2020-2021學年高中數(shù)學新教材人教B版必修第四冊單元質量評估 第九章　解三角形 Word版含解析

1、第九章單元質量評估一、單項選擇題(每小題5分，共40分)1在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c.若a60°，c2，b1，則a(b)a1 b. c2d3解析：由余弦定理得a2b2c22bccosa142×1×2×3，從而a.2abc中，a2，a30°，c45°，則sabc(c)a.b2 c.1 d.(1)解析：abc180°，b105°，且sin105°sin75°sin(30°45°)sin30°cos45°cos30°sin45

2、76;.又由正弦定理：c2.sabcacsinb1.3在abc中，已知三邊a，b，c滿足a2abc2b2，則c等于(a)a. b. c. d.解析：由已知得a2b2c2ab，cosc，故c.故選a.4鈍角三角形abc的面積是，ab1，bc，則ac(b)a5 b. c2d1解析：由題意可得ab·bc·sinb，又ab1，bc，所以sinb，所以b45°或b135°，當b45°時，由余弦定理可得ac1，此時acab1，bc，易得a90°，與已知條件“鈍角三角形”矛盾，舍去所以b135°.由余弦定理可得ac.5abc的內角a，b，

3、c的對邊分別為a，b，c.若abc的面積為，則c(c)a. b. c. d.解析：根據(jù)題意及三角形的面積公式知absinc，所以sinccosc，所以c.故選c.6已知abc的三邊長分別為a，b，則此三角形中最大的內角為(c)a. b. c. d.或解析：因為>a，>b，所以abc中最大的邊為，從而最大的內角為c，由余弦定理得cosc，所以c，故選c.7在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，若tanb，·，則tanb(d)a. b.1 c2d2解析：由余弦定理得a2c2b22accosb，由·，得accosb，所以tanb2.故選d.8如圖所示，在坡度

4、一定的山坡a處測得山頂上一建筑物cd的頂端c對于山坡的斜度為15°， 向山頂前進100 m到達b處，又測得c對于山坡的斜度為45°，若cd50 m，山坡的坡角為，則cos(c)a.b2 c.1 d.解析：在abc中，由正弦定理可知bc50()(m)在bcd中，由正弦定理可知sinbdc1.由題圖可cossin(90°)sinbdc1.故選c.二、多項選擇題(每小題5分，共20分，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)9由下列條件求解abc，其中有兩解的是(bd)aa10，b45°，c75°ba8，b6，b30°ca30，

5、c28，b60°da4，b4，a45°解析：a中，已知兩角和一邊，abc只有一解；c中，已知兩邊及夾角，abc只有一解；b中，asinb8×sin30°4，asinbb6a，abc有兩解；d中，bsina4×sin45°4×2，bsinaa4b4，abc有兩解10若將直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則對這個新三角形的形狀的說法不正確的是(bcd)a銳角三角形b直角三角形 c鈍角三角形d由增加的長度決定解析：設三邊增加的長度均為x，原三角形的三邊長分別為a，b，c，且c2a2b2，ab>c，新的三角形的三邊長分別為ax

6、，bx，cx，顯然cx為最大邊，其對應的角最大，而(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值大于0，則這個角為銳角，那么新的三角形為銳角三角形11在abc中，a，bc3，則abc的周長不可能為(abc)a4sin3b4sin3c6sin3d6sin3解析：a，bc3，設周長為x，由正弦定理，知，由合分比定理，知，即.2sinbsin(ab)x，即x323232323636sin.12在鈍角三角形abc中，若sinasinbsinc，則下列關系不正確的是(abd)acosa·cosc0bcosb·cosc0ccosa&#

7、183;cosb0dcosa·cosb·cosc0解析：sinasinbsinc，c為鈍角，cosc0，cosa0，cosb0，cosa·cosc0，cosb·cosc0，cosa·cosb0，cosa·cosb·cosc0.三、填空題(每小題5分，共20分)13在abc中，內角a，b，c所對的邊分別是a，b，c，已知a1，b45°，sabc2，則abc外接圓的直徑為5.解析：由題意得acsinb2，×1×csin45°2，c4.由余弦定理，得cosb，解得b5.由正弦定理，得2r，2

8、r5.14如圖所示，一塊三角形土地abc，ad是一條小路，bc5 m，ac4 m，coscad，adbd，則該土地的面積是m2.解析：設cdx，則adbd5x.在cad中，由余弦定理，可知coscad，解得x1.cd1，adbd4.在cad中，由正弦定理，可知，sinc·4.sabcac·bc·sinc×4×5×(m2)15在abc中，角a，b，c，的對邊分別為a，b，c，b，且a22a(sinbcosb)40，b2，則a_2_，abc的面積為2.(本題第一空2分，第二空3分)解析：b，a22a(sinbcosb)4a22a()4a2

9、4a4(a2)20，a2.由余弦定理得b2a2c22accosb，284c22c，c4.sabcacsinb×2×4×2.16設abc的內角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，則下列命題正確的是_.(寫出所有正確命題的序號)若a2b2>c2，則abc為銳角三角形；若abc123，則abc123；若sina>sinb，則a>b；若b2ac，則cos(ac)cosbcos2b1.解析：由a2b2>c2，僅能判斷c為銳角，a，b未知，錯；由abc123，知a，b，c，abcsinasinbsinc112，錯；由sina>sinb，根據(jù)正弦定

10、理得>，即a>b，則a>b，正確；b2ac，由正弦定理得sin2bsinasinc，cos(ac)cosbcos2bcos(ac)cos(ac)cos2b2sinasinc12sin2b1，正確故填.四、解答題(寫出必要的計算步驟，只寫最后結果不得分，共70分)17(10分)在銳角abc中，內角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且2asinbb.(1)求角a的大??；(2)若a6，bc8，求abc的面積解：(1)由2asinbb及正弦定理，得sina.因為a是銳角，所以a.(2)由余弦定理，得a2b2c22bccosa，即b2c2bc36.又bc8，所以bc.則abc的面積sb

11、csina××.18(12分)設abc的內角a，b，c所對邊的長分別是a，b，c，且b3，c1.abc的面積為，求cosa與a的值解：由三角形面積公式，得×3×1×sina，故sina.因為sin2acos2a1，所以cosa±±±.當cosa時，由余弦定理得a2b2c22bccosa32122×1×3×8，所以a2.當cosa時，由余弦定理得a2b2c22bccosa32122×1×3×()12.所以a2.19(12分)abc的內角a，b，c的對邊分別為

12、a，b，c.設(sinbsinc)2sin2asinbsinc.(1)求a；(2)若ab2c，求sinc.解：(1)由已知得sin2bsin2csin2asinbsinc，由正弦定理，得b2c2a2bc，由余弦定理，得cosa，0°a180°，a60°.(2)由(1)知b120°c，由已知及正弦定理，得sinasin(120°c)2sinc，即coscsinc2sinc，cos(c60°).0°c120°，sin(c60°)，sincsin(c60°60°)sin(c60°)

13、cos60°cos(c60°)sin60°.20(12分)在abc中，a，b，c分別為內角a，b，c的對邊，且(sinbsincsina)(sinbsincsina)sinbsinc，b和c是關于x的方程x29x25cosa0的兩根(b>c)(1)求cosa的值；(2)判斷abc的形狀解：(1)由正弦定理得(bca)(bca)bc，即b2c2a2bc，由余弦定理得cosa.(2)由(1)知cosa，則方程x29x25cosa0可化為x29x200，解得x5或x4.b>c，b5，c4，由余弦定理得a2b2c22bccosa9，a3.b2a2c2，abc為

14、直角三角形21(12分)abc的內角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知asinbsina.(1)求b；(2)若abc為銳角三角形，且c1，求abc面積的取值范圍解：(1)由已知及正弦定理得sinasinsinbsina.因為sina0，所以sinsinb.由abc180°，可得sincos，故cos2sincos，因為cos0，所以sin，所以b60°.(2)由已知及(1)知abc的面積sabca，又ac180°b120°，由正弦定理得a.由于abc為銳角三角形，故0°<a<90°，0°<c<90

15、°.結合ac120°，得30°<c<90°，所以<a<2，從而<sabc<.因此，abc面積的取值范圍是.22(12分)某港口o要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時，輪船位于港口o北偏西30°且與該港口相距20 n mile的a處，并正以30 n mile/h的航行速度沿正東方向勻速行駛假設該小艇沿直線方向以v n mile/h的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t h與輪船相遇(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？(2)為保證小艇在30 min內(含30 min)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值解：若相遇時小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向為正北方向如圖，設小艇與輪船在c處相遇在rtoac中，oc20cos30°10(n mile)，ac20sin30°10