精品等差數(shù)列的性質(zhì)總結(jié),推薦文檔

1、等差數(shù)列的性質(zhì)1 1.等差數(shù)列的定義：anan1d(d為常數(shù))(n2)；2 2. .等差數(shù)列通項(xiàng)公式：ana1(n1)ddna1d(n首項(xiàng)：a1,公差:d,:d,末項(xiàng)：an推廣：anam(nm)d.從而danam；3.3.等差中項(xiàng)(1)(1)如果 a a, ,A,b b 成等差數(shù)列,那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).即:ab丁或2Aab(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列an是等差數(shù)列4.4.等差數(shù)列的前 n n 項(xiàng)和公式：2anan-1an1(n2)2an1anan2n(aan)n2na1n(n1)d(其中 A A、B B 是常數(shù),所以當(dāng)特別地, 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n2d d豐豐0 0時(shí),1時(shí),2,12-(a1d)n

2、AnBn2,S,Sn是關(guān)于 n n 的二次式且常數(shù)項(xiàng)為 0)0)an1是項(xiàng)數(shù)為 2n+12n+1 的等差數(shù)列的中間項(xiàng)S2n12n1a1a2n12n1an1(項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)乘以中間項(xiàng))5.5.等差數(shù)列的判定方法(1)(1)定義法：假設(shè) a an(2)(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列數(shù)列 a an是等差數(shù)列anan(4)(4)數(shù)列 anan 是等差數(shù)列6.6.等差數(shù)列的證實(shí)方法d或an1是等差數(shù)列anSnknbAn2an2an(其中Bn, ,d(常數(shù)nan-1an1N) )an是等差數(shù)列.(n2)2an1anan2k,b是常數(shù)).(其中 A A、B B 是常數(shù)).定義法：假設(shè)anan1d

3、或an17.7.提醒：and(常數(shù)nN) )an是等差數(shù)列.(1)(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n n 和公式中,根本元素.只要這(2)(2)設(shè)項(xiàng)技巧：一般可設(shè)通項(xiàng) a an5 5 個(gè)元素中的任意a1(n奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差,可設(shè)為,偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差,可設(shè)為,8.8.等差數(shù)列的性質(zhì)：(1)當(dāng)公差d0時(shí),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式1)da3 3 個(gè),2d,a3d,a前n和Snna1an(n(2)(2)假設(shè)公差 d d當(dāng)mn注：a1(4)假設(shè)an、bn涉及到 5 5 個(gè)元素：a1、d、n、an及Sn,其中a1、d稱作為便可求出其余 2 2 個(gè),即知 3 3 求 2 2.d,a,ad,a2d(公差為d);d,ad,

4、a3d, ,(注意；公差為 2 2d)(n1)ddnd2/2n(a10,那么為遞增等差數(shù)列,假設(shè)公差pq時(shí),那么有amana2an1為等差數(shù)列,那么a3(5)(5)假設(shè)an是等差數(shù)列,那么Sn,S2n(6)(6)數(shù)列為等差數(shù)列,每隔 k(kk(ka1d是關(guān)于n的一次函數(shù),且斜率為公差d;anapdd)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為2I0,那么為遞減等差數(shù)列,假設(shè)公差d,特別地,當(dāng)mn2P時(shí),那么有am0 0. .0,那么為常數(shù)列.an2ap. .an1an2bn都為等差數(shù)列Sn,S3nS2n,也成等差數(shù)列*.N)項(xiàng)取出一項(xiàng)(am,amk,am2k,am3k,)仍為等差數(shù)列(7)設(shè)數(shù)列an是等差

5、數(shù)列,d為公差,第是奇數(shù)項(xiàng)的和,S偶是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和,Sn是前1 1.當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù) 2n2n 時(shí),n n 項(xiàng)的和naia2n1nanna2a2nS偶a2a4a6a2nnan12S偶年nani同nan1anSw網(wǎng)&S禺naniani2 2、當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1時(shí),那么S2niS奇S偶(2n1)an+iS(n1)an+i包n1S奇S偶an+1S偶nan+1&禺n(其中an+1是項(xiàng)數(shù)為 2n+12n+1 的等差數(shù)列的中間項(xiàng)).(8)、bn的前n和分別為An、Bn,且 4f(n),Bn那么包(2n1)an&_1f(2n1). .bn(2n1)bnB2nll)(9)等差數(shù)列an的前

6、n n 項(xiàng)和Smn,n,前 m m 項(xiàng)和Snm,m,那么前 m+nm+n 項(xiàng)和Smnmn(10)(10)求Sn的最值法一：因等差數(shù)列前n項(xiàng)是關(guān)于n的二次函數(shù),故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值,但要注意數(shù)列的特殊性*nN.法二：(1)(1)“首正的遞減等差數(shù)列中,前 n n 項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和an0一一,即當(dāng)a10,d0,由可得Sn到達(dá)最大值時(shí)的n值.an10(2)“首負(fù)的遞增等差數(shù)列中,前n項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和.2_an0一,L即當(dāng)a10,d0,由n可得Sn到達(dá)最小值時(shí)的n值.an10或求an中正負(fù)分界項(xiàng)法三：直接利用二次函數(shù)的對(duì)稱性：由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的圖像是過原點(diǎn)的二次函數(shù),

7、故n取離二次函數(shù)對(duì)稱軸最近的整數(shù)時(shí),Sn取最大值(或最小值).假設(shè)S= =Sq那么其對(duì)稱軸為n注意：解決等差數(shù)列問題時(shí),通常考慮兩類方法：根本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d的方程；巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì),一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn),減少運(yùn)算量.等比數(shù)列的性質(zhì)1 1 . .等比數(shù)列的定義：-an-qq0n2,且nN*,q稱為公比an12 2 . .通項(xiàng)公式：ana1qn1a1qnABna1q0,AB0,首項(xiàng)：a1；公比：qq推廣：anamqnm,從而得qnm包或qnJ-an-amam3 3 . .等比中項(xiàng)(1)如果a,A,b成等比數(shù)列,那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).即：A2ab或AVab注意：

8、同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng),并且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)(兩個(gè)等比中項(xiàng)互為相反數(shù))4 4 . .等比數(shù)列的前 n n 項(xiàng)和Sn公式:當(dāng)q1時(shí),SnnaiT/Mcai1q(2)(2)當(dāng)q1時(shí),Sn1q-a-a-qnAABnABnA(A,B,A,B為常數(shù))1q1q5. .等比數(shù)列的判定方法a.(1)(1)用TE乂：對(duì)任息的 n,n,都有an1qan或q(q為吊數(shù),an0)an為等比數(shù)列an2(2)等比中項(xiàng)：anan1an1(an1an10)an為等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式：anABnAB0an為等比數(shù)列(4)(4)前 n n 項(xiàng)和公式：SnAABn或SnABnAA,B,A,B為常數(shù)an為等比數(shù)列6. .等比

9、數(shù)列的證實(shí)方法a*依據(jù)TH乂：右qq0n2,且nN或an1qanan為等比數(shù)列an17. .注思(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式中,涉及到5個(gè)元素：a1、q、n、an及Sn,其中a1、q稱作為根本元素.只要這5 5 個(gè)元素中的任意 3 3 個(gè),便可求出其余 2 2 個(gè),即知 3 3 求 2 2.(2)(2)為減少運(yùn)算量,要注意設(shè)項(xiàng)的技巧,一般可設(shè)為通項(xiàng)；anS1qn1如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差,可設(shè)為,-,芻,2C4e42(公比為 q,q,中間項(xiàng)用a表示)；qq8 .等比數(shù)列的性質(zhì)當(dāng)q1時(shí)等比數(shù)列通項(xiàng)公式ana1qn1亙qnABnAB0是關(guān)于 n n 的帶有系數(shù)的類指數(shù)函數(shù),底數(shù)為公比qqa11qn

10、前n項(xiàng)和&-1a1q-aL-qnAABnABnA,系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)是互為相反1q1q1q1q數(shù)的類指數(shù)函數(shù),底數(shù)為公比q(2)對(duì)任何m,nN*,在等比數(shù)列a,中,有anamqnm,特別的,當(dāng)m=1時(shí),便得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.因此,此公式比等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性.(2)數(shù)列an是等比數(shù)列anan1an1a1anq*2右m+n=s+t(m,n,s,tN),那么anamasat.特別的,當(dāng)n+m=2k時(shí),得anamak歹Ian,bn為等比數(shù)列,那么數(shù)列,kan,ank,kanbn包(k為非零常數(shù))均為等比數(shù)anbn列.(5)數(shù)列an為等比數(shù)列,每隔k(kN*)項(xiàng)取出一項(xiàng)(am,amk,am2k,am3k,)仍為等比數(shù)列(6)如果an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,那么數(shù)列l(wèi)ogaan是等差數(shù)列假設(shè)an為等比數(shù)列,那么數(shù)列Sn,S2n5,S3n&n,成等比數(shù)列當(dāng)q=1時(shí)該數(shù)列為常數(shù)列(此時(shí)數(shù)列也為等差數(shù)列)當(dāng)q0時(shí)該數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列.(10)在等比數(shù)列烝中,當(dāng)