空間幾何體的表面積與體積課件

1、空間幾何體的表面積與體積 8.2 8.2 空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積與體積要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理1.1.柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積：柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積： 面積面積 體積體積圓柱圓柱 圓錐圓錐側(cè)Srh2VShhr2側(cè)SrlVhr23122231rlr基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)Sh31空間幾何體的表面積與體積 圓臺(tái)圓臺(tái)直棱柱直棱柱正棱錐正棱錐正棱臺(tái)正棱臺(tái) 球球側(cè)Slrr)(21hSSSSV)(31下上下上hrrrr)(31212221側(cè)SChVSh側(cè)ShC 21VSh31側(cè)ShCC)(21hSSSSV)(31下上下上球面S24RV334R空間幾何體的表面積與體積2.2

2、.幾何體的表面積幾何體的表面積 （1 1）棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是）棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是 . . （2 2）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖分別是）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖分別是 、 、 ；它們的表面積等于；它們的表面積等于 . .各面面積各面面積之和之和矩矩形形扇形扇形扇環(huán)形扇環(huán)形側(cè)面積側(cè)面積與底面面積之和與底面面積之和空間幾何體的表面積與體積基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)1.1.母線長為母線長為1 1的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等 于于 , ,則該圓錐的體積為（則該圓錐的體積為（ ） A. B. C. D.A. B. C. D. 解析解析 設(shè)圓錐的底面半徑為設(shè)圓錐的

3、底面半徑為r r，則，則34812281881548110,32,3412rr.35)32(12h圓錐的高.8154312hrV圓錐的體積C空間幾何體的表面積與體積2.2.（20082008湖北）湖北）用與球心距離為用與球心距離為1 1的平面去截的平面去截 球，所得的截面面積為球，所得的截面面積為，則球的體積為，則球的體積為( )( ) A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析 截面面積為截面面積為，則該小圓的半徑為，則該小圓的半徑為1 1， 設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為R R，則，則R R2 2=1=12 2+1+12 2=2=2，R R= = ，38328283322.3283

4、43RVB空間幾何體的表面積與體積3.3.（20092009陜西文，陜西文，1111）若正方體的棱長為若正方體的棱長為 ，則，則 以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的 體積為體積為( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 由題意可知，此幾何體是由同底面的兩由題意可知，此幾何體是由同底面的兩 個(gè)正四棱錐組成的，底面正方形的邊長為個(gè)正四棱錐組成的，底面正方形的邊長為1 1，每，每 一個(gè)正四棱錐的高為一個(gè)正四棱錐的高為 ，所以，所以6232333222.322213122VB2空間幾何體的表面積與體積4.4.（20092009

5、海南理，海南理，1111）一個(gè)棱錐的三視圖如一個(gè)棱錐的三視圖如 下圖，則該棱錐的全面積下圖，則該棱錐的全面積( (單位單位:cm:cm2 2) )為為( )( ) A. B. A. B. C. D. C. D.21248212362243622448空間幾何體的表面積與體積解析解析 該幾何體是一個(gè)底面為直角三角形的三該幾何體是一個(gè)底面為直角三角形的三棱錐，如圖，棱錐，如圖，SESE=5=5，SDSD=4=4，ACAC= = ，ABAB= =BCBC=6=6，S S全全= =S SABCABC+2+2S SSABSAB+ +S SASCASC答案答案 A A. 21248426216521266

6、2126空間幾何體的表面積與體積5.5.（20082008山東理，山東理，6 6）如圖是一個(gè)幾何體的三視如圖是一個(gè)幾何體的三視 圖圖, ,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)根據(jù)圖中數(shù)據(jù), ,可得該幾何體的表面積是可得該幾何體的表面積是 ( )( ) A.9 B.10 C.11 D.12 A.9 B.10 C.11 D.12 解析解析 幾何體為一個(gè)球與一個(gè)圓柱的組合體幾何體為一個(gè)球與一個(gè)圓柱的組合體, , S=41 S=412 2+1+12 22+213=12.2+213=12.D空間幾何體的表面積與體積題型一題型一 幾何體的展開與折疊幾何體的展開與折疊 有一根長為有一根長為3 cm3 cm，底面半徑為，底面半徑為1

7、 cm1 cm的的 圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2 2圈，并圈，并 使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端, , 則鐵絲的最短長度為多少？則鐵絲的最短長度為多少？ 把圓柱沿這條母線展開，將問題轉(zhuǎn)把圓柱沿這條母線展開，將問題轉(zhuǎn) 化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離. .題型分類題型分類 深度剖析深度剖析空間幾何體的表面積與體積解解 把圓柱側(cè)面及纏繞其上把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到的鐵絲展開，在平面上得到矩形矩形ABCDABCD（如圖所示），（如圖所示），由題意知由題意知BCBC=3

8、cm=3 cm，ABAB=4 cm=4 cm，點(diǎn)，點(diǎn)A A與點(diǎn)與點(diǎn)C C分別是鐵絲的起、止位分別是鐵絲的起、止位置，故線段置，故線段ACAC的長度即為鐵絲的最短長度的長度即為鐵絲的最短長度. .故鐵絲的最短長度為故鐵絲的最短長度為5 cm.5 cm.cm,522BCABAC空間幾何體的表面積與體積 求立體圖形表面上兩點(diǎn)的最短距離求立體圖形表面上兩點(diǎn)的最短距離問題，是立體幾何中的一個(gè)重要題型問題，是立體幾何中的一個(gè)重要題型. .這類題目的這類題目的特點(diǎn)是：立體圖形的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系分散在立體特點(diǎn)是：立體圖形的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系分散在立體圖形的幾個(gè)平面上或旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面上圖形的幾個(gè)平面上或旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面上.

9、 .為了便于發(fā)為了便于發(fā)現(xiàn)它們圖形間性質(zhì)與數(shù)量上的相互關(guān)系，必須將現(xiàn)它們圖形間性質(zhì)與數(shù)量上的相互關(guān)系，必須將圖中的某些平面旋轉(zhuǎn)到同一平面上，或者將曲面圖中的某些平面旋轉(zhuǎn)到同一平面上，或者將曲面展開為平面，使問題得到解決展開為平面，使問題得到解決. .其基本步驟是：展其基本步驟是：展開（有時(shí)全部展開，有時(shí)部分展開）為平面圖形，開（有時(shí)全部展開，有時(shí)部分展開）為平面圖形，找出表示最短距離的線段，再計(jì)算此線段的長找出表示最短距離的線段，再計(jì)算此線段的長. . 空間幾何體的表面積與體積知能遷移知能遷移1 1 如圖所示，長方體如圖所示，長方體 ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D

10、 D1 1中，中，ABAB= =a a， BCBC= =b b，BBBB1 1= =c c，并且，并且a a b b c c0.0. 求沿著長方體的表面自求沿著長方體的表面自A A到到C C1 1的最短線路的長的最短線路的長. . 本題可將長方體表面展開，利用平面本題可將長方體表面展開，利用平面 內(nèi)兩點(diǎn)間的線段長是兩點(diǎn)間的最短距離來解答內(nèi)兩點(diǎn)間的線段長是兩點(diǎn)間的最短距離來解答. . 解解 將長方體相鄰兩個(gè)面展開有下列三種可將長方體相鄰兩個(gè)面展開有下列三種可 能，如圖所示能，如圖所示. .空間幾何體的表面積與體積三個(gè)圖形甲、乙、丙中三個(gè)圖形甲、乙、丙中ACAC1 1的長分別為的長分別為.2. 0

11、, 0,2)(,2)(,2)(222222222222222222bccbabcacabcbaaccbabcabccbacbaabcbacba故最短線路的長為空間幾何體的表面積與體積題型二題型二 旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積 如圖所示如圖所示, ,半徑為半徑為R R的半圓內(nèi)的的半圓內(nèi)的 陰影部分以直徑陰影部分以直徑ABAB所在直線為軸所在直線為軸, ,旋旋 轉(zhuǎn)一周得到一幾何體轉(zhuǎn)一周得到一幾何體, ,求該幾何體的求該幾何體的 表面積表面積( (其中其中BACBAC=30=30) )及其體積及其體積. . 先分析陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成幾何體的先分析陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成幾何體的 形狀形狀,

12、 ,再求表面積再求表面積. .空間幾何體的表面積與體積解解 如圖所示如圖所示, ,過過C C作作COCO1 1ABAB于于O O1 1, ,在半圓中可得在半圓中可得BCABCA=90=90,BACBAC=30=30, ,ABAB=2=2R R, ,ACAC= = , ,BCBC= =R R, ,S S球球=4=4R R2 2, ,R3,231RCO ,231123234,2323,233232222112121RRRRSSSSRRRSRRRSBOAOBOAO側(cè)圓錐側(cè)圓錐球幾何體表側(cè)圓錐側(cè)圓錐.23112R表面積為旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的空間幾何體的表面積與體積 解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所解決

13、這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所形成的圖形的形狀，再將圖形進(jìn)行合理的分割，形成的圖形的形狀，再將圖形進(jìn)行合理的分割，然后利用有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算然后利用有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算. . .652134)(41314131,34333111221111221113RRRVVVVBORCOBOVAORCOAOVRVBOAOBOAO圓錐圓錐球幾何體圓錐圓錐球又空間幾何體的表面積與體積知能遷移知能遷移2 2 已知球的半徑為已知球的半徑為R R，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi)，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi) 接圓柱，這個(gè)圓柱底面半徑與高為何值時(shí)，它接圓柱，這個(gè)圓柱底面半徑與高為何值時(shí)，它 的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值

14、是多少？ 解解 如圖為軸截面如圖為軸截面. . 設(shè)圓柱的高為設(shè)圓柱的高為h h，底面半徑為，底面半徑為r r， 側(cè)面積為側(cè)面積為S S，則，則,)2(222Rrh.2414,2,22,21.41)21(4)(442.2242242222222222RRRhRrRrRRrrRrrRrrhSrRh最大值是最大圓柱側(cè)面積時(shí)即當(dāng)且僅當(dāng)即空間幾何體的表面積與體積題型三題型三 多面體的表面積及其體積多面體的表面積及其體積 一個(gè)正三棱錐的底面邊長為一個(gè)正三棱錐的底面邊長為6 6，側(cè)棱長，側(cè)棱長 為為 ，求這個(gè)三棱錐的體積，求這個(gè)三棱錐的體積. . 本題為求棱錐的體積問題本題為求棱錐的體積問題. .已知底面已

15、知底面 邊長和側(cè)棱長，可先求出三棱錐的底面面積邊長和側(cè)棱長，可先求出三棱錐的底面面積 和高，再根據(jù)體積公式求出其體積和高，再根據(jù)體積公式求出其體積. . 解解 如圖所示，如圖所示， 正三棱錐正三棱錐S SABCABC. . 設(shè)設(shè)H H為正為正ABCABC的中心，的中心， 連接連接SHSH， 則則SHSH的長即為該正三棱錐的高的長即為該正三棱錐的高. .15空間幾何體的表面積與體積連接連接AHAH并延長交并延長交BCBC于于E E，則則E E為為BCBC的中點(diǎn)，且的中點(diǎn)，且AHAHBCBC. .ABCABC是邊長為是邊長為6 6的正三角形，的正三角形，, 33623AE. 93393131312

16、153215,Rt. 393362121,. 323222SHSV，AHSASH，AHSASHAAEBCSABCAEAHABCABC正三棱錐中在中在空間幾何體的表面積與體積 求錐體的體積，要選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧颓箦F體的體積，要選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧透?，然后?yīng)用公式高，然后應(yīng)用公式 進(jìn)行計(jì)算即可進(jìn)行計(jì)算即可. .常用方常用方法：割補(bǔ)法和等積變換法法：割補(bǔ)法和等積變換法. .（1 1）割補(bǔ)法：求一個(gè)幾何體的體積可以將這個(gè)幾）割補(bǔ)法：求一個(gè)幾何體的體積可以將這個(gè)幾何體分割成幾個(gè)柱體、錐體，分別求出錐體和柱何體分割成幾個(gè)柱體、錐體，分別求出錐體和柱體的體積，從而得出幾何體的體積體的體積，從而得出幾何體的體積.

17、.（2 2）等積變換法：利用三棱錐的任一個(gè)面可作為）等積變換法：利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面三棱錐的底面. .求體積時(shí)，可選擇容易計(jì)算的方求體積時(shí)，可選擇容易計(jì)算的方式來計(jì)算；式來計(jì)算；利用利用“等積性等積性”可求可求“點(diǎn)到面的點(diǎn)到面的距離距離”. .ShV31空間幾何體的表面積與體積知能遷移知能遷移3 3 如圖，在多面體如圖，在多面體ABCDEFABCDEF 中，已知中，已知ABCDABCD是邊長為是邊長為1 1的正方形，的正方形， 且且ADEADE、BCFBCF均為正三角形，均為正三角形， EFEFABAB，EFEF=2=2，則該多面體的體積為，則該多面體的體積為( )( ) A

18、. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析 本題中的多面體是一個(gè)不規(guī)則的幾何體本題中的多面體是一個(gè)不規(guī)則的幾何體, , 因此可考慮對(duì)其進(jìn)行分割或補(bǔ)形因此可考慮對(duì)其進(jìn)行分割或補(bǔ)形. .32333423空間幾何體的表面積與體積如圖所示，分別過如圖所示，分別過A A、B B作作EFEF的垂線，的垂線，垂足分別為垂足分別為G G、H H，連接，連接DGDG、CHCH, ,容易求得容易求得GDAGHFEG,21,23 HCBH.32142214231214231,4212221BCHADGBHCFADGEBHCAGDVVVVSS答案答案 A空間幾何體的表面積與體積題型四題型四 組合體的表面積

19、及其體積組合體的表面積及其體積 (12(12分分) )如圖所示如圖所示, ,在等腰梯形在等腰梯形ABCDABCD中中, , ABAB=2=2DCDC=2=2，DABDAB=60=60，E E為為ABAB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， 將將ADEADE與與BECBEC分別沿分別沿EDED、ECEC向上折起，向上折起， 使使A A、B B重合重合, ,求形成的三棱錐的外接球的體積求形成的三棱錐的外接球的體積. . 易知折疊成的幾何體是棱長為易知折疊成的幾何體是棱長為1 1的正的正 四面體，要求外接球的體積只要求出外接球的四面體，要求外接球的體積只要求出外接球的 半徑即可半徑即可. . 解解 由已知條件知，平面圖

20、形中由已知條件知，平面圖形中 AEAE= =EBEB= =BCBC= =CDCD= =DADA= =DEDE= =ECEC=1.=1. 折疊后得到一個(gè)正四面體折疊后得到一個(gè)正四面體. 2. 2分分 空間幾何體的表面積與體積方法一方法一 作作AFAF平面平面DECDEC，垂足為，垂足為F F，F(xiàn) F即為即為DECDEC的中心的中心. .取取ECEC的中點(diǎn)的中點(diǎn)G G，連接，連接DGDG、AGAG，過球心過球心O O作作OHOH平面平面AECAEC. .則垂足則垂足H H為為AECAEC的中心的中心. 4. 4分分外接球半徑可利用外接球半徑可利用OHAOHAGFAGFA求得求得. .在在AFGAF

21、G和和AHOAHO中，根據(jù)三角形相似可知，中，根據(jù)三角形相似可知，,36)33(1,232AFAG.864663434.46363323.3333OAAFAHAGOAAH外接球體積為6 6分分1010分分1212分分空間幾何體的表面積與體積方法二方法二 如圖所示，把正四面體放在正如圖所示，把正四面體放在正方體中方體中. .顯然，正四面體的外接球就顯然，正四面體的外接球就是正方體的外接球是正方體的外接球. 3. 3分分正四面體的棱長為正四面體的棱長為1 1，正方體的棱長為正方體的棱長為 ， 6 6分分22.86.86)46(34,46,22323為該三棱錐外接球的體積體積為外接球直徑RR9 9分

22、分1212分分空間幾何體的表面積與體積 （1 1）折疊問題是高考經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容）折疊問題是高考經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容之一，解決這類問題的關(guān)鍵是搞清楚處在折線同之一，解決這類問題的關(guān)鍵是搞清楚處在折線同一個(gè)半平面的量是不變的，然后根據(jù)翻折前后圖一個(gè)半平面的量是不變的，然后根據(jù)翻折前后圖形及數(shù)量的關(guān)系的變化，借助立體幾何與平面幾形及數(shù)量的關(guān)系的變化，借助立體幾何與平面幾何知識(shí)即可求解何知識(shí)即可求解. .（2 2）與球有關(guān)的組合體，是近幾年高考?？嫉模┡c球有關(guān)的組合體，是近幾年高考常考的題目，主要考查空間想象能力及截面圖的應(yīng)用，題目，主要考查空間想象能力及截面圖的應(yīng)用，因此畫出組合體的截面圖是解決這類題的關(guān)

23、鍵因此畫出組合體的截面圖是解決這類題的關(guān)鍵. .空間幾何體的表面積與體積知能遷移知能遷移4 4 （20092009全國全國理，理，1515）直三棱直三棱 柱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1的各頂點(diǎn)都在同一球面上的各頂點(diǎn)都在同一球面上. . 若若ABAB= =ACAC= =AAAA1 1=2=2，BACBAC=120=120，則此球的，則此球的 表面積等于表面積等于 . . 解析解析 在在ABCABC中中, ,由余弦定理知由余弦定理知BCBC2 2= =ABAB2 2+ +ACAC2 2 -2 -2ABABACACcos 120cos 120=4+4-2=4+4-22 22 2

24、 由正弦定理知由正弦定理知ABCABC的外接圓半徑的外接圓半徑r r滿足滿足 r r=2,=2,由題意知球心到平面由題意知球心到平面ABCABC的距離為的距離為1 1， 設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為R R，則，則 S S球球=4=4R R2 2=20.=20.,12)21(. 32BC,2120sin32r, 5122R2020空間幾何體的表面積與體積方法與技巧方法與技巧1.1.對(duì)于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱對(duì)于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱 錐、棱臺(tái)與球的表面積的問題，要結(jié)合它們的錐、棱臺(tái)與球的表面積的問題，要結(jié)合它們的 結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識(shí)來解決結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識(shí)來解決. .

25、2.2.要注意將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題要注意將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. .3.3.當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計(jì)算公式無當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計(jì)算公式無 法運(yùn)用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中法運(yùn)用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中 的已知元素彼此離散時(shí)的已知元素彼此離散時(shí), ,我們可采用我們可采用“割割”、 “ “補(bǔ)補(bǔ)”的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡單幾何體的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡單幾何體 （柱、錐、臺(tái)），或化離散為集中，給解題提供（柱、錐、臺(tái)），或化離散為集中，給解題提供 便利便利. .思想方法思想方法 感悟提高感悟提高空間幾何體的表面積與體積（1 1）幾何體的）幾何體的“分割分割”

26、幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求求, ,分割成若干個(gè)易求體積的幾何體分割成若干個(gè)易求體積的幾何體, ,進(jìn)而求之進(jìn)而求之. .(2)(2)幾何體的幾何體的“補(bǔ)形補(bǔ)形”與分割一樣，有時(shí)為了計(jì)算方便，可將幾何體補(bǔ)與分割一樣，有時(shí)為了計(jì)算方便，可將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體，如長方體、正方體等成易求體積的幾何體，如長方體、正方體等. .另外另外補(bǔ)臺(tái)成錐是常見的解決臺(tái)體側(cè)面積與體積的方法補(bǔ)臺(tái)成錐是常見的解決臺(tái)體側(cè)面積與體積的方法, ,由臺(tái)體的定義，我們?cè)谟行┣闆r下，可以將臺(tái)體由臺(tái)體的定義，我們?cè)谟行┣闆r下，可以將臺(tái)體補(bǔ)成錐體研究體積補(bǔ)成錐體研究體積. .

27、（3 3）有關(guān)柱、錐、臺(tái)、球的面積和體積的計(jì)算，）有關(guān)柱、錐、臺(tái)、球的面積和體積的計(jì)算，應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素. .空間幾何體的表面積與體積失誤與防范失誤與防范1.1.將幾何體展開為平面圖形時(shí)將幾何體展開為平面圖形時(shí), ,要注意在何處剪要注意在何處剪 開，多面體要選擇一條棱剪開，旋轉(zhuǎn)體要沿一開，多面體要選擇一條棱剪開，旋轉(zhuǎn)體要沿一 條母線剪開條母線剪開. .2.2.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是 外接外接. .解題時(shí)要認(rèn)真分析圖

28、形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn) 的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出 合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正 方體各個(gè)面的中心方體各個(gè)面的中心, ,正方體的棱長等于球的直正方體的棱長等于球的直 徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面 上，正方體的體對(duì)角線長等于球的直徑上，正方體的體對(duì)角線長等于球的直徑. .球與球與 旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面進(jìn)行解題旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面進(jìn)行解題, , 球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球

29、與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和 球心，或球心，或“切點(diǎn)切點(diǎn)”、“接點(diǎn)接點(diǎn)”作出截面圖作出截面圖. .空間幾何體的表面積與體積一、選擇題一、選擇題1.1.如圖所示，一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、如圖所示，一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、 俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角 形的直角邊長為形的直角邊長為1 1，那么這個(gè)幾何體的體積為，那么這個(gè)幾何體的體積為( )( ) 定時(shí)檢測(cè)定時(shí)檢測(cè)空間幾何體的表面積與體積解析解析 由三視圖知該幾何體為三由三視圖知該幾何體為三棱錐，記為棱錐，記為S SABCABC，其中，其中ASAS= =ABAB= =

30、ACAC=1=1且兩兩互相垂直，且兩兩互相垂直，61.D31.C21.B1 .A.612131SAACABV答案答案 D空間幾何體的表面積與體積2.2.一個(gè)正方體的體積是一個(gè)正方體的體積是8 8，則這個(gè)正方體的內(nèi)切球的，則這個(gè)正方體的內(nèi)切球的 表面積是表面積是 ( )( ) A.8 B.6 A.8 B.6 C.4 D. C.4 D. 解析解析 設(shè)正方體的棱長為設(shè)正方體的棱長為a a, ,則則a a3 3=8,=8,a a=2.=2.而此而此 正方體的內(nèi)切球直徑為正方體的內(nèi)切球直徑為2,2,S S表表=4=4r r2 2=4.=4.C空間幾何體的表面積與體積3.3.已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正

31、四棱錐高為已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱錐高為3 3， 體積為體積為6 6，則這個(gè)球的表面積是，則這個(gè)球的表面積是 ( )( ) A.16 B.20 A.16 B.20 C.24 D.32 C.24 D.32 解析解析 設(shè)正四棱錐高為設(shè)正四棱錐高為h h，底面邊長為，底面邊長為a a， 可利用三角形相可利用三角形相 似計(jì)算出球的半徑似計(jì)算出球的半徑r r=2=2，S S球球=4=4r r2 2=16.=16., 6, 63122aahaV由A空間幾何體的表面積與體積4.4.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的體如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的體 積是積是 ( )( ) A.27

32、 B.30 A.27 B.30 C.33 D.36 C.33 D.36空間幾何體的表面積與體積解析解析 由三視圖知該幾何體為組合體，由一個(gè)正由三視圖知該幾何體為組合體，由一個(gè)正四棱錐與一個(gè)正方體疊加構(gòu)成，其中正方體的棱四棱錐與一個(gè)正方體疊加構(gòu)成，其中正方體的棱長為長為3 3，正四棱錐高為，正四棱錐高為1 1，底面正方形邊長為，底面正方形邊長為3,3,V V= =V V柱柱+ +V V錐錐= =答案答案 B B.30193133空間幾何體的表面積與體積5.5.已知一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面已知一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面 相切，若這個(gè)球的體積是相切，若這個(gè)球的體積是 則

33、這個(gè)三棱柱的體則這個(gè)三棱柱的體 積是積是( )( ) A. B. A. B. C. C. D. D. 解析解析 由由 得得R R=2.=2.正三棱柱的高正三棱柱的高 h h=4.=4. 設(shè)其底面邊長為設(shè)其底面邊長為a a，則，則,332396324316348,332343R. 34, 22331aaD. 3484)34(432V空間幾何體的表面積與體積6.6.某師傅需用合板制作一個(gè)工作臺(tái)，某師傅需用合板制作一個(gè)工作臺(tái)， 工作臺(tái)由主體和附屬兩部分組成，工作臺(tái)由主體和附屬兩部分組成， 主體部分全封閉，附屬部分是主體部分全封閉，附屬部分是 為了防止工件滑出臺(tái)面而設(shè)置的為了防止工件滑出臺(tái)面而設(shè)置的

34、護(hù)墻，其大致形狀的三視圖如圖護(hù)墻，其大致形狀的三視圖如圖 所示（長度單位：所示（長度單位：cmcm），則按圖中尺寸，做成的），則按圖中尺寸，做成的 工作臺(tái)用去的合板的面積為（制作過程合板損耗工作臺(tái)用去的合板的面積為（制作過程合板損耗 和合板厚度忽略不計(jì)）和合板厚度忽略不計(jì)）( )( ) A.40 000 cm A.40 000 cm2 2 B.40 800 cmB.40 800 cm2 2 C.1 600(22+ ) cm C.1 600(22+ ) cm2 2 D.41 600 cmD.41 600 cm2 217空間幾何體的表面積與體積解析解析 由三視圖知該工作臺(tái)是棱長為由三視圖知該工作臺(tái)

35、是棱長為80 cm80 cm的正方的正方體上面圍上一塊矩形和兩塊直角三角形的合板，體上面圍上一塊矩形和兩塊直角三角形的合板，如圖所示，則用去的合板的面積如圖所示，則用去的合板的面積S S=6=680802 2+80+8020202=41 600 cm2=41 600 cm2 2. .答案答案 D D空間幾何體的表面積與體積二、填空題二、填空題7.7.（20092009遼寧理，遼寧理，1515）設(shè)某幾何體的三視圖如設(shè)某幾何體的三視圖如 下（尺寸的長度單位：下（尺寸的長度單位：m m）. . 則該幾何體的體積為則該幾何體的體積為 m m3 3. .空間幾何體的表面積與體積解析解析 由三視圖可知，該

36、幾何體為三棱錐由三視圖可知，該幾何體為三棱錐（如圖），（如圖），ACAC=4=4，SOSO=2=2，BDBD=3,=3,答案答案 4 4. 42342131ABCSV空間幾何體的表面積與體積8.8.正方體正方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長為的棱長為2 2 ，則四面體，則四面體 A AB B1 1CDCD1 1的外接球的體積為的外接球的體積為 . . 解析解析 四面體四面體A AB B1 1CDCD1 1的外接球即為正方體的外的外接球即為正方體的外 接球，所以接球，所以3.)32(322r.36273434, 33rVr球3636空間幾何體的表面積與體積

37、9.9.如圖所示，已知一個(gè)多面體的平面如圖所示，已知一個(gè)多面體的平面 展開圖由一個(gè)邊長為展開圖由一個(gè)邊長為1 1的正方形和的正方形和4 4 個(gè)邊長為個(gè)邊長為1 1的正三角形組成，則該多的正三角形組成，則該多 面體的體積是面體的體積是 . . 解析解析 由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長 為為1 1，側(cè)棱長為，側(cè)棱長為1 1，斜高為，斜高為 ，連結(jié)頂點(diǎn)和底面，連結(jié)頂點(diǎn)和底面 中心即為高，可求高為中心即為高，可求高為 ，所以體積，所以體積 23221131V.622262空間幾何體的表面積與體積三、解答題三、解答題10.10.直三棱柱高為直三棱柱高為6 cm6 c

38、m，底面三角形的邊長分別為，底面三角形的邊長分別為 3 cm,4 cm3 cm,4 cm，5 cm5 cm，將棱柱削成圓柱，求削去部，將棱柱削成圓柱，求削去部 分體積的最小值分體積的最小值. . 解解 如圖所示，只有當(dāng)圓柱的底面圓如圖所示，只有當(dāng)圓柱的底面圓 為直三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓時(shí)，為直三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓時(shí)， 圓柱的體積最大，削去部分體積才能圓柱的體積最大，削去部分體積才能 最小，設(shè)此時(shí)圓柱的底面半徑為最小，設(shè)此時(shí)圓柱的底面半徑為R R， 圓柱的高即為直三棱柱的高圓柱的高即為直三棱柱的高. .空間幾何體的表面積與體積在在ABCABC中，中，ABAB=3=3，BCBC=4=4，ACAC=5=5，ABCABC為直角三角形為直角三角形. .根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得7-27-2R R=5=5，R R=1.=1.V V圓柱圓柱=R R2 2h h=6.=6.而三棱柱的體積為而三棱柱的體積為削去部分體積為削去部分體積為36-6=636-6=6（6-6-） （cmcm