2020屆陜西省渭南市高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、2020屆陜西省渭南市高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)(理)試題一、單選題1 .設(shè)集合 A 1,2,3 , BXx2 2x m 0 ,若 A B 3,則 b ()A.1,3B,2,3C.1, 2,3 D. 3【答案】A【解析】依題意可知3是集合B的元素，即32 2 3 m 0 ,解得m 3,由x2 2x 3 0，解得 x 1,3.2 .復(fù)數(shù)z滿足z 1 z 1 i (i為虛數(shù)單位，則z的值是()A. 1 iB. 1 iC. iD. i【答案】C【解析】 直接利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則化簡求解即可.【詳解】.21 i 1 i由z 1 z 1 i得：z i1 i 1 i 1 i本題正確選項(xiàng)：C【點(diǎn)睛】本題

2、考查復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.3.設(shè)函數(shù) f(x)(x R)滿足 f( x) f(x),f(x 2) f(x),則 y f(x)的圖像可能是A .B.C.D.,UDOV4/-2 X W 2 "【答案】B【解析】 根據(jù)題意，確定函數(shù) y f(x)的性質(zhì)，再判斷哪一個(gè)圖像具有這些性質(zhì).由f( x) “刈得丫 f(x)是偶函數(shù)，所以函數(shù) y f (x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可知B,D符合；由f(x 2) f(xMHy f (x)是周期為2的周期函數(shù)，選項(xiàng) D的圖像的最小正周期是 4,不符合，選項(xiàng) B的圖像的最小正周期是 2,符合，故選B.-,，則 sin 2-14 .已知CO

3、S 一 3D.12第3頁共19頁【解析】利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡求解即可.【詳解】Q cos：12 2Sin .1 cos .1 .932'2Sinsin 3本題正確選項(xiàng)：B【點(diǎn)睛】 本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.0.25 .設(shè) a 1 ,b log23,c 2 0.3,則() 2A.bcaB.abcC.bacD. a c b【答案】C【解析】由題意利用所給的數(shù)所在的區(qū)間和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可由題意可得：a0.210,1 , b 10g23 1 , c 220.310,10.3x0.21、，一 1指數(shù)函數(shù)y 1單調(diào)遞減，故

4、122綜上可得：b a c.故選：C.【點(diǎn)睛】對(duì)于指數(shù)哥的大小的比較，我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時(shí)候，因哥的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.這就必須掌握一些特殊方法.在進(jìn)行指數(shù)哥的大小比較時(shí)，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)哥的大小的比較,利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確.uuv6.在 ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM 1,點(diǎn)P在AM上且滿足 APuuuv 口"2PM，則uuv uuv uuv 八PA (PB PC)等于()4A .一9【答案】4B. 一9D.由M是BC的中點(diǎn)，知 AM是

5、BC邊上的中線，又由點(diǎn) P在AM上且滿足uurAP2PMu可得：P是三角形ABC的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)，即可求解.解：.”是BC的中點(diǎn)，知 AM是BC邊上的中線,又由點(diǎn)P在AM上且滿足APuuuu2PMP是三角形ABC的重心uuu uur uur PA PB PCuur uuuuuur 2PA AP| PA|又AM = 1uuur2 I PA I 23 uurr uur uur PA PB PC故選B.【點(diǎn)睛】判斷P點(diǎn)是否是三角形的重心有如下幾種辦法：定義：三條中線的交點(diǎn). 性質(zhì)：PA PB PC 0或AP2 Bp2 up2取得最小值坐標(biāo)法：P點(diǎn)坐標(biāo)是三個(gè)頂點(diǎn)坐 標(biāo)的平均數(shù).7 .設(shè)某大學(xué)的女

6、生體重 y （單位：kg）與身高x （單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（Xi,yi）（i=i,2,，n）,用最小二乘法建立的回歸方程為？=0.85x-85.71 ,則下列結(jié)論中不正確的是A . y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系8 .回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（ X, y ）C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加 0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重比為58.79kg【答案】D【解析】 根據(jù)y與x的線性回歸方程為 y=0.85x -85.71 ,則飛=0.85>0, y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（x,y ）, B正確；該

7、大學(xué)某女生身高增加1cm,預(yù)測其體重約增加 0.85kg, C正確；該大學(xué)某女生身高為170cm,預(yù)測其體重約為 0.85 >170- 85.71=58.79kg , D錯(cuò)誤.故選D.2n08.費(fèi)馬素?cái)?shù)是法國大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的，形如21 n N 的素?cái)?shù)（如：221 3）為費(fèi)馬索數(shù)，在不超過30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù)，則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是（）2A . 一15【答案】BB.C.415D.【解析】 基本事件總數(shù)n15,能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和只有8 3 5,20 317, 22 517 ,共有3個(gè)，根據(jù)古典概型求出概率.第16頁共19頁在不超過30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù)

8、，基本事件總數(shù)n 15能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的只有8 3 5, 20 3 17, 225 17,共有3個(gè)則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是本題正確選項(xiàng)：B315本題考查概率的求法，考查列舉法解決古典概型問題，是基礎(chǔ)題.9.已知函數(shù)f (x) sin x x R, 0的最小正周期為，為了得到函數(shù)4g x cos x的圖象，只要將y f x的圖象()A.向左平移一個(gè)單位長度8C.向左平移一個(gè)單位長度B.向右平移 一個(gè)單位長度8D.向右平移個(gè)單位長度4【答案】A【解析】【詳解】由f (x)的最小正周期是，得 2 ,即 f (x) sin(2x -)cos 一 22x 4cos 2x 4c

9、os2(x ), 8因此它的圖象向左平移 一個(gè)單位可得到g(x) cos2x的圖象.故選 A.8【考點(diǎn)】函數(shù)f(x) Asin( x)的圖象與性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)圖象變換方法：10.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(A. 243B.43【解析】由三視圖可知幾何體為直三棱柱，直觀圖如圖所示:其中，底面為直角三角形,AD2,DAE J3 ,高為 AB2. 1.該幾何體白體積為 V 12故選A.211.拋物線y4x的焦點(diǎn)為PFF,點(diǎn)P(x, y)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A( 1,0),則PA的最小值為(D.巫3 y PF 工【解析】通過拋物線的定義，轉(zhuǎn)化 PF PN ,要使有最小值

10、，只需 APN最大|PA|即可，作出切線方程即可求出比值的最小值.【詳解】解：由題意可知，拋物線y2 4x的準(zhǔn)線方程為x 1, A( 1,0),過P作PN垂直直線MN,由拋物線的定義可知PF | PF |PN ,連結(jié)PA ,當(dāng)PA是拋物線的切線時(shí)，J1有最小值,|PA|則 APN最大，即PAF最大，就是直線PA的斜率最大,設(shè)在PA的方程為:y k(x 1),所以y k(x 1)2/，y 4x解得:2 22k x (2k4)x k2 0,所以_ 22(2 k 4)一 44k 0 ,解得k1,所以NPA 45 ,|PF|PA|cos NPA【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的基本性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系,

11、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.,PA 平面ABC, ABC是邊PC與平面PAB所成角的正12 .已知三棱錐P ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球 。的球面上 長為2 J3的等邊三角形，若王。的表面積為20 ，則直線切值為（）A. 3B.無C. 3"D.叵4374【答案】C【解析】 設(shè)D為AB中點(diǎn)，先證明CD 平面PAB ,得出 CPD為所求角，利用勾股定理計(jì)算PA,PD,CD，得出結(jié)論.【詳解】設(shè)D,E分別是AB, BC的中點(diǎn)AEI CD FQ PA 平面ABCPA CDQ ABC是等邊三角形CD AB又 PAI AB ACD A平面PABCPD為PC與平面PAB所成的角Q ABC是邊長為2 J3

12、的等邊三角形- 2CD AE 3, AF -AE 2且F為 ABC所在截面圓的圓心 3Q球O的表面積為20球O的半徑oa 75OF ,OA2 AF2 1Q PA平面ABCPA 2OF 2PD , PA2 AD2.7tan CPDCDPD33、77 V本題正確選項(xiàng)：C本題考查了棱錐與外接球的位置關(guān)系問題，關(guān)鍵是能夠通過垂直關(guān)系得到直線與平面所 求角，再利用球心位置來求解出線段長，屬于中檔題.、填空題213.已知雙曲線x2 41(b 0)的一條漸近線為 y 2x,則焦點(diǎn)到這條漸近線的距離 b2為.【答案】2.2【解析】由雙曲線x2 I 1(b 0)的一條漸近線為y 2x ,解得b .求出雙曲線的

13、b2右焦點(diǎn)c,0 ,利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】y2- bQ雙曲線x231(b 0)的一條漸近線為y 2x - 2解得：b 2 c .7V ,5雙曲線的右焦點(diǎn)為5,0焦點(diǎn)到這條漸近線的距離為:本題正確結(jié)果：2【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線和的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，涉及到點(diǎn)到直線距離公式的考查，屬于基礎(chǔ)題.14 .函數(shù)y axex的圖象在x 0處的切線與直線 yx互相垂直，則a 【答案】1.【解析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合直線垂直的直線斜率的關(guān)系建立方程 關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】Q函數(shù)y axex的圖象在x 0處的切線與直線 y x垂直，函數(shù)y axex的圖象在x 0的切線斜率k

14、 1Q f x aex axexf 0 a 1本題正確結(jié)果：1【點(diǎn)睛】根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題本題主要考查直線垂直的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，的關(guān)鍵.15 . ABC內(nèi)角A, B , C的對(duì)邊分別為a , b, c,若2ccosB 2a b,則C .【答案】12022.2【解析】2ccosB 2a b,，2c a-c 2a b,即 a2 b2 c2ab ,2ac cosC2ab316 .已知定義在 R上的函數(shù)f x的圖象關(guān)于點(diǎn)1,1對(duì)稱，g x x 11 ,若函數(shù)f x圖象與函數(shù)g x圖象的交點(diǎn)為(X, y1)，(x2, y), ( x2019 , y2019 )，則2019xiyji 1

15、【答案】4038.【解析】由函數(shù)圖象的對(duì)稱性得：函數(shù)f x圖象與函數(shù)g x圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)1,1對(duì)稱，則 x1x2019x2*2018x3*20172x10102 ,y1y2019y2y2018y3y201720192y10102,即xi yj 4038,得解.i 1【詳解】,3由 gx x 11 知：gx g 2 x 2得函數(shù)y g x的圖象關(guān)于點(diǎn)1,1對(duì)稱又函數(shù)f x的圖象關(guān)于點(diǎn)1,1對(duì)稱則函數(shù)f x圖象與函數(shù)g x圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn) 1,1對(duì)稱x2019x2x2018x3x20172x1010y1y2019y2y2018y3y20172 y10102x2018x20192019, y1 y

16、2y2018y201920192019即xi yj 4038i 1本題正確結(jié)果：4038【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性來求值的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的對(duì)稱中心，屬中檔題.三、解答題17 .已知等比數(shù)列 an，其公比q 1,且滿足a2 a3 12 ,a2和a4的等差中項(xiàng)是10.(I)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式;n 1(n )若bn nan ,Tn是數(shù)列bn的刖n項(xiàng)和，求使Tn n 214 0成立的正整數(shù)n的值.【答案】(I ) an 2n.(n) n 3.【解析】(i )由等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公比，可得所求通項(xiàng)公式；(n)bn nan n 2

17、n，由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和可得 Tn,解方程可得所求值.【詳解】(I )等比數(shù)列 an，其公比q 1，且滿足a2a3 12,a2和a4的等差中項(xiàng)是102即有aqaq312 , 20 a2 a4 a1q a1q解得：a q 2an 2n(n)由(i)知：bn nan n 2n貝U Tn1 22 223 23n2n234n 12Tn1 22 23 2n2相減可得：Tn 2 22 23化簡可得：Tn 2 n 1 2n 12n n 2n 12 1 2n1 22nTn n 2n 1 14 0 ,即為 16 2n 1 0解得：n 3【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用,考查數(shù)列的錯(cuò)位相減法求

18、和，以及方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.18.每年3月20日是國際幸福日，某電視臺(tái)隨機(jī)調(diào)查某一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機(jī)抽取18名，用“1吩制”記錄了他們的幸福度指數(shù)，結(jié)果見如圖所示莖葉圖 淇中以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉.若幸福度不低于8.5分，則稱該人的幸福度為很幸福” .(I )求從這18人中隨機(jī)選取3人,至少有1人是 很幸?！钡母怕?(n)以這18人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人, 記X表示抽到 很幸福”的人數(shù)，求X的分布列及E X .(i )199. (n)見解析.204(I )18人中很幸福的有12人，可以先計(jì)算其逆

19、事件，即3人都認(rèn)為不很幸福的概率,再用1減去3人都認(rèn)為不很幸福的概率即可；(n)根據(jù)題意，隨機(jī)變量,列出分布列，根據(jù)公式求出期望即可.(I)設(shè)事件A抽出的3人至少有1人是很幸?！钡?則A表示3人都認(rèn)為不很幸福(n)根據(jù)題意,隨機(jī)變量C3C38520419920423GX的可能的取值為0,1,2,3C30C33C；4； P 93C；27X0123P1248279927所以隨機(jī)變量的分布列為： 1248所以X的期望EX 0 1-2-3 2 279927【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布列，數(shù)學(xué)期望的求解，概率分布中的二項(xiàng)分布問題，屬于常規(guī)題型.19.已知 ABC是等腰直角三角形,ACB -

20、, AC 2. D, E分別為AC,AB的中 2點(diǎn)，沿DE將 ADE折起，得到如圖所示的四棱錐 A BCDE .(I )求證：平面 ADC 平面AiBC .(n )當(dāng)三棱錐C ABE的體積取最大值時(shí)，求平面ACD與平面AiBE所成角的正弦 值.【答案】(I )見解析.(n)立.【解析】(I)證明DE平面AiCD得出BC,平面A1CD ,根據(jù)面面垂直的判定定理得到結(jié)論；(II)當(dāng)AD 平面BCDE時(shí)，棱錐體積最大，建立空間坐標(biāo)系，計(jì)算兩平面的 法向量，計(jì)算法向量的夾角得出答案.【詳解】(I)證明：Q ACB - AC BCQ D,E 分別為 AC, AB 的中點(diǎn) DE /BC DE ACDE C

21、D, DE AD ,又 AD I CD DDE 平面ACDBC 平面A1CD，又BC 平面ABC平面AiDC 平面A1BC(II) Q Vc ABE VA1 BCE , SvbCE 為定值當(dāng)AD平面BCDE時(shí)，三棱錐C ABE的體積取最大值以D為原點(diǎn)，以DC ,DE , DAi為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系D xyz則 B 1,2,0 ,E 0,1,0 ,Ai0.0,1uuvuuvBE 1, 1,0 , EA0, 1,1v設(shè)平面ABE的法向量為nx, y, zvmvmuuvBE 0 uuv EA1 0Q DE平面ACDcosr rm, n1可得iv1,1, 1v 0,1,0是平面ACD的一個(gè)法向量

22、1 _J,3 13平面A1CD與平面ABE所成角的正弦值為 卜 叵比33本題考查了面面垂直的判定， 二面角的計(jì)算，關(guān)鍵是能夠根據(jù)體積的最值確定垂直關(guān)系,從而可以建立起空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求得二面角，屬于中檔題.20.已知定點(diǎn)A 30 , B 3,0 ,直線AM、BM相交于點(diǎn)M ,且它們的斜率之積1為一，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線 C 。9(1)求曲線C的方程;(2)過點(diǎn)T 1,0的直線與曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn) S %,0 ,使得直線SP與SQ斜率之積為定值，若存在，求出 S坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。2【答案】(1) y2 1 x 3 ; (2)存在定點(diǎn)S 3,0 ,見解析 9

23、1【解析】(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x, y),貝UkMA ，kMB (x x 3 x 33），利（用 kMAkMB(2)由已知直線l過點(diǎn)T (1,0),設(shè)l的方程為xmy 1,則聯(lián)立方程組x my 1x2 9y2 9消去x得(m2 9)y2m), Q(x2, y2)利用韋達(dá)定理求解直線求出曲線C的方程.第17頁共19頁的斜率，然后求解指向性方程，推出結(jié)果.【詳解】解：(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn) M x, y ,則 kMA y x 3 , x 3kMB -x- x 3 ，x 3，1 y y 1Q kMA kMB-',即 "" 二，9 x 3 x 392化簡彳導(dǎo):A y2 J92由已知x 3

24、,故曲線C的方程為y2 1 x 3 o9(2)由已知直線l過點(diǎn)T 1,0 ,設(shè)l的方程為x my 1,則聯(lián)立方程組x2 x9my1,2my 8 0,%丫2設(shè) P x1，y1 , Q X2N2 ,則yy22m m2 9 8 m2 9又直線SP與SQ斜率分別為kSPy1XiXoy1my11 Xo 'kSQAX2Xoy2my2 1 Xo '貝U kSP kSQV1V2my 1 x0 my2 1 x0822x09 m 9 1x082當(dāng) Xo 3時(shí)， m R, kSP kSQ 2 二9 1 x09當(dāng) Xo3時(shí)，m R, ksp ksQ812 二 °9 1 x018所以存在定點(diǎn)S

25、 3,0，使得直線SP與SQ斜率之積為定值。本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中 檔題.lnx21.已知函數(shù) f x .x(I )求函數(shù)f x的極值；(n )若 m n 0 ,H mn nm,求證：mn e2 .【答案】（i ）極大值為：1 ,無極小值；（n）見解析.e【解析】（I ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出函數(shù)f x的極值；（n）得到f m f n，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為證明2 e m nlnne,即證 nn 2 lnn，令GIn x 2x22 .x In x 1第21頁共19頁據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.In

26、x(I )Q f x xx的定義域?yàn)?,1 ln x0,得f x在0,e上單調(diào)遞增，在 e,上單調(diào)遞減函數(shù)f x的極大值為f eJne 1 ,無極小值e e(n )Q m n 0 , mn nm n In m mln nIn mmIn n，即f m由（i）知f x在0,e上單調(diào)遞增，在 e, 上單調(diào)遞減且 f 10,則 1 n e m一一ce2要證mn e2,即證m e,即證f mnn 2 ln n2e由于1e ,即0 ln n 1,即證e22ln n 2n2 .n ln nQ1In x4x22.，2x x lnx 1 x2xln x2 e x x0恒成立2x Inxe x e x 1 2x ln x1,e遞增1,e恒成立mn本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想,考查不等式的證明，考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出合適的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題，屬于難題.22 .在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.2x 1 t2知直線l的參數(shù)方程為_ 2.2 .y Tt（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為4cos（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;1（2）若直線l與曲線C交點(diǎn)分別為A