以學生發(fā)展為本,不拘泥考試大綱

1、最新資料歡迎閱讀以學生發(fā)展為本,不拘泥考試大綱摘要：本文從學生發(fā)展的需要思考超綱的意義 ；從一題多解中思 考超綱和不超綱；理解超綱知識的價值，進而思考面對不同學生度的 把握;結(jié)合具體題目理解超綱知識和必備知識的相互替代性及解題層 面的優(yōu)越性；理解超綱知識和數(shù)學思想能力的互補關(guān)鍵詞：超綱；一題多解;互補.1超綱試題命制的意義學生的發(fā)展不拘泥于考試大綱，全國卷在 12、16題的命題常常 是鼓勵學生超綱，但也要求學生把核心思想方法掌握好 .例1 （20xx年全國亞第16題）a, b為空間中兩條互相垂直的直 線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊 AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，

2、有下列結(jié)論： 當直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角； 當直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角； 直線AB與a所成角的最小值為45° ; 直線AB與a所成角的最大值為60° ；其中正確的是，（填所有正確結(jié)論編號）解法1 （直觀感知）為了更好的觀察，把 AB作為體對角線，如 圖1,取a=b=1，AC=2容易求得此時直線 AB與a成60°角，AB與 b也成60°角；排除，選；當AB移動到左側(cè)面的時候，此時a丄AB,為最大角，如圖2,當 AB移動到AF時，注意到CF=CB=2=AC所成角為45°

3、，為最小角.解法2(回歸正方體，運動變化的觀點)因為出現(xiàn)了很多的垂直， 所以考慮回到正方體中考慮，設(shè)邊長為1，B點運動的軌跡為以C為圓心，1為半徑的圓.(直觀感知)在圓弧上任取一點 M當M位于B點時，直線AB 與a所成角的最小值為45° ;當M位于E點時，夾角為90°,直觀感 知排除，選；(向量法)在正方體中，建系是一個很好的方案，以 C為原點 建立直角坐標系，設(shè) B 二/ MCB 貝S M( cos0, sin0 , 0), AM=( cos0, sin0 , -1 ), a= (1, 0, 0), b= (0, 1, 0),由直線 AM與 a 所成角的 余弦值 cos6

4、0° =cos 0 / V2，得 cos0=V2/2 , 0 =45° , CM平分角/ BCE 所以此時 AM與 兩直線所成的角都為60°解法3 (最小角定理或三余弦公式)過 M作b的垂線，則AM與 MN所成的角為AM與a所成的角.由三余弦公式得cos/AMN二co£ AMC'cos/ CMN.2xcosZ CMN 若所成角為 60°,則有了 cosCCMN 則 / CMN=4°5 , CM平分角/ BCE所以此時AM與兩直線所成的角都為 60° .點評立體幾何的學習在“直觀感知一一操作確認一一推理論證一 度量計算

5、”這四個層面展開.因為立體幾何呈現(xiàn)給我們的是幾何結(jié) 構(gòu)，視角思維可以成為主導思維，即特別突出直觀感知借助長方體這個載體，把所研究的點線面的位置關(guān)系聯(lián)系到一起，降低了立體幾何學習的門檻，這是新課改強調(diào)的理念有了長方體， 其長度的關(guān)系為 計算帶來了便利，求角困難時，還有向量法作為保障，運動變化的觀 點是基本觀點，作為一般的學生深刻理解這些基本思想方法，也能高 效地解決此問題。三余弦公式揭示了線面角、射影角和線線角之間的關(guān)系，在線線 角計算有困難的時候，可以借助線面角和射影角來轉(zhuǎn)化，作為特優(yōu)生， 不受制于考綱，廣泛地學習和專研.2 “一題多解”中的超綱與不超綱學生的知識結(jié)構(gòu)、能力結(jié)構(gòu)、思想方法體系不

6、一樣，對于同一個 題目有不同的視角，這就對應著不同的思維方式，就會有不同的方法. 有些優(yōu)秀的學生掌握的知識.思想方法超過考試大綱，其解法也自然 會超綱.所以很難精確的界定一個題的考查超綱和不超綱.早在上個世紀90年代，就提出了咼考“依據(jù)考綱、但不拘泥于考綱”，咼考的 12題、16題都是以能力和思想立意，所以知識的定位應該從屬于思 想能力定位.同時也讓學生在不同的階段、不同的水平看經(jīng)典的高考 題目，有不同的視角和不同的思維方式，更好地解讀高考題目，領(lǐng)會 命題思路.例2 (2013年新課標I文16理15)設(shè)當x= B時，函數(shù)f (x) 二sinx-2cosx 取得最大值，則 cos0=.解法1 (

7、輔助角公式+同角三角函數(shù)基本關(guān)系)f (x) =V5sim (x©) , tanp=2 ,©( 0, /2 ).由題知 f (0) =V5，則 B - © =/2+2k n, h 乙即 B “ +2kn + ©, k 乙所以 cosO二co(2+2hn + ©)二-sinp. 因為 tan © =2,所以 sinp=2 V5 則 cos0=2V5.解法2(同角三角函數(shù)基本關(guān)系+方程思想)因為f (x) =V5sin(x- ©)最大值為 /5 ,則 f (0) =sin 0 -2cos 0 =V5.結(jié)合 sin2 0 +co3

8、 0 =1,可得 cos 0 =-2/5/5.解法3 (導數(shù)研究單調(diào)性)由題可知 f' (x) =cosx+2sinx.因為 f (x)的最值也是函數(shù)的極值，所以 f' (0) =cosO+2sin 0 =0.結(jié)合 sim20+cos2 0 =1 得 cos 0 二士 2V5/5.因為 f (0) =sim0-2cos0= V5, 所以 cos 0 =2V5.解法4 (反三角函數(shù))f (x) =/5sin (x-arctan2 )，由題知f (0) =V5,貝卩0 -arctan2=/2+2k n, k 乙即 0 =/2+2k n +arctan2 , k 乙 所以 cos0=cos (/2+2k n +arctan2 ) =-sin (arctan2 ) =-2 V5/5.例3 (2007年全國I )設(shè)函數(shù)f (x) =e*-e*.(I )略；(II )若對所有x > 0都有f (x) > ax，求a的取值范圍.解法1 (分離參數(shù)+洛必達法則)當x=