普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國卷Ⅰ)(文科)

1、普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷I ）（文科）本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘. 第I卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合 A= x|x= 3n+ 2, n N, B = 6 , 8, 10, 12, 14,則集合 APB 中元素的個數(shù)為（)A.5B .4C.3D .22.已知點A(0, 1), B(3,2),向量= (-4, - 3),則向量=()A.(-7,-4)B .(7, 4)C.(-1 ,4)D .(1, 4)3.已知復(fù)數(shù)z滿足（z- 1）i=1 +

2、i,則 z=()A.2-i B. - 2 + iC.2 - iD . 2+ i4如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)從1, 2, 3, 4, 5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為（）31A吊 B.51 1C 一 d 一 10205.已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點，離心率為, E的右焦點與拋物線 C: y2= 8x的焦點重合，A, B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點，則|AB|=（）C. 9 D. 12九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題： 今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺問：積及為米幾何？ ”其意思為： 在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，

3、 米堆為一個圓錐的四分之一 ),米堆底部的弧長為 8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和 堆放的米各為多少？ ”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放的米 約有()A . 14 斛 B . 22 斛C. 36 斛 D . 66 斛7.已知an是公差為1的等差數(shù)列，Sn為an的前n項和，若Ss= 4S4,則ai0=()1719A. y B.yC. 10 D. 12&函數(shù)f(x)= COS(3X+妨的部分圖象如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(A. kn f, kn+ f , k Z(13)B. 2kn f, 2kn+ f , kC. k f, k+ 3 , k ZD

4、. 2k 4, 2k+ 4 , k Z9執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入的t = 0.01,則輸出的n=(肘山=0,肌=*河-m/輸山/7311.圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16 + 20 n,則 r =()* 2r-止視圖A . 1B. 2C. 4D. 812.設(shè)函數(shù)y= f(x)的圖象與y= 2X+a的圖象關(guān)于直線則 a=()A . 1 B . 1y= x對稱，且 f( 2) + f( 4) = 1,C. 2 D. 4、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上）13 .在

5、數(shù)列an中，a1= 2, an+1= 2an, Sn 為an的前 n 項和.若 Sn= 126,貝V n =14 .已知函數(shù) f(x) = ax3 + x + 1的圖象在點(1 , f(1)處的切線過點 (2 , 7),貝V a =2x 1 2, xw 110. 已知函數(shù) f(x)=且 f(a) = 3,則 f(6 a)=()|-lOg2 (X+ 1) , X>1 ,C.15. 若x, y滿足約束條件1 x 2y+ 1 W0則z= 3x+ y的最大值為 2x y+ 2 >Q216. 已知F是雙曲線C ：2-y = 1的右焦點，P是C的左支上一點，A（0, 6 6） 當(dāng) APF8 v

6、周長最小時，該三角形的面積為 三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）217. （本小題滿分12分）已知a, b, c分別為 ABC內(nèi)角A, B, C的對邊，sinB = 2sin Asi n C.（1）若 a = b,求 cos B;（2）設(shè)B = 90 ° 且a = 2,求厶ABC的面積.18.EUC（本小題滿分12分）如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE丄平面ABCD.（1）證明：平面 AEC丄平面BED ;若/ ABC = 120 ° AE丄EC,三棱錐E-ACD的體積為 警,求該三棱錐的側(cè)面積.18. （本小題滿分12分）某公司為確定

7、下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響.對近8年的年宣傳 費人和年銷售量yi（i = 1, 2,，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的 值.年鑰害量/t&20-600-5B0-540S20500480111.1111.”34 36 38 J0 42 44 46 48 5Q 52 54 56年宜傳費/千元y3A 1A(晦HS(心一X)( V)B.X (u1,- w) (y ； yy I46. 6563位8289.8L61 469108, 8fI 備表中w?-=y育召叫(1)根據(jù)散點圖判斷，y= a

8、+ bx與y= c+ d . x哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費 x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)根據(jù)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3) 已知這種產(chǎn)品的年利潤 z與x, y的關(guān)系為z= 0.2y x.根據(jù)的結(jié)果回答下列問題: 年宣傳費x= 49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？ 年宣傳費x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(5, vi) , (U2, V2),，(Un, vn),其回歸直線V=a+U的斜率和截 距的最小二乘估計分別為W=(It; « ) ( V)4. d*4"p Zp _ u J- I19. (本小題滿分1

9、2 分)已知過點A(0, 1)且斜率為k的直線I與圓C: (x 2)2 + (y 3)2 =1交于M , N兩點.(1)求k的取值范圍；若f 二=12,其中O為坐標(biāo)原點，求|MN|.20. (本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x) = e2x aln x.(1) 討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'x)零點的個數(shù)；2(2) 證明：當(dāng) a>0 時，f(x) >a+ aln：a請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.作答時請寫清題號.22.(本小題滿分10分)選修4-1 :幾何證明選講如圖，AB是O O的直徑，AC是O O的切線，BC交O O于點E.(1) 若

10、D為AC的中點，證明：DE是O O的切線；(2) 若 OA = _3CE,求/ ACB 的大小.21. (本小題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1: x= 2,圓C2: (x 1)2+ (y 2)2= 1,以坐標(biāo)原點為極 點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求C1, C2的極坐標(biāo)方程；若直線C3的極坐標(biāo)方程為 =n p R),設(shè)C2與C3的交點為M , N,求厶C2MN的面 積.22. (本小題滿分10分)選修4-5 :不等式選講已知函數(shù) f(x)=|x+ 1 2|x a|, a>0.(1)當(dāng)a = 1時，求不等式f(x)>1的解集；若f(

11、x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國卷I )(文科)參考答案與詳解本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試時間120分鐘.第I卷一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 )1. 解析：選D 集合A中元素滿足x= 3n+ 2, n N ,即被3除余2,而集合B中滿足 這一要求的元素只有 8和14.故選D.2. 解析：選A 法一：設(shè)C(x, y),貝V= (x, y 1)= ( 4, 3),x= 4,所以y= 2,從而= ( 4, 2) (3, 2

12、) = ( 7, 4).故選 A.法二：；=(3, 2) (0, 1) = (3, 1),： 心 一 (4, 3)- (3, 1) = (- 7, 4)故選 A.i + 13. 解析：選 C / (z 1)i = i + 1, z 1=1 i, z= 2 i,故選 C.5.解析:選B拋物線y1 2= 8x的焦點為（2 , 0）,橢圓中c= 2 ,5) , (2 , 3 , 4) , (2 , 3 , 5),110.故選C.4. 解析：選C 從1 , 2 , 3 , 4 , 5中任取3個不同的數(shù)共有如下 10個不同的結(jié)果：（1, 2, 3), (1 , 2, 4) , (1, 2 , 5) ,

13、(1 , 3 , 4) , (1 , 3 , 5) , (1 , 4 , (2 , 4 , 5) , (3 , 4 , 5),其中勾股數(shù)只有(3 , 4 , 5),所以概率為又 a=2,16r =',所以米堆的體積為V冗112 n=4窯5=石X5«3 * *9°（立方尺）.故堆放的米約有 呼十1.62 斛2).故選 B.2 2 2 a = 4 , b = a c = 12 ,2 2從而橢圓的方程為 話+召=1./拋物線y二 a10= a1+ 9d = 2+ 9 = 3.故選 B.= 8x的準(zhǔn)線為x= 2 ,-xA= Xb = 2 ,將Xa= 2代入橢圓方程可得|yA

14、|= 3 ,由圖象可知|AB|= 2|yA|= 6故選B.n6解析：選B 設(shè)米堆的底面半徑為 r尺，則Qr = 8,所以7.解析：選B 公差為1 , S8= 8a1 + 8X(2 " X1 = 8a1+ 28 , £= 4a1+ 6.1由°= n+ 2knT S8= 4S4 , - 8a1+ 28 = 4(4a1 + 6),解得 a1 =-,得0= n- 2k n, k Z ,不妨取 片上，44 f(x) = cos Ttx+ n .n由 2k n <n+ &v2k n+ n13得 2k 4<x<2k+ 4, k Z , f(x)的單調(diào)遞

15、減區(qū)間為2k 4, 2k+ 4 , k Z.故選D.一 1 19. 解析：選 C 運行第一次：S= 1 2 = 2 = 0.5， m= 0.25, n= 1, S>O.01 ；運行第二次：S= 0.5 0.25= 0.25, m = 0.125, n= 2, S>0.01;運行第三次：S= 0.25 0.125= 0.125, m= 0.062 5, n= 3, S>0.01 ;運行第四次：S= 0.125 0.062 5 = 0.062 5 , m = 0.031 25, n= 4, S>0.01 ;運行第五次：S= 0.031 25, m = 0.015 625,

16、n = 5, S>0.01 ;運行第六次：S= 0.015 625, m= 0.007 812 5, n= 6, S>0.01;運行第七次：S= 0.007 812 5 , m= 0.003 906 25 , n= 7 , S<0.01.輸出n=7.故選C.10. 解析：選A 由于f(a)= 3 , 若 aw|,貝U 2a1 2= 3,整理得 2a1 = 1.由于2x>0 ,所以2a1= 1無解； 若 a>1,則一log 2(a+ 1) = 3 ,解得 a+ 1 = 8 , a = 7 ,所以 f(6 a) = f( 1)= 211 2= 7.4綜上所述,f(6

17、a) = 4.故選A.11. 解析：選B 如圖，該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組合體,球的半徑為r , 圓柱的底面半徑為r,高為2r ,則表面積S= 14 n2+ nr2+ 4r2止視方向2+ n 2r = (5 計 4)r .又 S= 16+ 20 n(5 + 4)r2= 16 + 20 n, r2= 4, r = 2,故選 B.12. 解析：選C 設(shè)(x, y)為y = f(x)圖象上任意一點， 則(-y, x)在y= 2x+ a的圖象上，所以有x= 2y+ a從而有y+ a= log2( x)(指數(shù)式與對數(shù)式的互化),所以 y= a log2( x),即 f(x) = a log2(

18、x),所以 f( 2) + f( 4) = (a log22)+ (a log24) = (a 1) + (a 2) = 1,解得 a= 2.故選 C. 第n卷二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上)13. 解析：/ a1= 2, an+1= 2an,二數(shù)列an是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.又 5= 126,126, n= 6.答案：6214. 解析：/ f'x)= 3ax + 1, f' (=3a+ 1.又 f(1) = a+ 2, 切線方程為 y (a+ 2)= (3a+ 1)(x 1).切線過點(2, 7), 7 (a+ 2)= 3a +

19、1,解得 a = 1.答案：1yjr+j2=0解析：畫出可行域(如圖所示)/ z= 3x+ y, y= 3x+ 乙直線y = 3x+ z在y軸上截距最大時，即直線過點B時，z取得最大值.|x+ y 2= 0,x= 1,由解得即B(1 , 1),x 2y+ 1 = 0,y= 1, zmax= 3&+ 1 = 4.答案：4216. 解析：由雙曲線方程 x2 y8 = 1 可知，a= 1, c= 3,故 F(3 , 0), F“( 3, 0) 當(dāng)點P在雙曲線左支上運動時，由雙曲線定義知|PF| |PF1|= 2,所以|PF|=|PF11+ 2, 從而 APF 的周長=|AP|+ |PF|+

20、|AF|=|AP|+ |PF1|+ 2+ |AF|.因為|AF|= _32+( 6=6) 2 = 15為定值，所以當(dāng)(|AP|+眄計)最小時, APF的周長最 小,y3R -VO由圖象可知，此時點P在線段AF1與雙曲線的交點處(如圖所示).由題意可知直線 AF1的方程為y= 2 ,6x+ 6,6,2 6x+ 6 6,由x2k得 y2 + 6 6y 96= 0,解得y= 2 6或y= 8.6（舍去）,所以apf = SAAFiF SA PFiF=16 0.6 2 X6 >2 6 = 12 6.答案：12 6三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17. 解：（1）由題設(shè)及正弦定

21、理可得 b2= 2ac.又 a = b,可得 b= 2c, a = 2c.由余弦定理可得cos B =2ac14.2(2) 由 (1)知 b = 2ac.因為B = 90°由勾股定理得a2+ c2= b2, 故 a2+ c2= 2ac,進而可得 c= a= .*；2.1所以 ABC的面積為X.2 X_2 = 1.18. 解：（1）證明：因為四邊形 ABCD為菱形，所以AC丄BD.因為BE丄平面ABCD ,所以AC丄BE.故AC丄平面BED.又AC?平面AEC,所以平面 AEC丄平面BED.設(shè) AB = X,在菱形 ABCD 中，由/ABC = 120 ° 可得 AG = G

22、C =烏,GB= GD = |. 因為AE丄EC,所以在Rt AEC中，可得EGn-x.由BE丄平面ABCD ,知 EBG為直角三角形，可得BE =X.由已知得，三棱錐E-ACD的體積V 三棱錐e-acd =C GD BE =_63 ,故 x = 2.從而可得 AE = EC= ED = <-6.所以 EAC的面積為3, EAD的面積與 ECD的面積均為，5.故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3 + 2 5.19.解：(1)由散點圖可以判斷，y= c+ d x適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費 方程類型.x的回歸令w = x,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程.(w； tl1 ) (tVj- y由于=廠

23、I0& 81.6RS,cA = y dAw= 563 68 £8= 100.6,所以y關(guān)于w的線性回歸方程為 yA = 100.6+ 68w, 因此y關(guān)于x的回歸方程為yA = 100.6+ 68 . x.由知，當(dāng)x= 49時，年銷售量y的預(yù)報值yA= 100.6 + 68 49= 576.6, 年利潤 z 的預(yù)報值 zA = 576.6 >0.2 49= 66.32.根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值Z = 0.2(100.6 + 68 x) x= x + 13.6 . x+ 20.12.13 6所以當(dāng)x= 136 = 6.8,即x= 46.24時，/取得最大值.故

24、年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預(yù)報值最大.20.解：(1)由題設(shè)可知直線I的方程為y= kx+ 1. 因為直線I與圓C交于兩點，所以巴 3 +23<1,1 + k所以k的取值范圍為設(shè) M(X1, y1), N(X2, y2).將 y = kx+ 1 代入方程(x 2)4k (1 + k) + (y 3)2= 1, 整理得(1 + k2)x2 4(1 + k)x + 7= 0.4 (1 + k)7所以 x1 + x2=2, X1X2=.1+k1 +k由題設(shè)可得4k( 1+2k) + 8 = 12,解得k= 1 ,1+ k所以直線I的方程為y= x+ 1.故圓心C在直線I上，所以|MN

25、|= 2.21. 解：(1)f(x)的定義域為(0，+)f' x)= 2e2x axx當(dāng)a包)時，f'x)>0, f'x)沒有零點；當(dāng) a>0 時，設(shè) u(x) = e2x, v(x) = -,x+8上單調(diào)遞增，X0,當(dāng) x (0, x0)時，f，x(<0；因為u(x)= e2x在(0, +8上單調(diào)遞增，v(x) = ©在(0x所以f'x)在(0, +8上單調(diào)遞增.a1又 f' s(>0,當(dāng) b 滿足 0<b<aK bv1時，f' b)<0 ,44故當(dāng)a>0時，f' x)存在唯一零

26、點.(2)證明：由(1),可設(shè)f'x)在(0, +8上的唯一零點為 當(dāng) x (xo, +8時,f'x)>0.故f(x)在(0 , x0)上單調(diào)遞減，在(xo, + 8上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x= x0時，f(x)取得最小值，最小值為f(x°).由于2e2x0 -加0,a22所以 f(x0) =+ 2ax°+ aln：絲a+ aln：.2x0aa2 故當(dāng) a>0 時，f(x)支a + aln- a22. 解:(1)證明：如圖，連接AE ,由已知得 AE丄BC , AC丄AB.在 Rt AEC 中，由已知得 DE = DC,故/DEC =/ DCE. 連接 OE ,貝OBE = Z OEB.又