電動力學復習總結電磁波的輻射2012答案

1、第五章電磁波的輻射一、填空題1、色散現(xiàn)象是指介質的是頻率的函數(shù).答案:2、假設一電流 J=40 x8stez,那么它激發(fā)的矢勢的一般表示式為A二r、,40 xcost-eZdv答案：A0c4vr3、變化電磁場的場量E和B與勢A、的關系是E=,B=A答案：E,BAt4、真空中電荷只有做運動時才能產(chǎn)生電磁輻射；假設體系電偶極矩p變?yōu)榇鸢福杭铀?81P05、勢的標準變換為A,答案：AA,t6、洛侖茲標準輔助條件是；在此標準下,真空中迅變電磁場的勢滿足的微分方程是1答案：AJ20,c2t7、真空中一點電荷電量qq0sint,它在空間激發(fā)的電磁標勢為振幅P P0不變,當輻射頻率有由時變?yōu)?,那么偶極輻射

2、總功率由原來的rq0sint一c0r8、一均勻帶電圓環(huán),半徑為R,電荷線密度為,繞圓環(huán)的軸線以角速度.答案:A.J_c2t0B.1c2tC.t20D.工二c2t2答案：過偶極子中央垂直于偶極距的平面答案：不會體系的電流密度Jx,t,那么它的電偶極矩對時間的一階微商為答案：JX,tdvv答案：輻射電阻,-2真空中,電偶極輻射場的電場與磁場忽略了的高次項之間的關系電磁場具有動量,因此當電磁波照射到物體外表時,對物體外表就有答案：輻射壓力選擇題1 .電磁勢的達朗貝爾方程成立的標準換條件是9、真空中某處有點電荷 qitq0e 那么決定離場源r處t時刻的電磁場的電荷i(t-r)答案：q(r,t)q0ec

3、10、2KA,11、12、13、14、15、16、17、速轉動,它產(chǎn)生的輻射場的電場強度為自由空間中電磁場矢勢為A,波矢為K,那么電磁場的標勢真空中電荷 Qt距場點 9106m,那么場點0.2秒時刻的電磁場是該電荷秒時刻激發(fā)的.答案：0.17s電偶極子在方向輻射的能流最強.穩(wěn)恒的電流填寫“會或“不會產(chǎn)生電磁輻射.短天線的輻射水平是由來表征的,它正比于答案：B2.真空中做勻速直線運動的電荷不能產(chǎn)生A.電場B.磁場C.電磁輻射答案：C3.B4.B3.關于電磁場源激發(fā)的電磁場,以下描述不正確的選項是A.電磁作用的傳遞不是瞬時的,需要時間；B.電磁場在傳播時需要介質；C.場源的變化要推遲一段時間才能傳

4、遞至場點；D.場點某一時刻的場是由所有電荷電流在較早的時刻不同時刻激發(fā)的4.一個天線輻射角分布具有偶極輻射的特性,具滿足的條件是答案：B6.對電偶極子輻射的能流,假設設8為電偶極矩與場點到偶極子中央連線的夾角那么平均能流為零的方向是三、問做題1、 電磁波是怎樣產(chǎn)生的.你能否從微觀方面來說明為什么電磁波遇到邊界面時會發(fā)生反射和折射現(xiàn)象.答： 電磁波是由運動的電荷產(chǎn)生的,當電磁波遇到介質界面時,電場、 磁場引起介質極化、磁化.變化的電磁場使極化電荷產(chǎn)生振蕩,生成的電磁波就是反射波和折射波.2、電磁標準,除洛侖茲標準外,還有所謂庫侖標準,其附加條件是A0o試問：在標準變換式AAA,7中,怎樣選擇空時

5、函數(shù),D.位移電流波長與天線相比很長天線具有適當?shù)男螤頓.0,反比于場點到偶極子距離的平方反比于場點到偶極子距離A.波長與天線相比很短B.C.波長與天線近似相等D.答案：B5.嚴格的講,電偶極輻射場的A.磁場、電場都是橫向的B.C.電場是橫向的,磁場不是橫向的磁場是橫向的,電場不是橫向的D.磁場、電場都不是橫向的A.-；B.-；C.答案：D7.電偶極輻射場的平均功率A.正比于場點到偶極子距離的平方B.C.與場點到偶極子距離的無關D.答案：C才是為庫侖標準？采用庫侖標準時,電磁勢方程取什么形式？AAA解：標準變換式?,7采用庫侖標準:4AJXo即在標準變換中當滿足20 是,就是庫侖標準.采用庫侖

6、標準時,電磁勢方程所取形式:3、在什么條件下可選取0,A0這樣一種標準條件？此時,E,B 與勢的關系是什么形式?解：假設采用庫侖標準,且=0,J=0 的自由空間,勢的方程變?yōu)?1A1八2.220ctct0當在空間沒有電荷分布時,把 0 代入式,解得:可以選取庫侖場的標勢0,TATA( (IkJJAIkJJAt tt)LBJAtt)LBJAtX X-Rie4At.t.A AJIAJIAJIAJIAJIEJIE4、假設用矢量場Z常稱為赫茲矢量表小電磁勢A,如下,還滿足洛侖茲條件嗎?解：洛論茲標準輔助條件為:0,將1Z,代入得:c2t故滿足洛倫茲條件.5、我們此時此刻接收到的太陽光,大約是太陽上八分

7、鐘以前激發(fā)的,據(jù)此,試估算太陽與地球的距離.(X,t-)J(X,t-)解：根據(jù)推遲勢解：(.？)-dv,A(x,t)0c-dv40r4r!可以看出,電磁作用是有一定的傳播速度,空間某點 X 在某時刻 t 的場值不是依賴于同一時刻的電荷電流分布,而是決定于較早時刻t,時電荷電流分布,反過c來說.電荷產(chǎn)生的物理作用不能夠馬上傳至場點,而是在較晚時刻才傳至場點所以推遲的時間/正是電磁作用從源點X傳至場點X所需的時間,c 是電磁作用的傳播速度.所以太陽與地球距離 rct3108mS860s1.441011m.6、假設自由空間電磁波的矢勢AA0cos(kz21010t)ey,求電磁波的標勢及電場強度.c

8、12A解：自由空間電磁波滿足2A-2A0,其解為 AA,t)ct實數(shù)形式為 AA0cos(Kxt),與的AA0cos(kz2101t)ey比擬,得Kkezez,2101N,AAey根據(jù)洛倫茲標準條件：c2A得：KA0,電場強度 E-Ai0A0e(KX:取實數(shù)：7、試證實：在洛侖茲條件成立的情況下,有限輻射體系在遠區(qū)的標勢可用公式cnA表示.證實：由于有限輻射體系在遠區(qū)的矢勢展開有：(僅考慮在一定頻率的交變電流情形),第一項最低次項,那么有：|AiknA.1-X1-X/./.V VIAIA的1-R留保只4P陽一R解：因滿足標準變換的A,A,描述同一電磁場,式的Z分量為：AzAz一z依題意要求 A

9、Z0,那么AZ,由以上分析知：只要選擇一個標量函數(shù)z使之滿足AZ,必然可以找到矢勢A,且 Az0z9、垂直放著的短天線可看成電偶極輻射天線向四周輻射電磁波.當一個移動的接收臺在遠處接收信號時,問在什么位置收不到信號？什么位置收到的信號只是最強信號的二分之一？解： 電偶極輻射的平均能流密度一一 23-SinC3R2這說明電偶極輻射具有方向性試證實作用的結果,相當于代換：iknikR0e4R只保存R的最低次項,由于作用R分母上后所得項更小,可忽略.即,d依洛倫茲條件有:8、能否找|A1一0,iknAi0ctc0 的矢勢A,A與 A 描述同一個磁場cnA即：AA(1)S 正比于 sin2322090

10、： 的平面上輻射最強當 SS巧sin245,10電偶極矩輻射的矢勢解提示：挑選滿足為任意標量函數(shù)t當 0,時,沒有輻射,工時,sin2-22,計算電磁場時,需要對A作用算符僅需作用于 eikR上.例如,令 jpAO,4R11、一些荷質比目相同的帶電粒子組成的體系,不會有電偶極輻射.為什m么？解：設體系有N個粒子,第i個粒子的質量為 mi,電荷為 ei,總質量為M那么電在v?c的非相對論情形,應用質心運動定理,設質心的矢徑為 RmmiXmxj口口 4,/曰 4ei4R即mMR,得：PMR,mMmi代入式得：P-MRm由于系統(tǒng)不受外力,那么質心加速度 R0P0,所以沒有電偶極輻12、電磁場具有動量

11、的證據(jù)是什么？電磁場也遵從的動量守恒定律,說出 f,g,T的物理意義.答：電磁波入射至物體外表有輻射壓強.f:作用力密度,g:動量密度,T:動量流密度張量；Tj 表示垂直于i軸單位面積單位時間內流過的動量的j分量.13、一個體系的磁偶極輻射場取決于該體系磁矩 m 的對時間的兩次求導數(shù)mo 說明荷質比相同的帶電粒子系無磁偶極輻射.解：體系的磁偶極矩：L是體系角動量,系統(tǒng)不受外力時,角動量守恒,因此：*m1&L0,22mi所以不會發(fā)生磁偶極輻射.四、計算與證實1.假設把麥克斯韋方程租的所有矢量都分解為無旋的(縱場)和無散的(橫場)兩局部,寫出E和B的這兩局部在真空中所滿足的方程式,并證實電

12、場的無旋局部對應于庫侖場.解：真空中的麥克斯韋方程組為EB/t,(1)E/0,(2)B0J00E/t,(3)偶極矩 PNIeiXB04如果把方程組中所有矢量都分解為無旋的縱場和無散的橫場,并分別用角標L和T表示,那么：由于B0,所以B本身就是無散場,沒有縱場分量,即BL0,BBT；EELET,EL0,ET0；JJLJT,JL0,JT0；(1)得：(ELET)ETBT/tET)EL/00(JLJT)00(ELEL)/t(0JL00EL/t)(0JT00ET/t)(7)/t 得：JL/t(0EL/t)(0EL/t),所以JLEL/t,即所以麥克斯韋方程租的新表示方法為：ETBT/tBL0JL0EL

13、/t0上式的解就是靜止電荷在真空中產(chǎn)生的電勢分布,所以 EL對應靜止電荷產(chǎn)生的庫侖場.2.證實在線性各向同性均勻非導電介質中,假設 0,J0,那么E和B可完全由矢勢A決定.假設取0,這時A滿足哪兩個方程？解：在線性各向同性均勻非導電介質中,假設 0,J0,那么麥氏方程表示為：JL7）式簡化為0EL/t0BT0JT00ET/tBT0JT00ET/tEL/010)562得：EL3得：BT由電荷守恒定律 J又由于 JL08）9EL0 引入標勢,ELEL/0得,EB/tHD/tD0B0其中,DE,HB/,由于4式,引入矢勢A,使BAB可完全由矢勢A決定.將5代入1,得：EA/t0,由此引入標勢,使 E

14、A/t,即EA/t將7式代入3得：22/tA012）3）4）5）678(9)、(10)即為0時A滿足的兩個方程.3,證實沿z軸方向傳播的平面電磁波可用矢勢 A()表示,其中垂直于z軸方向.證：平面電磁波在沒有電荷分布的空間中傳播,勢的方程為沿z軸方向傳播的平面波解為2,ckA/所以E和B只與矢勢的橫向分量有關,即平面電磁波可由 A 來表示,即BAikA,EcBn0ei(kzDA0ei(tz/c)A0ei根據(jù)題意 A 可記為 A(),其方向與z軸垂直.4.設真空中矢勢A可用復數(shù)傅里葉展開為 A(x,t)ak(t)eikxak(t)eikx,其k中 ak是 ak的旻共腕.2dak(t)dt2而 k

15、2c2ak(t)k2c2A(x,t)eikxdx2于是dk2kcak(t)eixcAkcA(x,t)dx(3)如果取將(5)、2A0,由(8)式得：A0(7)代入(2),并注意到0,得:4A0(9)(10)AA0ei(kzA與滿足洛倫茲條件：Ai(kzt)0e00/t00 所以 ikA00,其中 A解(1)(300(1)0J,考慮到真空中式化為eikx(c22A)dx(2)因此,只要給定A,就可以確定,從而E和B隨之確定.由于EcBn證實 ak滿足諧振子方程 4ak(t)k2c2ak(t)dt2中選取標準A0,0 時,證實 kak把E和B用 ak和 ak表小出來.(1)證實：由于 A(x,t)

16、ak(t)eikxak(t)eikxk所以,根據(jù)傅立葉級數(shù)的正交性,必有： 2,、2、dak(t)A(x,t)ikx.22edxdtt在洛倫茲標準下,2A002A/t2dt由于 A(x,t)ak(t)eikxa；(t)eikx,所以k所以(3)式右邊積分中,被積函數(shù)為0,積分為00所以ak滿足諧振子方程(3)2dak(t),22kdt中選取標準由于ak(t),A(x,t)2,、一cak(t)0.A0,0 時ak(t)是線性無關正交組,所以要使上式成立,必有ak(t)eikxak(t)eikx,所以k5.設A和是滿足洛倫茲標準的矢勢和標勢.(1)引入一矢量函數(shù) Z(x,t)(赫茲矢量),假設令、

17、I1ZZ,證實 A-2.ct(2)假設令P,證實 Z(x,t)滿足方程2ZJ_2Zc2-tT0P,寫出在真空中的推遲解.(3)證實E和B可通過Z用以下公式表出:(1)證實:r、2c1Z)c2OP,BFZ.ct是滿足洛倫茲標準的矢勢和標勢,A4一0c2t所以有(1)即:代入(1)得：1A2(ct1Z一一.(J2-),所以,c2tZ)0(2)(3)(2)證實:將由于標勢在洛倫茲標準下有方程:Z 代入,得：(2Z)12c(4)P,那么上式化為2Z)2c與方程2Z12Z-272ctP00P(5)2AJAA2x2ctOJ的推遲解A(x,t)J(x,t比,得方程(5)在真空中的推遲解為(3)將2_Z(x,

18、t)JW-r/c)4r1Z、Z,A-2 一代入 EctdVA/t 及BV類(6)A,得:_.21E(Z)cop,B2Zct6.兩個質量、 電荷都相同的粒子相向而行發(fā)生碰撞,證實電偶極輻射和磁偶極輻射都不會發(fā)生.證：電偶極矩的變化產(chǎn)生的輻射場為：ikRikRee,、B-3(Pn),E-_2-(Pn)n40cR40cR磁偶極矩的變化產(chǎn)生的輻射場為：ikRikRE0e(mn),B0e3(mn)n4cR4c3R在兩個質量、電荷都相同的粒子相向而行發(fā)生碰撞的過程中,取兩粒子的連線為x軸,那么系統(tǒng)的電偶極矩由于兩粒子質量相同,根據(jù)牛頓第二定律,有 X1X2,所以 P0,因此系統(tǒng)的電偶極矩產(chǎn)生的輻射場為0;

19、又由于系統(tǒng)的磁偶極矩m0,所以系統(tǒng)的磁偶極矩產(chǎn)生的輻射場為0,即兩個質量、 電荷都相同的粒子相向而行發(fā)生碰撞,電偶極輻射和磁偶極輻射都不會發(fā)生.7 .設有一球對稱的電荷分布,以頻率沿徑向作簡諧振動,求輻射場,并對結果給以物理解釋.解：由于電荷為球對稱分布,不失一般性,設球面上均勻分布了總電量為 Q 的電荷,于是,球面電荷密度為取如下圖相對的兩塊小面元dS1,dS2,由于兩塊小面元對應相同的立體角,故有相同的面積dS1dS2,由于兩電荷元 dq1,dq2球對稱分布,又以相同的頻率沿徑向作簡諧振動,所以有p0,m0故此兩電荷元的振動不能產(chǎn)生輻射場.根據(jù)場的疊加原理整個球對稱分布的電荷體系沿徑向的簡

20、諧振蕩是不能產(chǎn)生輻射場的振動,輻射場為008 .一飛輪半徑為R,并有電荷均勻分布在其邊緣上,總電量為 Q.設此飛輪以恒定角速度旋轉,求輻射場.解：設飛輪邊緣的厚度為 d,于是邊緣上的電荷面密度 Q/2Rd,體系的電偶極矩為pddlxxdl2Rd2R2體系的磁偶極矩 mISQR2ezQ-ez22由此得 p0,m0,故輻射場為0o9.利用電荷守恒定律,驗證A和的推遲勢滿足洛倫茲條件證實：推遲勢A與可寫作：A(x,t)J(x,t)dV,(x,t)(x,t)dV,4V,r40Vrrxx其中 ttt.cc對于 r 的函數(shù),有由于 J(x,t)1r1rctct所以 J(x,t)J(x,t)t,constJ

21、(x,t)J(X,t)dVcJ(x,t)dS0,所以 rs,r1n1所以 A/Z/,JCconst由電荷守恒定律,J(x,t)t,刈40即得A和的推遲勢滿足10.半徑為 Ro的均勻永磁體,磁化強度為 Mo,球以恒定角速度繞通過球心而垂直于 Mo的軸旋轉,設 R0c,求輻射場和能流.(提示：M0以角速度轉動,可分解為相位差為/2 的互相垂直的線振動；直角坐標基矢與球坐標sincoscoscossineRsinsincossincosecossin0e解：此題相當于一個位于原點的磁偶極子的旋轉,此磁偶極子的磁偶極矩為:43-mR0Mo3其旋轉振蕩可分解為x,y方向上相位差為乂2的簡諧振蕩的合成.4

22、3nmx-R0M0cos(t)ex,3用復數(shù)形式表達為：mx-R3Moeimyi4R03M0eitey3y3y根據(jù)磁偶極矩輻射場公式 BeikR(mn)n,得 4c2R23同理可得 Byi0RMoei(kRt)(eyer)er3cR再根據(jù)直角坐標基矢與球坐標基矢變換關系同理,根據(jù)輻射場公式EeikR(mn),s4cR及坐標基矢變換關系,可得：11.帶電粒子e作半徑為a的非相對論性圓周運動,盤旋頻率為.求遠處的輻射電磁場和輻射能流.j_i_c240V,rtdV4v,rdV,tex基矢變換關系為 eyez420m2n2-3-7sinn322c3R22eaei 屹屹解： 帶電粒子作勻速圓周運動,其磁偶極矩但此系