完整版用假設(shè)法解決問題一

1、用假設(shè)法解決問題一河北省平鄉(xiāng)縣大劉莊小學(xué) 李明亮先舉一個(gè)簡單的例子：甲班有學(xué)生 45人,乙班比甲班多3人.兩班共有學(xué)生多少解此題的一般方法是,先求出乙班人數(shù),再求學(xué)生總數(shù).如果列式為 45X2+3就 是用了假設(shè)法一一假設(shè)乙班也是 45人,那么兩班共有45X2=90人.但乙班實(shí)際人數(shù) 比45人多3人,所以兩班的實(shí)際總?cè)藬?shù)比 90人多3人.有些數(shù)學(xué)題的數(shù)量關(guān)系不明顯,不容易找到解題的方法.如果我們做一些適當(dāng)、合理的假設(shè),就有可能使數(shù)量關(guān)系明顯,從而找到解題的方法.這種解題方法叫做假設(shè)法.假設(shè)的方法有多種,要靈活運(yùn)用.一、把“缺少的條件假設(shè)為例1.甲、乙、丙三人出了同樣多的錢在糧店買了假設(shè)干千克大米

2、.回家后,乙要的 大米比甲、丙都少6千克,因此,甲、丙都又退給乙 6元錢.每千克大米多少元、分析：不知道三人共買了多少千克大米,也不知道三人各要多少千克,求大米的 單價(jià)似乎很難.但是,我們可以假設(shè)大米的數(shù)量.假設(shè)乙要了 1千克大米,那么甲、丙都要了 7千克,三人共買了 7+7+1=15 千克 每人平均15 + 3=5 千克.在糧店,他們平均出錢,每人出的都是 5千克大米的錢. 回家后,甲、丙要的大米都比平均數(shù)多 7 5=2 千克,所以甲或丙退給乙的 6元錢 就是多要的2千克大米的價(jià)錢.乙要的大米比平均數(shù)少 5-1=4 千克,所以甲和丙 退給他的12元錢就是少要的這4千克大米的價(jià)錢.這樣,就可求

3、出大米的單價(jià).解法 1.6 + 7 7 + 7+1+3=3 元解法 2.6 X2 + 7 +7+1+31=3 元此題還可以用下面的方法解這里只畫出線段圖,分析略6 寸 JLAV.此文原題目為?用假設(shè)法解應(yīng)用題?,初稿完成于1993年11月,1994年12月第一次修改,1997年8月第二次修改.解法 3.6 + 6 6X2 + 3 =3 元解法 4.6 X2+ 6X2 + 3 =3 元例2.小王騎車去火車站.他方案以每小時(shí) 15千米的速度行駛,這樣才能正好趕上火車.可是,前一半路程他騎車的速度是每小時(shí)12千米.下一半路程他應(yīng)該以多快的速度騎行,才能趕上火車分析與解答：題中只有兩個(gè)速度,沒有路程怎

4、樣計(jì)算可以假設(shè)路程.假設(shè)路程是30千米,那么小王按方案騎行,需要的時(shí)間是 30+15=2小時(shí).前 一半路程他已經(jīng)用了 30+2+12=1.25 小時(shí)；下一半路程他應(yīng)該用的時(shí)間是 2 1.25=0.75 小時(shí),應(yīng)該用的騎車速度是每小時(shí) 30+2+0.75=20 千米.30+ 2+ 30+15 30+2+12 =20千米答:略當(dāng)然,把路程假設(shè)為3千米、6千米、10千米結(jié)果都是一樣的.把路程假設(shè) 為“1當(dāng)作工程問題來解,也很簡便.例3.甲數(shù)的3等于乙數(shù)的-,甲數(shù)比乙數(shù)大幾分之幾58分析與解法1.假設(shè)甲數(shù)是25,那么甲數(shù)的另是25X3=15.即乙數(shù)的5也是15,乙558數(shù)是 15+5=24. 8,、1

5、2524 -24= 24解法2.假設(shè)乙數(shù)是1,那么甲數(shù)是1X5 + 3 = 25.85 24空1 + 1 = 2424分析與解法3.假設(shè)甲數(shù)的9與乙數(shù)的5都等于1,那么甲數(shù)是1 + 3=勺,乙數(shù)是1585 35 8 .08 53-83二555 24例4.一次測試,某班學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為 87分.其中90%勺學(xué)生到達(dá)了 80分,他 們的平均分?jǐn)?shù)為89分.80分以下的學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)是多少分析與解答：假設(shè)全班有40人,那么到達(dá)80分的學(xué)生數(shù)是40X90%36人,80 分以下的學(xué)生數(shù)為40-36=4 人.全班學(xué)生總分為87X40=3480 分；到達(dá)80分的學(xué)生總分為89X36=3204分；80分以下的學(xué)

6、生的總分為 3480- 3204=276 分,平均分是 276+ 4=69 分.綜合算式：87X40 89X 40X90% + 40-40X 90% =69 分注：如果假設(shè)全班有4人,那么解法更簡便.這類問題,似乎都缺少一個(gè)重要條件,但問題的答案卻與這個(gè)“重要條件無關(guān). 所以,無論把這個(gè)“重要條件假設(shè)為多少,都不影響計(jì)算結(jié)果,但假設(shè)的數(shù)據(jù)應(yīng)便 于計(jì)算.類似問題；1 .甲乙二人走同一段路,甲所用的時(shí)間比乙短 1,甲的速度比乙快幾分之幾112 .一艘輪船?？吭诖a頭,方案12小時(shí)把貨卸完.實(shí)際卸貨的速度提升了 L 實(shí)際5幾小時(shí)可以卸完3 .植樹節(jié)這大,同學(xué)們?nèi)シN樹,平均每人應(yīng)該種2棵.如果只讓男同學(xué)

7、去種,平均每人應(yīng)該種3棵.如果只讓女同學(xué)去種,平均每人應(yīng)該種幾棵二、把一般條件假設(shè)為特殊條件例5.一個(gè)正方形的面積是20平方分米.在這個(gè)正方形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓,求這 個(gè)圓的面積.分析：求圓的面積,一般要先求出圓的半徑.在此題中,如果知道了正方形的邊 長,就可求出圓的半徑,但題中只給了正方形的面積.根據(jù)正方形的面積求邊長,要 用開方.對于小學(xué)生來說,只有正方形的面積是 4、9、16、25時(shí),才有可能推想 出它的邊長.用小學(xué)知識能不能解這道題呢解法1.假設(shè)這個(gè)正方形的面積是25平方分米,那么它的邊長是5分米.所以,假 設(shè)的這個(gè)正方形內(nèi)的最大的圓的直徑是 5分米,面積是22（5） X 3.14=19

8、.625 平萬分米 2而原正方形面積是假設(shè)的這個(gè)正方形面積的型,所求的圓的面積也應(yīng)該是假設(shè)的 25這個(gè)圓面積的理. 2519.625 X 20=15.7 平方分米25解法2.假設(shè)正方形的邊長是20分米,那么它里面最大的圓的直徑也是20分米,面積是2£2X3.14=314 平方分米.把面積20平方分米的正方形假設(shè)為邊長 20分 2米,面積就擴(kuò)大了 20倍,它里面最大的圓的面積也就擴(kuò)大了 20倍.所以,所求的圓 的面積是314+ 20=15.7 平方分米注：此題不用假設(shè)法也可以解.如圖,把正方形平均分成小正方形,每個(gè)小正方形的面積都是 20+ 4=5 平方分米,即r2=5.所以圓的面積是

9、S=tt r2=3.14 X 5=15.7 平方分米類似習(xí)題：1 .把一個(gè)面積是6.28平方分米的圓形紙片剪成一個(gè)最大的正方形.求這個(gè)正方 形紙片的面積.2 .一個(gè)正方體的體積是9立方分米,另一個(gè)正方體的棱長是它的 2倍.求另一個(gè) 正方體的體積.三、把帶“鈴鐺的分率倍數(shù)假設(shè)為不帶“鈴鐺有些問題,給出的兩個(gè)數(shù)量間的倍數(shù)關(guān)系后面帶著具體數(shù)量,我們稱之為分率 倍數(shù)帶“鈴鐺.可以假設(shè)法當(dāng)然,也可以用用畫圖的方法把數(shù)量進(jìn)行調(diào) 整,使分率倍數(shù)不帶“鈴鐺.例6.工人師傅加工一批零件,第一天加工了全部零件的 1多4個(gè),第二天加工3了全部零件的1少1個(gè),還剩16個(gè)每加工.這批零件共多少個(gè)2分析與解答：假設(shè)第一天

10、正好完成了全部零件的1 ,那么剩下的沒加工的零3件就會多4個(gè)；假設(shè)第二天正好完成了全部零件的 1,那么剩下的就會少1個(gè).于2是,原題的條件就變成了 “第一天加工了全部零件的 1 ,第二天加工了全部零件的311,還剩16+44 1個(gè)沒加工.16+4 1 + 1 1 1 =114 個(gè) 32答:略例7.甲、乙、丙.丁四個(gè)數(shù)的和是 202,乙數(shù)比甲數(shù)多1,丙數(shù)比甲數(shù)的2倍少2, 丁數(shù)比甲數(shù)的一半多1.求這四個(gè)數(shù).2分析與解：假設(shè)乙數(shù)等于甲數(shù),內(nèi)數(shù)正好是甲數(shù)的 2倍,丁數(shù)正好是甲數(shù)的一半,那么四個(gè)數(shù)的和將是2021+2 1.由此可求出甲數(shù),進(jìn)而求出另外三數(shù).2甲數(shù)202 1+21 + 1 + 1+2+1

11、 =4522乙數(shù) 45+1=46內(nèi)數(shù) 45 X 22=88一一11丁數(shù) 45 + 1 + 1 + 2+1 +1=2322例8.學(xué)校買來三種新書共100本,其中文藝書是科技書的3倍,畫冊比科技書的一半少8本.這三種書各買來多少本解分析略：100+8 + 3+1+工=24 本科技書224X3=72 本文藝書24+2 8=4 本畫冊解法 2 分析略：100+8 + 2+1 + 2X3 =4 本畫冊4+8 X 2=24本文藝書24X 3=72 本文藝書例9.水果店有535千克橘子,第一天賣出8筐又17千克,第二天賣出5筐又11 千克,還剩195千克.每筐橘子的重量相等.第一天賣出多少千克解分析略：每筐

12、橘子有多重535 1951711+ 8 + 5 =24 千克第一天賣出多少千克24X8+17=209 千克類似習(xí)題:1 .師徒二人加工一批零件.徒弟加工了 92個(gè),超額15炕成了自己的任務(wù).他 的任務(wù)比師傅任務(wù)的3多32個(gè).師傅加工零件的任務(wù)是多少個(gè)42 .車站倉庫里原有煤假設(shè)干噸.第一次運(yùn)出的比存煤的一半少350噸,第二次運(yùn)出現(xiàn)有煤的一半有50噸,結(jié)果還剩500噸.倉庫里原有煤多少噸3 .小明有人民幣假設(shè)干元.買書用去其中的一半又 5角,買文具用去剩下的一半又5角,買本又用去第二次剩下的一半又 5角,最后還剩5角.小明原有多少元四、虛構(gòu)、改編情節(jié)例10. 一個(gè)班有48人.班主任在班會上問：誰

13、做完語文作業(yè)請舉手.有 37人舉手.又問：誰做完數(shù)學(xué)作業(yè)請舉手.有 42人舉手.最后問：誰語文、數(shù)學(xué)作業(yè) 都沒做完沒有人舉手.你想想看：這個(gè)班語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有多少人微點(diǎn)評軍境瞰淺呼微分析與解法1.全班做完語文數(shù)學(xué)作業(yè)的分別有 37人和42人,沒有兩種作業(yè)都沒做完的.假設(shè)全班學(xué)生都正好做完了一種作業(yè),那么全班應(yīng)該有79人37+42=79.但實(shí)際上全班只有48人,假設(shè)的人數(shù)比實(shí)際人數(shù)多 31人7948=31.為什么會多出31人是由于這31人都舉了兩次手.37+42 48=31 人分析與解法2.有37人做完了語文作業(yè).假設(shè)全班 48人都做完了數(shù)學(xué)作業(yè), 那么做完語文作業(yè)的37人就是兩種作業(yè)都

14、做完的人數(shù).但是,實(shí)際做完數(shù)學(xué)作業(yè)的 只有42人,比假設(shè)的48人少6人.所以,兩種作業(yè)都做完的也應(yīng)該比 37人少6人37 4837 =31 人分析與解法3.有37人做完了語文作業(yè).假設(shè)全班 48人都正好做完了一種作業(yè), 沒有人做完兩種作業(yè),那么做完數(shù)學(xué)作業(yè)的應(yīng)該是11人4837=11 o但實(shí)際做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有42人,比假設(shè)的11人多31人4211=31.這31人既做完了數(shù)學(xué)作 業(yè),又做完了語文作業(yè).42 4837 =31 人分析4.假設(shè)班主任不是讓學(xué)生舉手,而是讓做完作業(yè)的學(xué)生交作業(yè)本一一把語 文、數(shù)學(xué)作業(yè)本各擺一行,并且同一學(xué)生的兩個(gè)作業(yè)本的兩個(gè)作業(yè)本上下對齊擺放 如以下圖.國廟四井二J響1

15、1*|二也這樣,只要數(shù)一數(shù)作業(yè)本數(shù),就可以知道做完作業(yè)的人數(shù).但是,兩種作業(yè)的總 本數(shù)比全班人數(shù)多,由于兩種作業(yè)都做完的學(xué)生都交了兩個(gè)本.如果再讓全班每個(gè)學(xué) 生都拿回去一個(gè)本共拿回去 48本,就只剩下兩種作業(yè)都做完的人的作業(yè)本了 兩種作業(yè)都做完的人,每人剩一本擺在那里.這樣就可得到解法1.從上圖中也可以得到解法2、解法3,還可以得到解法4.解法 4. 48 4837 4837 =31 人注：上面的四種解法都可以用其他思考方法得到.例11.一人騎摩托車從A城去B城.假設(shè)以每小時(shí)30千米的速度行駛,他將遲到2 小時(shí)；假設(shè)以每小時(shí)48千米的速度行駛,他將早到1小時(shí).AB兩城相距多少千米要 準(zhǔn)時(shí)到達(dá),

16、每小時(shí)該行多少千米分析1.從A城出發(fā),以每小時(shí)30千米的速度行駛,要遲到2小時(shí),即到既定時(shí) 刻離B城還有60千米的品&程30X 2=60;以每小時(shí)48千米的速度行駛,將早到1 小時(shí).假設(shè)他以每小時(shí)48千米的速度行駛到B城后沒有停下,而是又向前行了 1小 時(shí),到既定時(shí)刻才停下.用相同的時(shí)間,用兩種速度行駛的路程相差 108千米60+48=108.由此可求 出行駛的時(shí)間,進(jìn)而就可求出兩地距離和應(yīng)有的速度.解法1 .從出發(fā)到既定時(shí)刻是幾小時(shí)30X 2 + 48X 1 +48 30=6小時(shí)AB兩城相距多少千米30X 6 + 2 =240 千米或 48X 61 =240 千米要準(zhǔn)時(shí)到達(dá),每小時(shí)該

17、行多少千米240+ 6=40 千米分析2.假設(shè)有兩個(gè)人分別以每小時(shí)30千米和每小時(shí)48千米的速度,同時(shí)從A 城出發(fā)駛向B城.當(dāng)快車提前1小時(shí)到達(dá)B城時(shí),慢車距B城還有2+1=3小時(shí)的路程, 即快車比慢車多行了 30X3=90千米.由此可求出快車到達(dá) B城所用的時(shí)間.解法2.每小時(shí)行駛48千米,幾小時(shí)可到達(dá)30 X 2+1 +4830=5小時(shí)AB兩城相距多少千米48X5=240 千米要準(zhǔn)時(shí)到達(dá),每小時(shí)該行多少千米240+ 5+1 =40 千米解法3 分析略.每小時(shí)行駛30千米,幾小時(shí)可到達(dá)48 X 2+1 +4830=8小時(shí)AB兩城相距多少千米30 X 8=240 千米要準(zhǔn)時(shí)到達(dá),每小時(shí)該行多少

18、千米240+ 8 2 =40 千米例12.一項(xiàng)工作,甲單獨(dú)做40天可以完成,乙單獨(dú)做60天可以完成.二人合作, 甲因病休息了幾天,他們共用了 27天才完成.問：甲中途休息了幾天分析：甲乙合作,每天可完成這項(xiàng)工作的 +=.假設(shè)甲中途沒有休息,甲40 60 24乙合作27天,可完成這項(xiàng)工作的 , X 27=9,超過任務(wù)的1.甲幾天可以完成這項(xiàng)工2488作的1呢8解：+ 40 60X27-1 + 工=5 天40答：略.此題的另外幾種解法:1 27-1 紅+ 1=5 天 6040 把甲的工效設(shè)為“ 1 ：271 X40一 生 X 27+ 1=5 天(3)把乙的工效設(shè)為“ 1 ： 27(1 X601X2

19、7)+型=5 (天)40（4） 1+言X 271X40 -1=5 天（5） 1+60 X 271 X 60 + 60=5 天4040例13.食堂有面粉和大米共168千克.一天用去了面粉的1和大米的-,一共用 43去48千克.面粉和大米原來各有多少千克分析1.一天用去了面粉的1和大米的1 共48千克.假設(shè)連用3天,那么大米 4311將正好用完,面粉應(yīng)該還剩11 X 3=1.連用3天,共用去面粉和大米48X3=14444千克.還剩168144=24 千克.這24千克都是面粉是原來面粉重量的 工4解法 1. 168-48X3 + 11X3 =96 千克面粉4168-96=72 千克大米分析2.假設(shè)連

20、用4天,那么面粉將正好用完,面粉就會缺 1x4-1=- 0連用433天,共應(yīng)該用面粉和大米 48X4=192 千克,比總數(shù)還多192168=24 千克.1這24千克正好是原來大米重量的1 o31解法 2. 48X4-168 + 1 X4-1 =72 千克大米316872=96 千克面粉注：此題還有其他假設(shè)解法.例14.一個(gè)化肥廠方案14天完成一項(xiàng)任務(wù).由于每天多生產(chǎn) 3.5噸,結(jié)果9天 就完成了任務(wù).原方案每天生產(chǎn)多少噸分析1.假設(shè)有甲乙兩個(gè)廠分別按這個(gè)廠方案的效率和實(shí)際的效率進(jìn)行生產(chǎn).那么 當(dāng)按實(shí)際的效率每天比甲廠多生產(chǎn) 3.5噸生產(chǎn)9天完成任務(wù)時(shí),乙廠比甲廠共多 生產(chǎn)31.5噸3.5X9=

21、31.5.這時(shí),甲廠還需再生產(chǎn)5天才能完成任務(wù).由此可求 出甲廠每天生產(chǎn)多少噸方案每天生產(chǎn)多少噸.解法 1. 3.5 X9+ 149 =6.3 噸解法 2 分析略.3.5 X14+ 149 3.5=6.3 噸例15.雞和兔共43只,它們共有120條腿.雞和兔各有多少只分析與解法1.假設(shè)把雞和兔都砍掉2條腿,那么43只雞和兔就會被砍掉86條腿 (2 X 43=86),只剩下34條(12086=34).這34條都是兔腿,由于雞都沒了腿.每 只兔只剩2條腿,所以有17只兔.兔(120 2X43) +(42)=17(只)雞 43 17=26(只)分析與解法2.假設(shè)每只雞也都有了 4條腿(都又“長出來2條),那么43只雞 和兔一共應(yīng)該有172條腿(43X 4=172).所有的雞一共“長出了 52條腿(172 120=52) o每只雞都“長出來了 2條腿,是多少只雞“長出來 52條腿呢雞(4X43120) +(42)=26(只)兔 43 26=17(只)分析與解法3.假設(shè)把每只雞和兔都砍掉一半數(shù)量的腿(每只雞只剩一條腿,每 只兔剩2條腿,那么43只雞和兔一共剩下60條腿( 120+ 2=60).每只雞和兔都有一 個(gè)頭.把每只雞和兔都砍掉一半數(shù)量的腿后,雞的腿數(shù)和頭數(shù)同樣多,而每只兔的腿 數(shù)都比頭數(shù)多1.現(xiàn)在,43只雞和兔共有43個(gè)頭、60條腿,腿數(shù)比頭數(shù)多17 (60