中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：PA+kPB型的最值問題

1、中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：P& kPB型的最值問題破解策略“PA+ k - PB'型的最值問題，當(dāng) k=1時(shí)通常為軸對(duì)稱之最短路徑問題，而當(dāng)k>0時(shí)，若以常規(guī)的軸對(duì)稱的方式解決，則無法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換思路.1 .當(dāng)點(diǎn)P在直線上如圖，直線 BM BN交于點(diǎn)B, P為BMk的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) A在射線BM BN同側(cè)，已知sin / MBN =k.過點(diǎn)A作Ad BN于點(diǎn)C,交BM于點(diǎn)P,此時(shí)P知k PB取最小值，最小值即為 AC的長.B證明 如圖，在 BM±任取一點(diǎn) Q,連結(jié)AQ彳QDL BN于點(diǎn)D.B由 sin / MBN k,可得 Q氏 k - QB.所以 QAF k - QB=

2、QAF QA AC 即得證.2 . 當(dāng)點(diǎn)P在圓上如圖，O O的半徑為r,點(diǎn)A, B都在。O外，P為。O上的動(dòng)點(diǎn)，已知r = k CB.在OB上取一點(diǎn)C,使得OC= k r,連結(jié)ACO O于點(diǎn)P,此時(shí)PA+ k- PB取最小值，最小 值即為AC的長.B證明 如圖，在。O上任取一點(diǎn)Q,連結(jié)AQ BQ連結(jié)CQ OQAQOCBP則 OC= k OQ OQ= k - CB.而/ COR / QOB 所以 COQ AQOB所以 QG= k - QB.所以 Q/V k - QB=Q/V QO AC 即得證.例題講解例1 如圖，矩形 ABC由，AEB= 6cm, BC= 75 cm,對(duì)角線 AC BD相交于點(diǎn)

3、 Q COD 關(guān)于CD的對(duì)稱圖形為 CED.若點(diǎn)P為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) A重合），連接OP 一動(dòng) 點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段 OP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P,再以1. 5cm/s的速度沿線段 PA勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) A,到達(dá)點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) A所需要的時(shí)間最短 時(shí)，求AP的長和點(diǎn)Q走完全程所需的時(shí)間.B AB解：由題意可得，點(diǎn) Q運(yùn)動(dòng)到帶你 A的時(shí)間為1 、172過點(diǎn)E作EF，AD交AD的延長線于點(diǎn) F則 EF= 3cm, AF=芻指 cm 2AE= MEF 2 AF 2 9 cm, 從而 sin / EAF= -EF = 2EA 3過點(diǎn)P作PGL ADT點(diǎn)G則有PG

4、= 2 PA 31 過點(diǎn) O作 OHL ADT點(diǎn) H,則 OHk 1 CD= 3一_ 2 _ 一 而 OPb 2 PA= PO PO OH 所以 t 最小=3s3#顯然 AH= 1 AF,所以 AA 1 AE= 3 cm綜上所述，當(dāng)點(diǎn) Q沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) A所需要的時(shí)間最短時(shí)，AP的長為2 cm,點(diǎn)Q2走完全程所需的時(shí)間為 3s.例2 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線y=x22m奸R2+m的頂點(diǎn)為C.直線y=x+2 與拋物線交于 A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線的對(duì)稱軸左側(cè). 拋物線的對(duì)稱軸與直線 AB交于點(diǎn)M 作點(diǎn)B關(guān)于直線MC勺對(duì)稱點(diǎn)B .以M為圓心，MC為半徑的圓上存在一點(diǎn) Q使得QB

5、9; + 或QB的值最小，則這個(gè)最小值為多少？2解：- y = x2-2mx n2+ rtf (xm 2+ m，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m m ,從而點(diǎn) M的坐標(biāo)為（m 2）連結(jié)MQ則MQ= MC= 222聯(lián)立方程組y x 2mxmmy x 2可得點(diǎn) A (mr 1,1) , B (m 2,4).B陣(m 2 m)2 (m 4 m 2)22.2 ,即 MQ= 2 MB2取MB的中點(diǎn)N,則 MN= 1MB= MQ 22連結(jié)QN 易證QM摩ANIMQ. QN= 2 QB2jr連結(jié) B' N,則 QB' + QB= QB' + QN> B' N易得直線AB與y軸的夾角為45。，所以/ AMCC= 45連結(jié) B' M 則 / B' MB= 2/ AMO 90在 RtB' MN中，B' N=(2(22)2)2 (2)2 J而即QB +W2QB的最小值為J10進(jìn)階訓(xùn)練1 .如圖在 ACE中，CA= CE Z CAE= 30° , O經(jīng)過點(diǎn)C,且圓白直徑 AB在線段AE上，1設(shè)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接 OD當(dāng)1 CA OD勺最小值為6時(shí)，求。O的直徑AB