中考中的費馬點詳解加測試

1、皮耶德費馬(PierredeFermat )是一個17世紀(jì)的法國律師, 也是一位業(yè)余數(shù)學(xué)家。之所以稱業(yè)余，是由于皮耶德費馬具有律師的全職工作。他 的姓氏根據(jù)法文與英文實際發(fā)音也常譯為“費爾瑪”(注意“瑪” 字)。費馬最后定理在中國習(xí)慣稱為費馬大定理，西方數(shù)學(xué)界原名“最 后”的意思是：其它猜想都證實了，這是最后一個。著名的數(shù)學(xué)史學(xué)家貝爾(E.T.Bell )在20世紀(jì)初所撰寫的著作中， 稱皮耶德費馬為"業(yè)余數(shù)學(xué)家之王。“貝爾深信，費馬比皮耶德費馬同時代的大多數(shù)專業(yè)數(shù)學(xué)家 更有成就，然而皮耶德費馬并未在其他方面另有成就，本人 也漸漸退出人們的視野，考慮到17世紀(jì)是杰出數(shù)學(xué)家活躍的世紀(jì)，

2、因而貝爾認(rèn)為費馬是17世紀(jì)數(shù)學(xué)家中最多產(chǎn)的明星。費馬點問題最早是由法國數(shù)學(xué)家皮埃爾德費馬在一封寫給 意大利數(shù)學(xué)家埃萬杰利斯塔托里拆利(氣壓計的發(fā)明者)的信 中提出的。托里拆利最早解決了這個問題，而19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家斯坦納重新 發(fā)現(xiàn)了這個問題，并系統(tǒng)地進(jìn)行了推廣，因此這個點也稱為托里 拆利點或斯坦納點，相關(guān)的問題也被稱作費馬-托里拆利-斯坦納 問題。這一問題的解決極大推動了聯(lián)合數(shù)學(xué)的發(fā)展，在近代數(shù)學(xué)史上具有里程碑式的意義?！百M馬點”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點距離之和最 短的點。若給定一個 ABC勺話，從這個三角形的費馬點 P到三角形的 三個頂點A B C的距離之和比從其它點算起的都要小。這

3、個特殊點對于每個給定的三角形都只有一個。1 .若三角形3個內(nèi)角均小于120° ,那么3條距離連線正好三等 分費馬點所在的周角，即該點所對三角形三邊的張角相等，均為120°。所以三角形的費馬點也稱為三角形的等角中心。2 .若三角形有一內(nèi)角大于等于 120。，則此鈍角的頂點就是距離 和最小的點。在1的條件下畫圖找費馬點如圖以任意兩邊為邊向兩邊做等邊三角形 ABD和等年三角形ACE則CD,B或點P即為所求2若在120°的鈍角三角形中，其頂點即是。另外，當(dāng)剛好120° ,且三角形BCD為等邊三角形時，有個結(jié)論：AD=AB+AC我們拓展一道幾何題，第二問對很多學(xué)生

4、或者老師還是很酥爽的。2011房山一摸2009石景山/25.（本小題滿分7分）r.已知：等邊三角形ABC如圖1, P為等邊 ABC外一點，且/ BPC=120 .試猜想線段BP、PG AP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)如圖2, P為等邊 ABC內(nèi)一點，且/ APD=120 . A求證：PA+PD+P CBD我們回到正題：費馬點B<JH25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點B的坐標(biāo)為不?)、由的正半軸上，ODB 30 , OE為BOD的中線，過B、E兩點的拋物線y -2 正xQ與x軸相交于6A、F兩點(A在F的左側(cè)).圖2(1)求拋物線的解析式；區(qū)2(2)等邊 OMN的頂點M、

5、N在線段AE上，求AE及AM的長；(3)點P為 ABO內(nèi)的一個動點，設(shè)m PA PB PO ,請直接寫出m的最小值，以及m 取得最小值時，線段AP的長.2013房山一摸24. (1)如圖1, zABC和4CDE都是等邊三角形，且 B、C、D三點共線，聯(lián)結(jié)AD、BE相交于點P,求證：BE=AD .(2)如圖2,在4BCD中，/BCD<120°,分別以BC、CD和BD為邊在 BCD外 部作等邊三角形 ABC、等邊三角形CDE和等邊三角形BDF,聯(lián)結(jié)AD、BE和CF 交于點巳 下列結(jié)論中正確的是 (只填序號即可) AD=BE=CF ; /BEC=/ADC; / DPE=/EPC=/C

6、PA=60 ;(3)如圖2,在(2)的條件下，求證：PB+PC+PD=BE.29.閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個問題：如圖1,在 ABC (其中/ BAC是一個可以變化的角)中，AB=2, AC=4,以BC為邊在BC的下方作等邊 PBC求AP的最大值。小偉是這樣思考的：利用變換和等邊在劇g將A.&位置重新組合. 他的方法是以點B 為旋轉(zhuǎn)中心*T>BP連時針旋轉(zhuǎn)60°得至捶BAA，當(dāng)點A落在A,C上時,此題可 解(如B.2) .CB- C(1)請你回臺、Ap的最共是./參考小偉就建、考何題的方法，解決下歹響題/如圖3,等腰RtAABC.邊AB=4,P為4ABC內(nèi)部一點，請

7、寫出求AP+BP+CP的最 小值長的解題思路.提示:要解決AP+BP+CP的最小值問題，可仿照題目給出的做法.把NABP繞B點 逆時針旋轉(zhuǎn)60,得到A'BP.請畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形請寫出求AP+BP+CP的最小值的解題思路(結(jié)果可以不化簡).2016 一月昌平28.已知，點O是等邊 ABC內(nèi)的任一點，連接0屋OB, OC(1)如圖1,已知/AOB=150° , Z BO0120JAP-將A BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60 得 AADCB 圖3C/ DAO的度數(shù)是；用等式表示線段OA, OB, OC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；設(shè)/ AOB=%, / BOC=d當(dāng)出 (3滿足什么關(guān)系時

8、，OA+OB+OCT最小值？請在圖2中畫出符合條件的圖形，并說明理由；若等邊 ABC的邊長為1,直接寫出OA+OB+OC勺最小值.2017年一月昌平29.如圖 1,在 ABC中，/ACB=90；點 P 為 ABC內(nèi)一點.(1)連接PB, PQ將BCP沿射線CA方向平移，得到 DAE,點B, C,P的對應(yīng)點分別為點D, A, E,連接CE依題意，請在圖2中補全圖形；如果 BP± CEE, bp=3, ab=6,求 CE的長.B IBBN(2)如圖3,抽接PA, PB, PC,辰PA+PB+PC勺啟小化II RA f /小慧的作法是：以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將4ABP順時針旋轉(zhuǎn)60°

9、得到AAMN,那么就將PA+PB+PC 的值轉(zhuǎn)化為CP+PM+MN的值，連接CN,當(dāng)點P落在CN上時，此題可解.請你參考小慧的思路，在圖 3中證明PA+PbPGCF+PM+MN.并直接寫出當(dāng)AC=BC=4時，PA+PBPC的最小值.延伸一下2017年一月海淀 28.在4ABC中，AB=AC,/BAC=%>4 P是4ABC 內(nèi)一點，且 pac pca .連2接PB,試探究PA, PB, PC滿足的等量關(guān)系.(1)當(dāng)=60°時，將4ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得至kACP，連接pp ,如圖1所示.由4ABP二4ACP可以證得APP'是等邊三角形，再由PAC PCA

10、 30可得/ APC 的大小為度，進(jìn)而得到4CPP是直角三角形，這樣可以得到 PA, PB, PC滿足的等量 關(guān)系為；(2)如圖2,當(dāng)行1200時，請參考(1)中的方法，探究PA, PB, PC滿足的等量 關(guān)系，并給出證明；(3) FA, PB, PC滿足的等量關(guān)系為.2016年順義一摸28.已知：在 ABC中，/BAC=60°.(1)如圖 1,若 AB=AQ 點 P 在4ABC 內(nèi)，且/ APG150 , PA=3, PC=4, JEA APC 繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，使點C旋轉(zhuǎn)到點B處，得到 ADB,連接DP依題意補全圖1;直接寫出PB的長；(2)如圖 2,若 AB=AC,點 P在 ABC外，且 PA=3, PB=5, PC=4,求/ APC的度數(shù);(3)如圖 3,若 AB=2AQ 點 P在zABC內(nèi)，且 PA=O , PB=5, /APG120T,請直接寫出PC的長.26、如圖，四邊形ABC醫(yī)正方形， ABE是等邊三角形，M為對角線BD(不含B點)上任意一點，將 B幡點