數(shù)列公式匯總(共10頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上人教版數(shù)學必修五第二章 數(shù)列 重難點解析第二章 課文目錄21數(shù)列的概念與簡單表示法 22等差數(shù)列 23等差數(shù)列的前n項和 24等比數(shù)列 25等比數(shù)列前n項和 【重點】1、數(shù)列及其有關概念，通項公式及其應用。2、根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項。3、等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)的理解與應用。4、等差數(shù)列n項和公式的理解、推導及應用，熟練掌握等差數(shù)列的求和公式。5、等比數(shù)列的定義及通項公式，等比中項的理解與應用。6、等比數(shù)列的前n項和公式推導，進一步熟練掌握等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式【難點】1、根據(jù)數(shù)列的前n項觀察、歸納數(shù)列的

2、一個通項公式。2、理解遞推公式與通項公式的關系。3、等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活應用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關問題。4、靈活應用等差數(shù)列前n項公式解決一些簡單的有關問題。5、靈活應用求和公式解決問題，靈活應用定義式及通項公式解決相關問題。6、靈活應用等比數(shù)列定義、通項公式、性質(zhì)解決一些相關問題。一、數(shù)列的概念與簡單表示法 數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.注意：數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn). 數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項. 各項依次

3、叫做這個數(shù)列的第1項（或首項），第2項，第n 項，.數(shù)列的一般形式：，或簡記為，其中是數(shù)列的第n項 數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列的第n項與n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.注意：并不是所有數(shù)列都能寫出其通項公式，如上述數(shù)列；一個數(shù)列的通項公式有時是不唯一的，如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，它的通項公式可以是，也可以是.數(shù)列通項公式的作用：求數(shù)列中任意一項；檢驗某數(shù)是否是該數(shù)列中的一項.數(shù)列的通項公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第 項，又是這個數(shù)列中所有各項的一般表示通項公式反映了一個數(shù)列項與項數(shù)的函數(shù)關系，給了數(shù)列的通項公式，這個數(shù)列便確定了，代入項數(shù)就可求出

4、數(shù)列的每一項5.數(shù)列與函數(shù)的關系：數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*（或它的有限子集1，2，3，n）為定義域的函數(shù)，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值。反過來，對于函數(shù)y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4）有意義，那么我們可以得到一個數(shù)列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)，f(n)，6數(shù)列的分類：1）根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分：有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6。是有窮數(shù)列無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6是無窮數(shù)列2）根據(jù)數(shù)列項的大小分：遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列。遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它的前一

5、項的數(shù)列。常數(shù)數(shù)列：各項相等的數(shù)列。擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列7數(shù)列的表示方法（1）通項公式法如果數(shù)列的第n項與序號之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。如數(shù)列 的通項公式為 ；   的通項公式為 ； 的通項公式為 ；（2）圖象法啟發(fā)學生仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形具體方法是以項數(shù) 為橫坐標，相應的項 為縱坐標，即以 為坐標在平面直角坐標系中做出點（以前面提到的數(shù)列 為例，做出一個數(shù)列的圖象），所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為正整數(shù)，所以這些點都在 軸的右側(cè)，而點的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù)從圖象中可

6、以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢（3）遞推公式法如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前n項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式。遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。如下數(shù)字排列的一個數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89遞推公式為：4、列表法簡記為 典型例題：例1：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,； (2) , , , , , ； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ；(5) 2, 6, 1

7、2, 20, 30, 42,. 解：(1) 2n1； (2) ； (3) ； (4) 將數(shù)列變形為10, 21, 30, 41, 50, 61, 70, 81, , ；(5) 將數(shù)列變形為1×2, 2×3, 3×4, 4×5, 5×6,， 例2：設數(shù)列滿足寫出這個數(shù)列的前五項。 解： 二、等差數(shù)列1等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）。 公差d一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；對于數(shù)列,若=d (與n無關的數(shù)或字母)

8、，n2，nN，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d 為公差。2等差數(shù)列的通項公式：【或】等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項之間關系而得若一等差數(shù)列的首項是，公差是d，則據(jù)其定義可得：即：即：即：由此歸納等差數(shù)列的通項公式可得：已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項和公差d，便可求得其通項。由上述關系還可得：即：則：=即等差數(shù)列的第二通項公式 d=3有幾種方法可以計算公差d d= d= d=4結(jié)論：（性質(zhì)）在等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則，即 m+n=p+q (m, n, p, q N ) 但通常 由 推不出m+n=p+q ，典型例題：例1：求等差數(shù)列8，5，2的第20項 -401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13

9、的項？如果是，是第幾項？解： 例3：求等差數(shù)列3，7，11，的第4項與第10項.例5：100是不是等差數(shù)列2，9，16，的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由.例6：20是不是等差數(shù)列0，3，7，的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由.例8：在等差數(shù)列中，若+=9, =7, 求 , .三、等差數(shù)列的前n項和1等差數(shù)列的前項和公式1：證明： +： 由此得： 從而我們可以驗證高斯十歲時計算上述問題的正確性2 等差數(shù)列的前項和公式2： 用上述公式要求必須具備三個條件： 但 代入公式1即得： 此公式要求必須已知三個條件： （有時比較有用）對等差數(shù)列的前項和公式2：可化成式子：，當d0，是一個常

10、數(shù)項為零的二次式3 由的定義可知，當n=1時，=；當n2時，=-，即=.4 對等差數(shù)列前項和的最值問題有兩種方法:（1） 利用:當>0，d<0，前n項和有最大值可由0，且0，求得n的值當<0，d>0，前n項和有最小值可由0，且0，求得n的值（2） 利用：由利用二次函數(shù)配方法求得最值時n的值典型例題：例2：等差數(shù)列10，6，2，2，·······前9項的和多少？解：例3：等差數(shù)列前10項的和為140，其中，項數(shù)為奇數(shù)的各項的和為125，求其第6項解 例6：已知等差數(shù)列an中，S3=21，S6=64，求數(shù)

11、列|an|的前n項和Tn例7： 在等差數(shù)列an中，已知a6a9a12a1534，求前20項之和例8：已知等差數(shù)列an的公差是正數(shù)，且a3·a7=12，a4a6=4，求它的前20項的和S20的值例9：等差數(shù)列an、bn的前n項和分別為Sn和Tn，若 例10： 解答下列各題：(1)已知：等差數(shù)列an中a23，a617，求a9；(2)在19與89中間插入幾個數(shù)，使它們與這兩個數(shù)組成等差數(shù)列，并且此數(shù)列各項之和為1350，求這幾個數(shù)；(3)已知：等差數(shù)列an中，a4a6a15a1750，求S20；(4)已知：等差數(shù)列an中，an=333n，求Sn的最大值四、等比數(shù)列1等比數(shù)列：一般地，如果一

12、個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：=q（q0）1°“從第二項起”與“前一項”之比為常數(shù)(q) 成等比數(shù)列=q（,q0）2° 隱含：任一項“0”是數(shù)列成等比數(shù)列的必要非充分條件3° q= 1時，an為常數(shù)。2.等比數(shù)列的通項公式1: 由等比數(shù)列的定義，有：； 3.等比數(shù)列的通項公式2: 4既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列5等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系：等比數(shù)列的通項公式,它的圖象是分布在曲線（q>0）上的一些孤立的點。當，q >1時，等比數(shù)列

13、是遞增數(shù)列；當，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；當，時，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；當，q >1時，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；當時，等比數(shù)列是擺動數(shù)列；當時，等比數(shù)列是常數(shù)列。6等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，那么稱這個數(shù)G為a與b的等比中項. 即G=±（a,b同號）如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，則，反之，若G=ab,則，即a,G,b成等比數(shù)列a,G,b成等比數(shù)列G=ab（a·b0）7等比數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+k，則在等比數(shù)列中，m+n=p+q，有什么關系呢？由定義得： ，則8判斷等比數(shù)列的方法：定義法，中項法，通項公式法9等比數(shù)列的

14、增減性：當q>1, >0或0<q<1, <0時, 是遞增數(shù)列;當q>1, <0,或0<q<1, >0時, 是遞減數(shù)列;當q=1時, 是常數(shù)列;當q<0時, 是擺動數(shù)列;10證明數(shù)列為等比數(shù)列的方法:(1)定義法:若(2)等比中項法:若(3)通項法:若 (4)前n項和法:若數(shù)列為等比數(shù)列。典型例題：例1：求下列各等比數(shù)列的通項公式：（1）=-2, =-8； （2）=5, 且2=-3； （3）=5, 且解：例2：求下面等比數(shù)列的第4項與第5項：（1）5，15，45，；（2）1.2，2.4，4.8，；（3），.解：例3：一個等比數(shù)列的

15、第9項是，公比是，求它的第1項.解：例4：一個等比數(shù)列的第2項是10，第3項是20，求它的第1項與第4項.解：例7：(1) 已知是等比數(shù)列，且, 求 解： 例9：在等比數(shù)列中，求該數(shù)列前七項之積 解：例10：在等比數(shù)列中，求， 解：五、等比數(shù)列的前n項和1、 等比數(shù)列的前n項和公式： 當時， 或 當q=1時，當已知, q, n 時用公式；當已知, q, 時，用公式.公式的推導方法一：一般地，設等比數(shù)列它的前n項和是由得 當時， 或 當q=1時，公式的推導方法二：有等比數(shù)列的定義，根據(jù)等比的性質(zhì)，有即 （結(jié)論同上）圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運用等比定理，導出了公式公式的推導方法三： （結(jié)論同上）2、重要結(jié)論an成等比數(shù)列，公比為q （1）也為等比數(shù)列，且公比為， （2）也成等比數(shù)列，且公比為q2（3）成等比，且an>0，則lga1,lga2,lga3成等差注（1）（2）典型例題：例1：求和： .解：等 差 數(shù) 列等 比 數(shù) 列定 義 一般地,如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列這個常數(shù)叫公差一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等比數(shù)列這