4為二次根式的前提條件,如有,叱石,斤!工之1等 是二次根式,而q, J7等都不是二次根式.例1.以下式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式：艮泥、,、& x0、近、x短、-應、一1、Jx + y x0, y?0.x y 、分析：二次根式應滿足兩個條件：第一,有二次根號“ ；第二,被開方數(shù)是正數(shù)或0.知識點二：取值范圍1、二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知,當a呈0時,4有意義,是二次根式,所以

2、要使二次根式有意義,只要使被開方數(shù)大于或等于零即可.2、二次根式無意義的條件：因負數(shù)沒有算術平方根,所以當 a0時,幾 沒有意義.例2.當x是多少時,J3x-1在實數(shù)范圍內有意義?例3.當x是多少時,j2x+3 +, 在實數(shù)范圍內有意義?x 1知識點三：二次根式 石a-0 的非負性品 -0表示a的算術平方根,也就是說, 小厘之口是一個非負數(shù),即幾之0 以之0o注：由于二次根式 啟“3表示a的算術平方根,而正數(shù)的算術平方根是正數(shù), 0的算術平方 根是0,所以非負數(shù)-0 的算術平方根是非負數(shù),即 逐之0 厘之0 ,這個性質也就是非負數(shù)的算術平方根的性質,和絕對值、偶次方類似.這個性質在解做題目時應

3、用較多,如假設石+忑=.,那么 a=0,b=0；假設石+ BI=.,那么 a=0,b=0 ；假設石+/=.,那么 a=0,b=0.例 4(1) y=2= + 0).口 el_w = or(trCO)即；假設a是負數(shù),那么等于a的相反數(shù)-a,即 12、中的a的取值范圍可以是任意實數(shù),即不管 a取何值,一定有意義；3、化簡必時,先將它化成 同,再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡.1內2/T3后4正了例2填空：當a?0時,702=；當aa,那么a是什么數(shù)例 3 當 x2,化簡 J(x 一第-7(1-2x)2 .知識點六：與的異同點1、不同點：對口與43表示的意義是不同的,出廠表示一個正數(shù)a的算術平方根的平

4、方,而 至 表示一個實數(shù)a的平方的算術平方根；在中鼻之 ,而中a可以是正實數(shù),0,負 實數(shù).但護了與小都是非負數(shù),即/了之.,4之 0因而它的運算的結果是有差異的,廠 .厘值?0向g,而一用一大.2、相同點：當被開方數(shù)都是非負數(shù),即白之.時,/=4；門0, b0反過來：VQb =0 瓜(a0, b0)2、除法溫a0, b0反過來,a Vab =而 (a0, b0)思考：b的取值與a相同嗎為什么不相同,由于 b在分母,所以不能為0(1) 4拆 X 77(2) J1 X 向 (3)向 X 而 (4)?X 布(1) 19M16(2) J16m819x2y2(4) .54例3.判斷以下各式是否正確,不

5、正確的請予以改正:(1) (-9)=二(2) &25 X V25 =4X J-25 X 25 =4假 X 725 =4712 =873例4.計算：1),12J34161 .1例5.化簡:(1)649x5x64y22169y2例6,=W9M ,且x為偶數(shù),求(1+x) Jx2-5x + 4的值.- x-6x-6 x2 -13、最簡二次根式應滿足的條件:1被開方數(shù) 不含分母或分母中不含二次根式;2被開方數(shù)中不含開得盡方的因數(shù)或因式熟記20以內數(shù)的平方；因數(shù)或因式間是乘積的關系,當被開方數(shù)是整式時要先判斷是否能夠 分解因式,然后再觀察各個因式的指數(shù)是否是 2或2的倍數(shù),假設是那么說明含有能開方的因式

6、, 那么不滿足條件,就不是最簡二次根式例1 .把以下二次根式化為最簡二次根式15 ； (2) , x2y4 x4y2 ; 8x2y34、化簡最簡二次根式的方法:1把被開方數(shù)或根號下白代數(shù)式化成積的形式、即分解因式;2化去根號內的分用或分用中的根號,即分用有理化;3將根號內能開得盡方的因數(shù)或因式開出來.此步需要特別注意的是：開到根號外的時候 要帶絕對值、注意符號問題5.有理化因式：一般常見的互為有理化因式有如下幾類:/與后；無+樞與m-加；淳+班與淳一袤；活而+園g與微石f 指說明：利用有理化因式的特點可以將分母有理化.13、同類二次根式：被開方數(shù)相同的最簡二次根式叫同類二次根式.判斷是否是同類

7、二次根式時 務必將各個根式都化為最簡二次根式.如 秀與加 知識點八：二次根式的加減1、二次根式的加減法：先把各個二次根式化為最簡二次根式,再把被開方數(shù)相同的二次根式即同類二次根式進行合并.合并方法為：將系數(shù)相加減,二次根式局部不變,不能合并的直接抄下來.例 1 .計算1 & + M2 &6X +V64x例2.計算(1) 3 相-91+3后(2) ( 48 + ,20 ) + (、,12-萬)例 3. 4x2+y2-4x-6y+10=0,求|乂辰+/小=-x2-5x-y 的化2、二次根式的混合運算：先計算括號內,再乘方開方,再乘除,冉加減3、二次根式的比較：1假設八 ,那么有力依；2假設0下麻,

8、那么有之3將兩個根式都平方,比較平方后的大小,對應平方前的大小例4 .比較3/與4而的大小【典型例題】1、概念與性質1)例1、以下各式-x2 2,4) 4,5), (- ；)2,6) T-,7) b B. ab D. a 0,b 0時,如果a b ,那么指Tb ；如果a b ,那么向0,b 0時,如果a2 b2,那么a a b ;如果a2 b2,那么a b.例2、比較3量與2遍的大小.(3)、分母有理化法通過分母有理化,利用分子的大小來比較.例3、比較與一的大小.3-12 -1(4)、分子有理化法通過分子有理化,利用分母的大小來比較.例4、比較Ji5-Ji4與&4-A的大小.(5)、倒數(shù)法例5

9、、比較-心與而-君的大小.(6)、作差比較法在對兩數(shù)比較大小時,經常運用如下性質： a-bA0uab; a-b0= a2且n是整數(shù))表示的等式,并給出驗證過程例3、ab0, a+b=6每,那么的值為(A. -2B. 2 C. .22例4、甲、乙兩個同學化簡時,分別作了如下變形:甲：-七阻 Ji . ViE - JV .VaFfa b)冊一分工)(+ 翳)a- bfabST)a- b乙：其中()A.甲、乙都正確 B.甲、乙都不正確C,只有甲正確D,只有乙正確課堂練習：1 . 使式子 Jx -4有意義的條件是 .2 .當 時,JX,2+&二2X有意義.3 . 假設 J-m +一有意義,那么 m 的

10、取值范圍是. m 14 .當x 時,J(1 - x 2是二次根式.5 .在實數(shù)范圍內分解因式：x4-9=, x2-2乏x+2=6 .假設Z4x2 =2x ,貝U x的取值范圍是.7 .J(x-2f =2-x ,那么x的取值范圍是 .8 .化簡： Jx2 2x+1 (x0 ),V2, Jy +1 (y = 2 ), J2x(x 0 ),我,Jx2 +1,x + y 中,二次根式有(A. 2個 B. 3 個 C. 4 個 D. 5 個14 .以下各式一定是二次根式的是()A. 7 B. 3 而 C.alD.,:15 .假設 2Ya2 D. x -219.計算：2a 1 f +J1 _2a 2 的值

11、是A. 0 B.4a -2 C. 2-4a D.24a或4a-221 .假設 Jx _y +y2 _4y +4 =0 ,求 xy 的值.22 .當a取什么值時,代數(shù)式 岳幣+1取值最小,并求出這個最小值.24 . x2 -3x+1 =0,求 Jx2+-2 的值.25 . a,b 為實數(shù),且 護9-b-1 4b = 0,求 a2005 -b2006 的值.26 .化簡：二次根式的乘除1 .當 aE0, bV0時,而二.2 .假設J2m4 和J33m,n也都是最簡二次根式,那么m=,n =.3 .計算： 應父百=; 73699=.4 .計算：加一3而廣6=.5 .長方形的寬為串,面積為2褥,那么長

12、方形的長約為 精確到0.01 6 .以下各式不是最簡二次根式的是A. .a2 1 B. 2x1 C.2b D. E47 .xy0,化簡二次根式xJM的正確結果為A./y B. -y C. -. y D.-y8 .對于所有實數(shù)a,b,以下等式總能成立的是A. a b )= a bB.a2 b2 二 a bC.J(a2+b2 j =a2+b2D.J(a +b j = a +b9 . 乂石和-3夜的大小關系是A.-2、3-3、2 B.-2、34-3/2C.2乖=3/D.不能確定10 .對于二次根式lx2+9 ,以下說法中不正確的選項是A.它是一個非負數(shù)B.它是一個無理數(shù)C.它是最簡二次根式D.它的最

13、小值為311 .計算：12 .3二次根式的加減1 .以下根式中,與 遙是同類二次根式的是A. 24 B. 12 C. ,； D. 而2 .下面說法正確的選項是A.被開方數(shù)相同的二次根式一定是同類二次根式B. 屈與屈是同類二次根式C. 應與不是同類二次根式D.同類二次根式是根指數(shù)為2的根式3 .與ja可不是同類二次根式的是b C.1abD.4 .以下根式中,是最簡二次根式的是,5ab2A. 02b B. 12a -12bC. x2 - y2 D.5 .假設14x|3.當x=3時,在實數(shù)范圍內沒有意義的是A. x -3B. 3 - xC. x2-3D. 3-x24.化簡二次根式4(-3尸6 得()

14、A. -3.6B. 3- 6C. 18D. 65.等式Ja+11-a =70而成立的條件是6,以下各式計算正確的選項是A. 8,3 *2 3 =16、3B. 5、,3.5、2 =5 . 6C. 4,3 *2 ,2 =8.6D. 43*22=8、,57,假設a=X?F,貝u9等于A. a2 3B. (a2 3)2C22.(a 9)D. a2 98,化簡25等于A. 52B.考D. _ 10129,等式急成立的條件是A. x -0B. xiC, 0x110.當 a-3時,化簡 J(2a-1)2 +J(a+3)2 的結果是(A. 3a 2B. Ta -2C. 4 -aD. a-4、填空題每題 3分,

15、共24分11.如果是二次根式,那么x的取值范圍是1 -x12.假設n0 ,那么代數(shù)式J27m3n213.化簡點0.04 490.25 1215 _5 二15.12a虐-2啟華=6,那么16 .假設?曹與J呼是同類二次根式,那么m=17 . Ja22 =2 a成立的條件是 .18 .假設 nJa3b) (3a、P + J9ab)v b a a(2)21 .x+y=5, xy=3,計算5十代的值.5分22 .實數(shù) a,b,c滿足 Ja 1+|b+1|+c2-4c+4 =0 ,求 a100 十b100 十c3的值.5 分23 .假設 a-b=5&-1, ab=亞,求代數(shù)式a+1b-1的值.6 分24

16、 . A=,B=,求的值.(6 分)32.23-2 2A-1 B-125 .a+1=-1 +d0,求a2+4的值.(6分) aa綜合、運用、診斷、填空題11 . J 2x表示二次根式的條件是 12.使X2X1有意義的X的取值范圍是13 .XX -1+J1 x =y +4 ,那么xy的平方根為 14 .當 x=2 時,V1 -2x +x2 -y1 +4x +4x2 =.二、選擇題15 .以下各式中,x的取值范圍是 x2的是().A.x -2B.1_C.1 一D.1 一.x-22-x2x116 .假設 |x5|+2jy+2=0,那么 xy 的值是().A. - 7B. - 5C. 3D. 7三、解

17、做題17 .計算以下各式：99 9239(1)玖3.14昉2;(2) (A32)2;(3) J(-) 2；(4) ()2. 3. 0.52-218 .當 a=2, b=1, c=1 時,求代數(shù)式 一b n,b -4ac 的值.2a拓廣、探究、思考19 .數(shù) a, b, c在數(shù)軸上的位置如下列圖：ca一T化簡： a2 -|a +c| 九；(c -b)2 -| -b | 的結果是： 20 . ABC的三邊長a, b, c均為整數(shù),且 a和b滿足a 2 +b2 6b +9 =0.試求 ABC的c邊的長.綜合、運用、診斷、填空題9 .定義運算“ 的運算法那么為：xy = Jxy + 4,那么266=1

18、0 .矩形的長為 25cm ,寬為J而cm ,那么面積為11 .比較大小：1 3版2廄；2 5啦2.2二、選擇題12.假設Ja2b =-aqb成立,那么a, b滿足的條件是A.a0B. a 0C.a 0D. a, b異號13.把4J2根號外的因式移進根號內,結果等于4A.B. ,11C.D. 2,11三、解做題14 .計算：(1) 5 920 .當x=1一 時,求代數(shù)式 x2- 4x+2的值.2 - .3拓廣、探究、思考21 .探究下面的問題:(1)判斷以下各式是否成立你認為成立的,在括號內畫“,否那么畫“Xn的取值范圍.(2)你判斷完以上各題后,發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律請用含有n的式子將規(guī)律表示出來,并寫出(3)請你用所學的數(shù)學知識說明你在(2)題中所寫式子的正確性.綜合、運用、診斷、填空題13 .(1)規(guī)定運算：(a