2004真題及解析

1、2004年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題：本題共 6小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.(1)若 lim (cosx b)=5，貝U a =，b =Te -a 函數(shù)f (u,v)由關(guān)系式fxg(y), y =x g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y) = 0 ,21 f (x -1)dx =2xxe(3)設(shè) f(X)=T-11 1x :22，則1x22 2 2(4)二次型 f(X1,X2,X3)=(X1 X2)(X2-X3)(x3 xj 的秩為(5)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為入的指數(shù)分布，則P X DX =(6)設(shè)總體X服從正態(tài)分布N( *, /),總

2、體Y服從正態(tài)分布N(血，(T2), X-X2，和丫1飛,K2分別是來(lái)自總體 X和丫的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則n1_ 2 n2_ 2臣(Xi-X)+遲(Yj -Y)iTj壬Hin -2二、選擇題：本題共 8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)函數(shù) f(xr：isii；;：2 在F列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界(A) ( -1，0).(B) (0，1).(C) (1，2).(8)設(shè)f(x)在內(nèi)有定義，且lim f (x)二 a , g(x)=X：(D) (2，3).巧尺0，則(0 ，x = 0(A) X = 0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn).(B)

3、 x = 0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn).(C) x =0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn).(D) g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)(9)設(shè) f(x)二 x(仁 x),則()(A) X = 0是f (x)的極值點(diǎn)，但(0, 0)不是曲線y = f(X)的拐點(diǎn).(B) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，但(0, 0)是曲線y二f(X)的拐點(diǎn)(C) x = 0是f (x)的極值點(diǎn),且(0, 0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(D) x = 0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0, 0)也不是曲線y二f (x)的拐點(diǎn).(10) 設(shè)有下列命題：0QO 若a (U2nVU2n)收斂，則Un收斂.n =1n =1

4、C3O:一 un 1000 收斂.n =1則un發(fā)散.n =1QO 若un收斂，則n =1 若 lim1，nT=o UnoOoOcd 若7 (un vn)收斂，則7 un , 7 vn都收斂n =1n =1 n T則以下命題中正確的是()(A)(B)(C)(D)(11) 設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，且f (a) 0, f (b) :： 0，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(A)至少存在一點(diǎn)x(a,b)，使得f (x) f (a).(12)(B)(C)(D)至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)xo (a,b)，使得x0 (a,b)，使得xo (a,b)，使得設(shè)n階矩陣A與B等價(jià)，則必有(f(xo) f(b)

5、.f 剛=0.f (Xo) = 0.(A)當(dāng) |A| = a(a=0)時(shí)，|B|=a.(B)當(dāng) |A|=a(a = 0)時(shí)，|B|=-a.(C)當(dāng) | A|=0 時(shí)，|B |=0.(D)當(dāng) |A|=0 時(shí),|B|=0.(13)設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A - 0,若&,&,&, &是非齊次線性方程組Axb的互Ax = 0的基礎(chǔ)解系()(B)僅含一個(gè)非零解向量.不相等的解，則對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組(A)不存在.(C)含有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量 (D)含有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量a,(14)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布 N(0,1),對(duì)給定的a (0,1),數(shù)Ua滿足PX . u a=若 P| X | 0);dR

6、(II) 推導(dǎo) Q(1-Ed)(其中R為收益)，并用彈性Ed說(shuō)明價(jià)格在何范圍內(nèi)變化時(shí),dP降低價(jià)格反而使收益增加(19) (本題滿分9分)設(shè)級(jí)數(shù)468xx(_： X ：)2 42 4 62 4 6 8的和函數(shù)為S(x).求：(I) S(x)所滿足的一階微分方程；(II) S(x)的表達(dá)式(20) (本題滿分13分)設(shè) a = (1,2,0)t , a = (1, a 2, _3 oc)T , a =(-1, -b -2, a 2b)T ,卩二(1,3,-3)丁 ,試討論當(dāng)a,b為何值時(shí),(I) B不能由a, a2, a線性表示；(II) B可由ai, a, a唯一地線性表示，并求出表示式(il

7、l) B可由a, a2, a線性表示，但表示式不唯一，并求出表示式(21) (本題滿分13分)設(shè)n階矩陣qbbb1bA =:-電bI(I)求A的特征值和特征向量(n )求可逆矩陣P,使得PAP為對(duì)角矩陣(22) (本題滿分13分)1 1設(shè)A , B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A) , P(B|A) ,431P(A|B-4A發(fā)生，X0, A不發(fā)生,求；1, B發(fā)生，：0, B不發(fā)生.(I)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布(II) X與丫的相關(guān)系數(shù)PXY；(III) Z = X2 Y2的概率分布(23) (本題滿分13分)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為r “ 口1 -F(x;： , )= x0,其中參數(shù)a 0

8、, B 1.設(shè)X1,X2 / ,Xn為來(lái)自總體 X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本(I)當(dāng)a = 1時(shí)，求未知參數(shù) B的矩估計(jì)量(II)當(dāng)a二1時(shí)，求未知參數(shù) 卩的最大似然估計(jì)量(III) 當(dāng)卩二2時(shí)，求未知參數(shù)a的最大似然估計(jì)量精品文檔2004年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題(1)【答案】a =1,b = -4lim (exxQ為 limixn( cxdlb)xr0 e - a-a) =0(否則根據(jù)上述結(jié)論(2)給極限是a km-a=1x . 0lismixn(cxob)=0，所以x 00,而不是5)，得 a =01.極限化limt ex -1因此，a = 1， b = -4.Sinx (

9、cosx -b)等價(jià)無(wú)窮小 愿仝(cosx-b) = 1 -b = 5，得 b = -4.方法2：由極限與無(wú)窮小的關(guān)系,sin xe(cosxb)其中吧“0,解出xe (5 +g) (cosx b)sin x a =上式兩端求極限,aex(5 叱J-(cosx-b)sinx5+x(cosx-b)s inxTime -lim1-0hXTX_05 !：；.，.把a(bǔ) = 1代入，再求b，b 二 cosxx(5： )(e -1)兩端同時(shí)對(duì)Xr 0取極限，得b = lim(cos x -(5 ： )(ex -1)sin x【詳解】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問(wèn)題方法1：根據(jù)結(jié)論：lim f(x) - A,

10、 (1)若 g(x) 0，則 f(x) 0 ； (2) 若 f(x) 、 0 , g(x)且 A = 0，則 g(x)_. 0= limcos x-lim = 1 _ 血 d 肚=15 = _4x_0x_osin xxtx因此，a = 1，b = -4.【答案】g (v)g2(v)【詳解】應(yīng)先寫出f （u , V）的表達(dá)式，再求偏導(dǎo)數(shù)推知所以二xg(y)v = y，從而:u+ g(v),g(y) g(v)，于是由 fxg(y),小 x g(y)，df1cf(cf、Q(1、&u g(v)u點(diǎn)vcv3u丿dvig(v)丿f (u , v)=g(v)g (v)g2(v)【答案】-12【詳解】方法i作

11、積分變換，令x-1=t，則 x:1 2=22所以 1f(x-1)dx 二 1 f (t)dt = ) f (t)dt 亠 i1 (-1)dt二 21 xex2dx 1(-1)dx 1x2（也可直接推出.212x2xe dx = 0，2匕因?yàn)?21 xex dx積分區(qū)間對(duì)稱，被積函數(shù)是關(guān)于2x是奇函數(shù)，則積分值為零） 方法2：先寫出的f （x -1）表達(dá)式Lr f(x-1) =1乞 X -1 :：-21x -1 -2即：f(x-1)(x-1)e-1（X）2所以4e(、(x4)23212【答案】2.【詳解】方法 1：因?yàn)?f （X1,X2,X3）=（X1 X2）2 （X2 -X3）2 （X3 X1

12、）2= 2x1 2x2222x32x1x2 2x1x32X2X3n naij=：aji，所以二次型對(duì)應(yīng)的矩陣的由二次型 f(X1,X2,|,Xn)二二 aijXiXj 中,i 4 j二i行，j列元素是Xi與Xj乘積項(xiàng)系數(shù)的一半，其中于是題中二次型的矩陣為1A= 1-1,由初等變換得-1行的(_2)倍加至t行,11行的(T倍加到3行l(wèi)o-3-3從而r(A)=2,由二次型的矩陣的秩等于二次型的秩，知二次型的秩為2.-3方法 2：因?yàn)?f(X1,X2, X3) =(X1 X2)2 (X2 -X3)2 (X3 -X1)22 22x2 2x32x1x2 2%x3 - 2x2x3-2(x11133X2 2

13、X3)2?(X2 -X3)232=2%-V2，11其中 yX12X2-X3,2 2 22x-| 2x2 2x3 2x-|X2 2玄3 _2x2x3對(duì)捲配方2(x,2公冷 x.jX3) 2x2222X3- 2X2X3= 2(X 1 X2 三 X32 - =2(%1 x221X22-2(x1121 212X,) - x2 -X,22 221 23 232?X3)3X2?X31X3)23(X2 - X3)22 2-x2 x3 2 兔 2 仝3 2 x2 x3-3x2x3二次型的秩r( f)=矩陣的秩r(A)=正負(fù)慣性指數(shù)之和 p q，所以此二次型的秩為2.0e我 f(x)=0右 x 01卄，其方差D

14、X =爲(wèi)右X于是，由一維概率計(jì)算公式，P ;X = fX (x)dx，有PX 、.DX = PX - = e-xdx = -ex1【答案】C2 .【詳解】根據(jù)公式 E(X Y E(X) E(Y)和樣本方差是總體方差的無(wú)偏估計(jì)量,又Xi,X2，Xn,和丫1，丫2,Yn2分別是來(lái)自總體簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X和Y都服從正態(tài)分布1 口即是 E(Xi -X)2 =D(X) =：;2，n -1 i 41 n1-E(丫 -丫)2 =D(Y) =：; 2.n - 1 i 4ni_n1_所以有 ER (Xi _X)2 =n _1 ；2， E (Y -Y)2 =：n _1 ；2i 1i對(duì)于題給式子將分子分離出來(lái)即可出現(xiàn)

15、上式，也就不難求出結(jié)果 n2 _Z (Xi X)2 +瓦(Yj -Y)2i 二jd：m + n2 21nin2 -24- 202- 2E(Xi -X) ER (Yj -Y)ij =11(n 1 -1)匚(匕-1K =:;，故應(yīng)填c .n1 n2 _二、選擇題(7)【答案】(A)【詳解】方法1：如果f (x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，且極限lim f (x)與lim f (x)存在，則函數(shù)f (x)在 xTa+xTb(a,b)內(nèi)有界.當(dāng)x0,1,2時(shí)f (x)連續(xù)，而lim f (x) = lim xsin(x-2)2 sin2) 一亟,x1x j x(x-1)(x-2)2(-1-1)(-1-2)21

16、8a si n(0 2)si n22 = ，(0-1)(0-2)4lim f(x)=lim-xsin(x2)2x x x(x-1)(x -2) lim f(x)=lim xsin(x-2)2 二前(0-2)2=竺x fi- x 0 x(x-1)(x-2)(0-1)(0-2)4心)lim xsin(x2)2x 1 x(x -1)(x -2)2limxsi n(1 -2)(x-1)(1-2)2lim f (xH lim xsin(x_2)Hm 列弋=佃丄二x 2x ：2 x(x1)(x-2)2x(x2)2 xQx 2所以，函數(shù)f (x)在(-1 , 0)內(nèi)有界，故選(A).所以存在0，在區(qū)間-0)

17、方法2：因?yàn)閘im f (x)存在，根據(jù)函數(shù)極限的局部有界性,上f (x)有界，又如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)，貝U f (x)在閉區(qū)間a , b上有界,根據(jù)題設(shè)f(x)在-1,-訂上連續(xù)，故f(x)在區(qū)間上有界，所以f(x)在區(qū)間(-1,0)上有界，選(A).(8) 【答案】(D)1【詳解】考查極限lim g(x)是否存在，如果存在，是否等于g(0)，通過(guò)換元u =丄,XTOx可將極限lim g(x)轉(zhuǎn)化為lim f (x).XTOXTO11因?yàn)?limg(x) =li叫仁)u lim f (u) = a,又 g(0)=0,xX所以， 當(dāng)a =0時(shí)，lim g(x)二g(0)，

18、即g(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)， XT0當(dāng)a=0時(shí)，lim g(x) = g(0)，即x=0是g(x)的第一類間斷點(diǎn)，因此， g(x)在 XT0點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)，故選(D).(9) 【答案】C【詳解】由于是選擇題，可以用圖形法解決，也可用分析法討論方法1:由于是選擇題，可以用圖形法解決,令(Xx(x -1),1 f 11 )是以直線x =為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.一-一|,開(kāi)口向上的一條拋物線，與X軸相2 124 丿交的兩點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0 ),(1,0 ), y= f(x) =F(x)的圖形如圖點(diǎn)x = 0是極小值點(diǎn)；又在點(diǎn)(0, 0)左側(cè)鄰近曲線是凹的，右側(cè)鄰近曲線是凸的,所以點(diǎn)

19、(0, 0)是拐點(diǎn)，選C.方法2：寫出y二f (x)的分段表達(dá)式:f(x)=-x(1x), 一1*0、x(1 x),0xv1，f“(x：_0x0-2,0cxc1從而 f(x)=-12x,x：0J - 2x,0 x c11叫.f (x) = 1吧.1-2x =1 0 ,所以 0：x：1 時(shí)，f (x)單調(diào)增,lim f (x) = lim ：；T 2x =-1 ： 0 ,所以-1：xE0 時(shí)，f (x)單調(diào)減,x0 x0 所以x =0為極小值點(diǎn)當(dāng) 一1 ：x ： 0 時(shí)，f (x) = 20，f (x)為凹函數(shù)； 當(dāng)1x0時(shí)，f (x) - -2 0, f (1) = _2/二=_2吒0.但在1

20、,1上 f (x)X3:0 方法2：證明(A)、(B)、(C)正確由已知f (x)在a,b上連續(xù)，且f (a) . 0, f (b) ： 0 ,則由介值定理，至少存在 一點(diǎn)x0 (a,b)，使得f (x0) =0，所以選項(xiàng)(C)正確；另外，由導(dǎo)數(shù)的定義 f(a)二lim f(x) 一 f (a) . 0,根據(jù)極限的保號(hào)性，至少存xTa*xa在一點(diǎn) x0 (a,b)使得 f (x)一0，即 f(x0) f (a)，所以選項(xiàng)(A)正確x a同理，f (b)二lim f (b): 0，根據(jù)極限的保號(hào)性，至少存在一點(diǎn)x0 (a,b)7_ b _x使得f(x0)f(b).所以選項(xiàng)(B)正確，故選(D)(

21、12) 【答案】(D )【詳解】方法1:矩陣等價(jià)的充分必要條件：矩陣A與B等價(jià)= A,B是同型矩陣且有相同的秩，故由A與B等價(jià)，知A與B有相同的秩因此，當(dāng) | A|= 0時(shí),r(A) : n,則有 r(B) ： n,即 | B | = 0,故選(D)方法2：矩陣等價(jià)的充分必要條件：A與B等價(jià)二 存在可逆P,Q，使得PAQ=B兩邊取行列式，由矩陣乘積的行列式等于行列式的積，得|PAQ =刊州Q = B P,Q可逆，由矩陣 A可逆的充分必要條件：A0，故P0Q0，但不知具體數(shù)值由P a|Q|Tb，知A式0時(shí)，B不能確定但A =0有B|=0.故應(yīng)選(D)方法3：由經(jīng)過(guò)若干次初等變換變?yōu)榫仃嚨某醯茸儞Q

22、對(duì)矩陣的行列式的影響有：A中某兩行(列)互換得B ，貝U B = A .A中某行例)乘k(kO)得B，貝U B=kA.(3) A中某行倍加到另一行得 B，貝U B = A 又由A與B等價(jià)，由矩陣等價(jià)的定義：矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B，則稱A與B等價(jià)，知B A.故當(dāng)A式0時(shí)，B = k A式0，雖仍不等于0，但數(shù)值大、小、正負(fù)要改變，但|A|=0,則B =0，故有結(jié)論：初等變換后，矩陣的行列式的值要改變，但不改變行列式值的非零性，即若|A|=0二B=0,若Ah0= BhO.故應(yīng)選(D).(13) 【答案】(B)【詳解】由定理：若x-i, x2是Ax = b的解，則 捲-x2是對(duì)應(yīng)齊次方程組

23、 Ax=0的解，及1=2，得1 - = 0是Ax =0的解由齊次線性方程組有非零解的充要條件， 知r(A) ： n . A* - 0,由伴隨矩陣的定義，知A中至少有一個(gè)代數(shù)余子式 Aj = 0,即A中有n -1子式不為 零，由 秩(A)二r的充要條件是 A的非零子式的最高階為 r ,故r(A) 一 n-1,再由上面的r(A) ： n，得r(A)二n -1，故基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為n -(n -1) = 1，故選(B).(14) 【答案】(C)【詳解】利用正態(tài)分布概率密度函數(shù)圖形的對(duì)稱性，對(duì)任何x 0有1px Ax = px cx=px| ax.或直接利用圖形求解2方法1：由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度

24、函數(shù)的對(duì)稱性知，PX ： -u：.二：-，于是1 G =1 P x| ex =P x| Zx = PX MX + PX 乞x =2PX 王 x1 -a即有 PX -x，可見(jiàn)根據(jù)分位點(diǎn)的定義有x二u-，故應(yīng)選(C).2方法2：u如圖一所示題設(shè)條件圖二顯示中間陰影部分面積aOx圖a , P X 刈=ot 兩端各余面積所以PX :山_：.，答案應(yīng)選(C).2三、解答題(15)cos xx2-sin2 xcos x丁)璧分問(wèn)2 . 2x sin x等價(jià)sin xL x2 2 2x -sin xcos x limx J02 1 2 Qsin 2x= lim洛 limX )0xx 0x2sin2 2x42

25、x -1 sin4xx4洛 xinmI12x sin4x24x31 - cos4x=lim 2limx_p6x2x 02sin22x6x2sin2xL 2x Xmo2(2x)26x2【詳解】求“：-：”型極限的首要步驟是通分，或者同乘、除以某一式以化簡(jiǎn)(16)【詳解】利用對(duì)稱性與極坐標(biāo)計(jì)算 .方法 1 令 D( x, y) | x2y2 4, D2 二( x, y) | (x 1)2y2 -1，根據(jù)二重積分的極r sin r rdr坐標(biāo)變換：D =( x, y) “譏 I-,r 空r乞r2二，則:.f x,y d二D.x2 y2d 二化為極坐標(biāo)：D1 二(x, y)|x2 y2 乞 4二(x,

26、y)|0_r 一2二,0 乞 r 乞2D所以 II . x2 y2dd I、一 r2 cos2 - r2 sin2 rdr! r2dr ；0 0 0 0D1x化為極坐標(biāo):D222Hm(x 1)心弘叫 dx xf(x)dx xgxdx_0a a abb因此xf(x)dx 乞 xg(x)dx.a a(18) 【詳解】(I)由于需求量對(duì)價(jià)格的彈性Ed 0，所以P dQQdPQT00-5P-P20 PP 100-5P100 5PP (0,20)P20 P(II)由 R 二 PQ，得亞二d PQ =Q PdQ =Q(V PdQ) =Q(1 匕)二 Q(1 Ed)dP dPdPQdP20-PdR要說(shuō)明在什

27、么范圍內(nèi)收益隨價(jià)格降低反而增加，即收益為價(jià)格的減函數(shù)，0,即dP P證Q(1 - Ed) ：0= Ed1，換算成P為1，解之得：P 10，又已知P (0,20)，20-P所以20 P 10，此時(shí)收益隨價(jià)格降低反而增加(19) 【詳解】對(duì)S(x)進(jìn)行求導(dǎo)，可得到 S(x)所滿足的一階微分方程，解方程可得S(x)的表達(dá)式.(I) S(x)468XXX2 42 4 62 4 6 8易見(jiàn)s(0F 04x 6x52 42 4 68x72 4 6 8因此S(x)滿足下述一階線性微分方程及相應(yīng)的初始條件：2xS (x)二 x冷 S(x)，S(0) = 0.33572x x xXx(22 42 4 62x4+

28、2 4x6+2 4 6x2刈三S(x)x即S(x)-xS(x) , S(0) =02 x3(II) S(x) - xS(x)為一階線性非齊次微分方程，其對(duì)應(yīng)的線性齊次微分方程為:2S(x) -xS(x) = 0 ,分離變量：豁二皿，兩邊積分:2xIn S(x)C1，2S(x)x2G=e2=Ce2x2用常數(shù)變易法來(lái)求非齊次方程的通解：令x2S(x)二C x e2x2x2于是：S (x) = xC x e2 C x e2代入 S(x) -xS(x)3x2x-2:xC x ex2x2C x e 2 - xC x e2x33x2x -=所以，Cx 二 一e 2 dx c$ 23x2、x22x22x22

29、x2x2xS(x) = f-e 2 dx +ce=e2dx . +cex-f-deP+ceT2122I 2)kJ)(2x2x22x22x2x2x22x2分部x -=一一=-ee 2dx+cx-一 -e+ ce2 =x十ce2刀口p-2222I丿202x220 x因?yàn)?S(0) = 0，所以 S 0ce2=0=c=1,所以 S(x)二 e 21 ；2 23x或直接由通解公式，方程 S(x) -xS(x)的通解為2x-1 Ce 22xdx x3 - |xdxx2Sx & 寸 dx 巧由初始條件S(0) =0 ,得C =1.故S(x) =eT(20) 詳解】B可否由a, a, a線性表示的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)

30、化為線性方程組宀為Xrx?-二3X3二：是否有解的問(wèn)題因此，設(shè)可有數(shù) X-I, X2, X3,使得 “X心2X2 Aj3X3 - - (*)記A = ( a，a，a3).對(duì)矩陣(A, B)施以初等行變換，有-1 1-11 1-11-11 1(A, B)=-2 a +2b -231 行 :(-2)+2行0a-b10-3aa +2b-30-3aa +2b-3 一_1 111 1 12i3+3行 0 a b 10 0 a - b 0(I)當(dāng)a = 0時(shí)，b是任意數(shù)時(shí)，有11-11(A, B)t 0 0-b 1 . 0-b 0一可知，r(A) =r(A, B) 由非齊次線性方程組有解的充要條件：系數(shù)矩

31、陣的秩等于增廣矩陣的秩，知方程組(*)無(wú)解，B不能由a , a2 , a3線性表示(II)當(dāng)a = 0,且a = b時(shí)，由11-11(A, B)t 0 a-b10 0 a-b 0一可知，r(A)二r(A, B) =3,由非齊次線性方程組有解得充要條件：系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，方程組(*)有解，由定理：設(shè) A是m n矩陣，方程組 Ax二b，則，(1)有唯一解r(A)=r(A)二 n ； (2)有無(wú)窮多解 二 r(A)=r(A) ： n (3)無(wú)解：r(A) 1 = r(A)可知方程組(*)有唯一解由同解階梯形方程求解，得：,11% =1 ,aX2, X3 = 0 .a11此時(shí)卩可由a, a

32、2, a唯一地線性表示，其表示式為 B = (1)a+ a- aa(III)當(dāng)a=0, a二b=0時(shí)，對(duì)矩陣(代B)施以初等行變換,由1 1(A, 0)T 0 a0 01-11-10011001 a1-11a000一門100可知，r(A) =r(A, = 2 ,由定理：設(shè) A是m n矩陣，方程組 Ax = b，則，有無(wú)窮多解二r(A)二r(A) ： n，知方程組(*)有無(wú)窮多解，其全部解為11X1 =1,X2c, X3=C， 其中c為任意常數(shù).aa、 一 一 一 1 1B可由a1, a , a線性表示，但表示式不唯一，其表示式為B = (1)a ( C)a2C a3.a a(21) 【分析】這

33、是具體矩陣的特征值和特征向量的計(jì)算問(wèn)題,可以直接用|疋- A|=0求特征值，和(2E - A)x =0求特征向量或?qū)?A分解令A(yù) = B (1 -b)E，其中B = b1n n ,則 A = f (B) , f是多項(xiàng)式，求 B的特征值、特征向量【詳解】(I)方法1：1 b鼻0時(shí)，九-1-billb1-b 川 4-bH|l|-b2|), n行分1 九一1 H1-b1 A |=d卜T4I-4別加到1行【m1444 1-b-bill 人1b川打- -1-(n- 1)b，i(1b)故，A的特征值為4 =1，(n-1 )b , h =-入=1 - b .對(duì)入=1(n - 1)b ,人E _A =z(n

34、-1)b-bn -1-1川-1_r-1n -1IH-1-11H(n_1)行分別加到n行+111門門仃1仃丨丨1 ill”-1-1IHn -1-10000丿-1-1n -1-1HlHI-1n -1IIIIIIHI0n -1IH-11 行（_1）n -1-11IHIHI02 1 卄（n 1）行燈-1）III0nIII_n分別加到10丿(1IIIIII-10III1III1 -n_n1行分別加到2 111( n-1行因?yàn)榫仃嚨闹葹閞(E - A) =(n -1),故方程組(E - A)x=0 ,基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù) 為n - r(+E - A) = n -(n -1)=1，故有一個(gè)自由未知量.選x1為自由

35、未知量，取x1 = 1,解得& =(1,1,1，,1)T，所以A的屬于入的全部特征向量為k& =k(1,1,1/ ,1)T(k為任意不為零的常數(shù)).對(duì)石二二入=1 一 b ,4bb |1 4乂1行X (_1)分別00 II1 0h1加到2.汕n行l(wèi)+hr44110 II1 0丿(1 1IIIIIIIII10.,i=2川 I，n.+0丿矩陣的秩為 r( E - A) =1,i =2,|(, n.故方程組(rE -A)x =0,i =2,|l(,n，基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)為n- r(jE-A)二n-1 , i =2|, n.故有n-1個(gè)自由未知量選X2.X3JH.Xn為自由未知量，將他們的n-1組值(-1

36、,0,川,0);(0, -1|1,0)汕|(0,0, |1,書(shū),得基礎(chǔ)解系為& =(1.一1.0,0)T , & =(1.0.-1,0)T ,. b .， 1)T.故A的屬于 h的全部特征向量為+(k2.k3.心是不全為零的常數(shù))2 當(dāng)b =0時(shí),X-1=(X- 1)n,I X -A| =特征值為xX-1，Z1b 川 bb+(1-b)b川bb 1川b+i+a=bb+(1-b)川b+1i+4i+wbb川1+ 1 1 00III1-b丿1 1川1丿(1-b)Ei,1, |(,1 1 (1-b)E 二bB (1-b)E ,1, III ,11T若B有特征值，特征向量，則當(dāng)f是多項(xiàng)式時(shí)，f (B)有特

37、征值f(J，其特征向量仍是.因(、wJ )：(：)= n，故，二n是的特征值，其對(duì)應(yīng)特征向量為1=1,1，川，1.從而有 A = :b (b),E有特力其對(duì)應(yīng)特征向量仍是 q =a= 11,1,III,11T.=aotT是實(shí)對(duì)稱陣，由IIIIII1行(-1)分別加到IIIIIIIIIIIIk為特征值的重可知r(B) =1，由實(shí)對(duì)稱矩陣的特性：r( E - A)工n - k，其中數(shù)，故 =0是B = T的n -1重特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足 (0E -廠T)X -TX =0，即只需滿足 為 X2 丨1, Xn =0，其基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)為 n-1，故有n-1個(gè)自由未知量選X2,X3,IH,Xn為

38、自由未知量，將他們的n-1組值 (-1,01, 0)；-(01 1川，0)11 (0.0得基礎(chǔ)解系為 & =(1,-1,0，,o)T ,旨=(1,0,-1, ,0)T, , & =(1,0,0, ,-1)T .從而知 A=b：vT (1-b)E 有 n-1 重特征值 f(，=0)=b 0 (1-b) =1-b 對(duì)應(yīng) 的特征向量仍是 2, 31, n ,其全部特征向量為 k2 &2 k3，心& ( k? , ks ,，心是不全為零的常數(shù))(n ) 1當(dāng)b=0時(shí)，由A與對(duì)角矩陣相似的充要條件：A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，知，令 P = ( &, &, &)，則1 +(n -1)b,1 -bPAP=

39、+-bj12 當(dāng)b=0時(shí)，A = E，對(duì)任意可逆矩陣 P,均有P AP二E (22) 【分析】本題盡管難度不大，但考察的知識(shí)點(diǎn)很多，綜合性較強(qiáng)通過(guò)隨機(jī)事件定義隨機(jī)變量或通過(guò)隨機(jī)變量定義隨機(jī)事件，可以比較好地將概率論的知識(shí)前后連貫起來(lái)，這種命題方式值得注意。先確定(X,Y)的可能取值，再求在每一個(gè)可能取值點(diǎn)上的概率，而這可利用隨機(jī)事件的運(yùn)算性質(zhì)得到，即得二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布；利用聯(lián)合概率分布可求出邊緣概率分布,進(jìn)而可計(jì)算出相關(guān)系數(shù)【詳解】所以1PX =1,Y 忙 P(AB)花，(I)由于 P(ABP(A)P(B|A112，P(B)=牆- 1PX =1,Y =0 =P(AB)二 P(A) -P(AB)=61PX =0,Y =1 =P(AB) =P(B) _P(AB) ,122PX =0,Y =0