多元函數(shù)的極值(復(fù)習(xí))

1、§6.6多元函數(shù)的極值求具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二元函數(shù)的極值的步驟如下：求出函數(shù)f(x,y)的所有駐點(diǎn)fx(x,y)0,由X',“'解得f(x,y)的駐點(diǎn)(X0,y0)；fy(x,y)0,根據(jù)極值的充分條件判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)fxx (xo,yo) A,1 當(dāng) B2 AC o 時(shí),對(duì)每一個(gè)駐點(diǎn)(Xo,yo),求出二階偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的值fxy(Xo,yo)B,fyy(%,y0)Czf(x,y)在點(diǎn)(x°,yo)取得極值f(xo,yo),Ao時(shí)為極大值,Ao時(shí)為極小值;2當(dāng)ACB2o時(shí),zf(x,y)在點(diǎn)(xo,yo)不取極值;3°當(dāng)B2ACo時(shí)，不能確定

2、，需另作討論。習(xí)題六(A)22.求下列函數(shù)的極值，并判斷是極大值還是極小值:(1) z xy(a xy),(a解：求駐點(diǎn)fx (x, y)xy(ay)xy(ay) xyay2xyfy (x,y)xy(ay)yx(ay) xyax2xy2y2 x上 fx (x, y)由fy (x, y)ay 2xyax 2xy2 y2 xo解得oa3a3所以(o, o), (o, a),(a, o),(a a 13,xy(ay)的駐點(diǎn);求二階偏導(dǎo)數(shù)fxx(x,y)(ay2xyy2)x2y，fxy(x,y)(ay2xyy2)ya2x2yfyy(x,y)(ax2xyx2)y2xxyfx (x, y)(xfy (x,

3、y)(x2y2yxy1)2x yxy1)y1 2y x,fx(x, y)由fy (x, y)2x2y解得y所以(1, 1)為zxy 1的駐點(diǎn);(xo,yo)ABCB2ACf(x0,y°)(0,0)A0BaC0a20不取極值(0,a)A2aBaC0a20不取極值(a,0)A0BaC2aa20不取極值(3,3)A2a3B3c爭(zhēng)2專03f(a,a)a?是極值，3327a0時(shí)為極大值，a0時(shí)為極小值22y解：求駐點(diǎn)求二階偏導(dǎo)數(shù)fxx (x,y) (1 2xy)x2,fxy (x, y) (1 2x y)y 1fyy(x,y)(12yx)y2(x°,y°)ABCB2ACf(

4、x°,y°)(1,1)A20B1C230f(1,1)0為極小值2_2.24.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量各為x、V,其成本函數(shù)為c(x,y)x2xy3y。由P 36 3x, P2 40 5y。試市場(chǎng)調(diào)查得知，甲、乙兩種產(chǎn)品的單價(jià)與產(chǎn)量分別有如下關(guān)系:求甲、乙兩種產(chǎn)品產(chǎn)量各為多少時(shí)總利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)。解：設(shè)L表示該工廠的利潤(rùn)，則L(P1xP2y)c(x,y)2222LL(x,y)(363x)x(405y)y(x22xy3y2)36x4x240y8y22xy。解方程組Lx(x,y)368x2y0，得唯一駐點(diǎn)(4,2)。Ly(x,y)4016y2x0根據(jù)問題的實(shí)際意義，

5、L必可取得最大值，因此這個(gè)最大值在(4,2)處取得。于是該工廠的最大利潤(rùn)為maxLL(4,2)364442402822242112(元)。25.某廠家生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本是每件2元，另外每月再花廣告費(fèi)A元，則每月的銷售量為x30(1e0.001A)(22P),其中P為產(chǎn)品銷售價(jià)格。求最合理的P和A值，使得工廠的純利潤(rùn)最大。解：設(shè)L表示該工廠的利潤(rùn)，則L=x(P-2)-A30(1e0.001A)(22P)(P2)A0.001A2LL(P,A)30(e0.001A1)(P224P44)A(A0，P0)。解方程組LP(P,A)(e)()，得LA(P,A)0.03e0.001A(P224P44)10A1

6、000ln3得唯一駐點(diǎn)(12,1000ln3)。根據(jù)問題的實(shí)際意義，L必可取得最大值，因此這個(gè)最大值在(12,1000ln3)處取得。故當(dāng)P=12,A=1000ln3時(shí)工廠的純利潤(rùn)最大。求函數(shù)zf(x,y)在條件(x,y)0的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為：(1) 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x,y,)f(x,y)(x,y)，其中為某一常數(shù)；Lxfx(x,y)x(x,y)0,(2)由方程組Lyfy(x,y)y(x,y)0,解出x,y,，其中駐點(diǎn)(x,y)就是所求條件L(x,y)0極值的可能的極值點(diǎn)。注：拉格朗日乘數(shù)法只給出函數(shù)取極值的必要條件，因此按照這種方法求出來的點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，還需要加以討論。

7、不過在實(shí)際問題中，往往可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定所求的點(diǎn)是不是極值點(diǎn)。習(xí)題六(A26.某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，A產(chǎn)品每件純利6元，B產(chǎn)品每件純利4元，制2造x件產(chǎn)品與y件產(chǎn)品的成本函數(shù)為c(x,y)10000x60的y,而該廠每日的制造預(yù)算是20000元。問應(yīng)如何分配A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，使利潤(rùn)最大？解一：設(shè)該廠每日生產(chǎn)x件A產(chǎn)品、y件B產(chǎn)品。設(shè)L表示該工廠的利潤(rùn)，則L(x,y)6x4y(x0,y0且xy0)。2因此問題就是在條件10 000 x -x60002y20000,即x-x-y100000下，求66000'函數(shù)LL(x,y)6x4y(x0,y0且xy0)的最大值。作拉格朗

8、H函數(shù)2L(x,y,)6x4y(x嬴y10000),求L的駐點(diǎn)，即解方程組) 6 (1扇0Ly (x,y, ) 402L (x, y, ) x 7 y 10000 06000所以這個(gè)駐點(diǎn)就是所求的解。即該廠每日生產(chǎn)x 15004，得唯一駐點(diǎn)(1500,8125)y 81251500件A產(chǎn)品、8125件B產(chǎn)品時(shí)利潤(rùn)最大。最大禾潤(rùn)為L(zhǎng)(1500,8125)615004812541500(元)。解二：設(shè)該廠每日生產(chǎn)x件A產(chǎn)品、y件B產(chǎn)品。設(shè)L表示該工廠的利潤(rùn)，則LL(x,y)6x4y(x0,y0且xy0)。2因此問題就是在條件10000xx6000函數(shù)LL(x,y)6x4y(x0,y0且xyy20000,即x0)的最大值。2化為無條件極彳1求解。把y10000x-x-代入L(x,y)660002LL(x,y)6x4(10000x氤),即LL(x)2y100000下，求6000y6x2x4y得2x400001500令LxL(x)2-2x-x15000,得唯一駐點(diǎn)x1500。根據(jù)問題的實(shí)際意義,L必可取得最大值，因此這個(gè)最大值在1500