2012年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解答與點(diǎn)評(píng)

1、2012碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一解答與點(diǎn)評(píng)來源：超越考研 發(fā)布時(shí)間：1-11 19:332012年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解答與點(diǎn)評(píng)一、選擇題（1）曲線漸近線的條數(shù)為( ) （A） （B） （C） （D）答案：選(C)解：，而，所以有兩條漸近線和，故選（C）【點(diǎn)評(píng)】本題屬于基本題，其難度低于超越數(shù)學(xué)一模擬三第（1）題（2）設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)，則( ) （A） （B） （C） （D）答案：選（A）解法一：，故選（A）解法二：，故選（A）【點(diǎn)評(píng)】與超越強(qiáng)化班講義第16頁【例3】設(shè)求中函數(shù)形式和解題方法完全一致，我們真的沒辦法猜出函數(shù)了（3）如果函數(shù)在處連續(xù)，那么下列命題

2、正確的是( ) （A）若極限存在，則在處可微（B）若極限存在，則在處可微（C）若在處可微，則極限存在（D）若在處可微，則極限存在答案：選（B）解：已知在處連續(xù)，設(shè)，因?yàn)?，所以，故由極限的性質(zhì)有，其中是當(dāng)，時(shí)的無窮小量，記，則由全微分的定義知在點(diǎn)處可微分【點(diǎn)評(píng)】本題考察的知識(shí)點(diǎn)是極限的基本性質(zhì)及全微分的定義，所用知識(shí)點(diǎn)與2007年數(shù)學(xué)二的選擇題類似（4）設(shè)則有( ) （A） （B） （C） （D）答案：選（D）解：，所以，所以，故選（D）【點(diǎn)評(píng)】常規(guī)題型，但判定時(shí)有一定的技巧（5）設(shè)，其中為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的為( ) （A） （B） （C） （D）答案：選（C）【點(diǎn)評(píng)】考點(diǎn)（1）列

3、向量組進(jìn)行行變換后，有相同的相關(guān)性；（2）三個(gè)三維的向量線性相關(guān)的充要條件為所構(gòu)成的行列式為零該題與超越最后五套模擬題中的數(shù)一模三第5題，數(shù)二模擬二第7題完全類似解法一： ，顯然有，故線性相關(guān)解法二：因?yàn)?，故線性相關(guān)附：數(shù)二模二（7）已知向量組作為列向量組成矩陣，則（A）不能由其余向量線性表示 （B）不能由其余向量線性表示（C）不能由其余向量線性表示 （D）不能由其余向量線性表示（6）設(shè)為階矩陣，為階可逆矩陣，且，若，則( ) （A） （B） （C） （D）答案：選（B）【點(diǎn)評(píng)】考點(diǎn)（1）等價(jià)于（2）也為的三個(gè)線性無關(guān)的特征向量故此題與超越五套模擬中的數(shù)一、三模五21題完全相同每個(gè)數(shù)字都是一樣

4、的，真是驚人的巧合，這大概只有在超越才能把數(shù)學(xué)模擬到如此完美的地步附：數(shù)一、三模五（21）（本題滿分11分）為三階實(shí)對(duì)稱陣，為三階正交陣，且（）證明，；（）若，計(jì)算，并證明與合同但不相似（7）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且分別服從參數(shù)為和參數(shù)為的指數(shù)分布，則( ) （A） （B） （C） （D）答案：選（A）解：的聯(lián)合密度函數(shù)為故選（A）【點(diǎn)評(píng)】見超越?jīng)_刺班概率統(tǒng)計(jì)講義例8設(shè)總體，為來自總體的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本記（）求的密度函數(shù)；（）求本例8第（）部分即為此題，只是將9換成4而已本例8第（）部分為數(shù)學(xué)三第（23）所考超越?jīng)_刺班學(xué)員實(shí)在受益（8）將長度為m的木棒隨機(jī)地截成兩段，則兩段長度的相關(guān)系數(shù)為(

5、) （A） （B） （C） （D）答案：選（D）解：設(shè)分別為兩段長度，則，因此故選（D）【點(diǎn)評(píng)】與超越強(qiáng)化班講義第190頁例1 將一枚硬幣重復(fù)擲次，以和分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則和的相關(guān)系數(shù)等于（）(A) (B) (C) (D)幾乎一樣此例1為歷年真題二、填空題（9）若函數(shù)滿足方程及，則 答案：“”解：解此二階常系數(shù)齊次線性方程得通解又因滿足可得，故【點(diǎn)評(píng)】此題為一個(gè)簡單的二階常系數(shù)齊次線性方程的求解問題，與沖刺班模擬二第（12）題類似，只是更簡單一些（10） 答案：“”解：【點(diǎn)評(píng)】與超越?jīng)_刺班一元函數(shù)講義【例5】設(shè)為正整數(shù)，則解題思路完全相同，先換元到對(duì)稱區(qū)間，然后利用對(duì)稱性（11

6、） 答案：“”解：記，則【點(diǎn)評(píng)】本題考察的知識(shí)點(diǎn)是梯度的定義，在強(qiáng)化班中講過梯度的定義以后，我們曾說過：“這個(gè)問題不需要舉例題，人人都會(huì)做”本題也僅僅是超越模擬題數(shù)學(xué)一模擬四第10題解題過程中的一個(gè)步驟（12）設(shè)，則 答案：“”解：，在面上的投影區(qū)域如圖所示【點(diǎn)評(píng)】本題考察的知識(shí)點(diǎn)是第一類曲面積分的基本計(jì)算方法，這也是歷年考研試題中第一類曲面積分最簡單的一個(gè)計(jì)算題做完了強(qiáng)化班講義例1及沖刺班例17以后再做本題，感覺本題也太簡單了（13）設(shè)為三維單位向量，為三階單位矩陣，則矩陣的秩為 【點(diǎn)評(píng)】考點(diǎn)（1）實(shí)對(duì)稱矩陣的秩為其非零特征值的個(gè)數(shù)；（2）時(shí)，的特征值為，此題僅數(shù)一考，是代數(shù)三個(gè)小題中最難的

7、一個(gè)若要按照知識(shí)點(diǎn)求解出來，對(duì)考生來說難度很大，但對(duì)超越?jīng)_刺班的學(xué)員來說，卻是易如反掌因?yàn)閷O老師和余老師都強(qiáng)調(diào)了選擇、填空題中的賦值法并把這些都寫進(jìn)了沖刺班講義令我們感到欣慰的是，我們有很多學(xué)員都是用賦值法做出來的答案：“”解法一：的特征值為，的特征值為，故秩為解法二：令，則，從而秩為附：沖刺班講義（5），為維非零列向量則有 ； ；的特征值只能??； 時(shí)，必可相似對(duì)角化，此時(shí)的特征值為一個(gè)，個(gè)零；特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為，特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為（14）設(shè)是隨機(jī)事件，與互不相容， ， 答案：“”解：【點(diǎn)評(píng)】會(huì)做超越?jīng)_刺班概率統(tǒng)計(jì)講義例1設(shè)隨機(jī)事件兩兩獨(dú)立，且，已知至少發(fā)生一個(gè)，則僅有不發(fā)生的概率為

8、本題就是毛毛雨啦三、解答題（15）證明，證法一：令，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，即證證法二：由于為偶函數(shù)，故只需證明時(shí)不等式成立即可當(dāng)時(shí)，所以，得證證法三： 即證證法四：由于為偶函數(shù)，故只需證明時(shí)不等式成立即可所以得證【點(diǎn)評(píng)】首先不等式證明時(shí)今年超越?jīng)_刺班強(qiáng)調(diào)的第一重點(diǎn)再仔細(xì)比較超越?jīng)_刺班數(shù)學(xué)一模擬二（15）：（15）（本題滿分10分）設(shè)，證明：中的不等式兩邊的函數(shù)，有多項(xiàng)式函數(shù)，三角函數(shù)和指數(shù)（對(duì)數(shù)）函數(shù)，驚人地相似最后看證明方法，均有利用單調(diào)性、冪級(jí)數(shù)展開、積分關(guān)系多種方法證明，對(duì)超越?jīng)_刺班同學(xué)真的沒說的！（15）【證法一】令，則，因?yàn)?，所以，單調(diào)遞增，由知從而單調(diào)遞增，再由知，從而單調(diào)遞

9、增，最后由知，故要證的不等式成立【證法二】， 故當(dāng)時(shí)，【證法三】由于當(dāng)時(shí)，在依次作積分得：，即，即（16）求函數(shù)的極值解：令得駐點(diǎn)，在點(diǎn)處，因?yàn)?，且，所以是的極小值點(diǎn)，極小值在處，因?yàn)?，且，所以是的極大值點(diǎn)，極大值【點(diǎn)評(píng)】本題的解題方法是求無條件極值的最基本方法，這與下列各題的解題方法完全相同：同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教材（五版）下冊例4，合肥工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教材下冊例2，強(qiáng)化班講義例1（即2009年數(shù)學(xué)一、三考研試題）（17）求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)解：記，由，可得故收斂區(qū)間為當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)均發(fā)散，故收斂域?yàn)樵O(shè)其中，而，可得，可得所以【點(diǎn)評(píng)】還記得蘇燦榮老師在沖刺班講過的話嗎？級(jí)數(shù)的大題肯定是考冪級(jí)數(shù)的大

10、題，并且串講時(shí)的例題就是這種題型另此題與超越強(qiáng)化班講義的例1完全相同，既用到了求導(dǎo)又用到了積分原題為：求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù), <, /B>（18）已知曲線，其中函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，若曲線的切線與軸的交點(diǎn)到切點(diǎn)的距離恒為，求函數(shù)的表達(dá)式，并求此曲線與軸與軸無邊界的區(qū)域的面積解：因?yàn)椋是€上任一點(diǎn)，即點(diǎn)處的切線方程為由此可得切線與軸的交點(diǎn)為，根據(jù)題意有即，可得由，可得，故面積【點(diǎn)評(píng)】微分方程的幾何應(yīng)用是我們在強(qiáng)化班與沖刺班反復(fù)強(qiáng)調(diào)的題型，且建立方程所用到的知識(shí)點(diǎn)在強(qiáng)化班講義中也列出此題與強(qiáng)化班講義的例1類似（19）已知是第一象限中從點(diǎn)沿圓周到點(diǎn)，再沿圓周到點(diǎn)的曲線段，計(jì)算曲線積

11、分解法一：補(bǔ)充曲線為軸上從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段，設(shè)與圍成區(qū)域，由Green公式，解法二：在中，因?yàn)?，所以積分與路徑無關(guān)，取從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段為，則把分成兩部分如圖所示，【點(diǎn)評(píng)】本題與強(qiáng)化班講義例1如出一轍，解法完全相同而對(duì)于解法二，只要注意到?jīng)_刺班例14的補(bǔ)充說明即可非常容易地解答本題如果不利用曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件，而把分成兩部分，利用解法二中計(jì)算同樣的方法，直接計(jì)算原積分也是可行的，但是計(jì)算過程較繁瑣一些（20）設(shè)，（）求；（）已知線性方程組有無窮多解，求并求的通解【點(diǎn)評(píng)】考點(diǎn)（1）為方陣，有無窮多解的必要條件為；（2）有無窮多解的充要條件為此題太常規(guī)，太簡單，超越的基礎(chǔ)班，強(qiáng)化班講義都有完

12、全類似的題目解：（）（）得，當(dāng)時(shí)，方程組無解舍去當(dāng)時(shí)，方程組有無窮多解，符合題意，通解為（21）已知，二次型的秩為（）求實(shí)數(shù)的值；（）求正交變換將化為標(biāo)準(zhǔn)形【點(diǎn)評(píng)】考點(diǎn)（1）二次型的秩為；（2）本題的關(guān)鍵是要知道，若不知道則很難算出來，因?yàn)榍笮辛惺接?jì)算量太大同學(xué)都應(yīng)該記得沖刺班上孫老師和余老師是怎么強(qiáng)調(diào)要記住這一結(jié)果的，并且我們還給出了證明由此可見這一結(jié)論的重要性而這終于在12年考研中得到了應(yīng)證這也充分說明了上超越數(shù)學(xué)輔導(dǎo)班的好處，因?yàn)檫@一結(jié)論在一般教科書上不是很強(qiáng)調(diào)的解法一：由得，從而，有三個(gè)特征值分別解三個(gè)線性齊次方程組，求得特征向量后，再單位化得正交陣，對(duì)角陣，正交變換，的標(biāo)準(zhǔn)型為解法二：若不知也可做但很繁，此行列式難算，算出后還要因式分解，不容易！據(jù)我了解選擇此方法的都沒算出，得分也不會(huì)超過4分（22）設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的概率分布為（）求；（）求解：（）（），【點(diǎn)評(píng)】哈哈，送分題（23）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立且分別服從正態(tài)分布與，其中是未知參數(shù)且設(shè)（）求的概率密度；（）設(shè)為來自總體的簡單隨機(jī)樣本，求的最大似然估計(jì)；（）證明為的無偏估計(jì)量解：（）由于，所以的