【100所名?！?020屆北京四中高三第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(文科)試題(解析版)

1、2020屆北京四中高三第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文科）試題數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1 .答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘 貼在答題卡上的指定位置。2 .選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫 在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3 .非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙 和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4 .考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。一、單選題,要k爬1 .設(shè)函數(shù)y =收一20我的定義域?yàn)镸,函數(shù)y =/的值域?yàn)镻,則MCP =A. (0, +oo) B. 20

2、18,+oo) C. 0,+oq) D. (2018,+8)2 .在下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在0,內(nèi)單調(diào)遞減的是A. y = 2X B y = ： C. y = Igx D. y = cosx3 .執(zhí)行如圖所示的程序框圖.若輸出的結(jié)果是16,則判斷框內(nèi)的條件是A. n> 6? B. n> 7? C. n > 8? D. n > 9?4 .在ABC 中，a=3於，b=3, A=-,貝IJC 為 3A. - B. - C. - D. 64235 .函數(shù)y = 4sin（3x + w） Ca> > Of<p <fx e R）的部分圖像如圖所示，則函數(shù)表

3、達(dá)式為y = 4sm(|x-)C.D. y = 4sin*x+g)6.設(shè)5為非零向量,則“存在負(fù)數(shù)2,使得m = An”是“mn V （T的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件7 .已知函數(shù)町=/2工+ 2/<2 ,若玉,eR,使得/（七）«5m一4/成立，則實(shí) log2x,x> 2數(shù)M的取值范圍為A,卜用 B，A °，卜唱 D- Plfx >08 .設(shè)定義符合函數(shù)sgn(x)= 0* = 0 ,則下列等式正確的是-l,x < 0A. sinx - sgii(x) = sin|x|B. sinx - sgn

4、(x) = |sinx|C. |sinx| - sgii(x) = sin|x|D. sin|x| sgn(x) = |sinx|二、填空題9 . i為虛數(shù)單位，計(jì)算(-3 i)i=a10 .命題Ux(0,+8),使得lg%> 0成立”的否定是。11 .已知向量。=(1,b),b = (技1),則a與b夾角的大小為.12 .設(shè)函數(shù)f(x)=，+(a-i)/ + ax.若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y = f(乃在點(diǎn)(0 , 0)處的 切線方程為.13 .已知角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有點(diǎn)4(1， a),且 cos2a =貝lj|a| =.314 .對(duì)于函數(shù)f(x)

5、,若存在一個(gè)區(qū)間4 = a,句，使得y|y=f(x),x /=4則稱人為人外 的一個(gè)穩(wěn)定區(qū)間，相應(yīng)的函數(shù)f(x)叫“局部穩(wěn)定函數(shù)”，給出下列四個(gè)函數(shù)：®f(x) = tanx： f(x) = 1 -x2:f(x) = e - 1；f(x) = ln(x - 1),所有“局部穩(wěn)定函數(shù)”的序號(hào)是三、解答題15 .已知集合/= 可言 <0,xR, B=xlx2-Zx-m<0,(1)當(dāng)】=3 時(shí),求HC(Cr8)：若ACIB=3 -1<4,求實(shí)數(shù)，的值.16 .已知/月8c的三個(gè)內(nèi)角分別為ABC,且2siM(B + C)=巡sin24(I)求從的度數(shù)：(II )若BC =

6、7tAC = 5,求2L48c的面積 S.17 .已知函數(shù)f(%) = cosx(cosx + bsinx)°(I)求f(x)的最小正周期：(II)當(dāng)共售時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。18 .已知實(shí)數(shù) a HO,函數(shù) f(x) = ax(x-2)2(x£R).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)有極大值32,求實(shí)數(shù)a的值.19 .已知數(shù)列a另是公比為M的等比數(shù)列，且與 + 6是%和g的等差中項(xiàng).(I)求的通項(xiàng)公式：(II)設(shè)數(shù)列an的前九項(xiàng)之積為G，求心的最大值.20 .已知函數(shù)f(x) =%2四一 2x.(I)求曲線y = f(x)在點(diǎn)(l,f(l)處

7、的切線方程：(II)求證：存在唯一的&W (1,2),使得曲線丫 =”幻在點(diǎn)(&/(%)處的切線的斜率為f (2)(1)：(III)比較f(l.01)與一2.01的大小，并加以證明.2020屆北京四中高三第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(文科)試題數(shù)學(xué)答案參考答案1. B【解析】【分析】首先求得集合M和集合P，然后求解其交集即可.【詳解】求解函數(shù)y =2018的定義域可得M = 2018,+8),求解函數(shù)y =竣的值域可得P = (0,+8),則MnP = 2018,+oo).本題選擇B選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的表示方法，交集的定義與運(yùn)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求 解能力

8、.2. D【解析】【分析】先判斷奇偶性，然后再判斷單調(diào)性【詳解】對(duì)于4 y = 2"不是偶函數(shù)，故排除對(duì)于以y =：不是偶函數(shù)，故排除對(duì)于C, y = 不是偶函數(shù)，故排除對(duì)于。，y=cosx是偶函數(shù)，且在(0, 1)內(nèi)單調(diào)遞減，符合題意故選?！军c(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，只需按照題意結(jié)合概念即可判斷，較為基礎(chǔ)。3. C【解析】試題分析：第一次循環(huán)，S = l,n = 3,不滿足條件，循環(huán)。第二次循環(huán)，S = l+3 = 4,n = 5,不滿足條件，循環(huán)。第三次循環(huán)，S = 4 + 5 = 9,n = 7,不滿足條件，循環(huán)。第四次循環(huán)，S 9 + 7= 16,n = 9

9、,滿足條件，輸出。所以判斷框內(nèi)的條件是n> 8,選C考點(diǎn)：程序框圖.4. C【解析】【分析】由正弦定理先求出8的值，然后求出結(jié)果【詳解】在A48C中，a = 33,b = 3,A =-3o V3bsinA 3 X -y 1 sin B =-=a 3732b < a9 則B =- 6n n nC = tt 力一=一362故選。【點(diǎn)睛】本題運(yùn)用正弦定理解三角形，熟練運(yùn)用公式即可求出結(jié)果，較為簡(jiǎn)單。5. B【解析】由圖象可知力=-4, T = 2X(6 + 2) = 16, 2n n 3 = 一. 168巴 X 6 + w = 0, 8 3zr W = 丁， y = 4sin("

10、; - ?) = -4sin(" +本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：已知兀0=Asin(3x+o)(A>O, 3>0)的部分圖象求其解析式時(shí)，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)口和3,常用如下兩種方法:由3=芋即可求出3：確定9時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)''橫 坐標(biāo)*),則令3X(1 +夕=0(或3Xo + 0 = 7U),即可求出(p.(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解 出3和0,若對(duì)A, 3的符號(hào)或?qū)σ恋姆堕澯幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.6. A【解析】試題分析：若

11、Uvo,使=則兩向量m,九反向，夾角是180。，那么771九=|m|n|cosl80° = |m|n| < 0；若wirVO,那么兩向量的夾角為(90。, 180。,并不一定反向,即 不一定存在負(fù)數(shù)3使得巾=力1，所以是充分而不必要條件，故選A.【名師點(diǎn)睛】判斷充分必要條件的的方法：(1)根據(jù)定義，若p = q,qH>p,那么p是q的充 分不必要條件，同時(shí)q是p的必要不充分條件；若p = q，那么p，q互為充要條件；若pW>q,qH> p，那么就是既不充分也不必要條件.(2)當(dāng)命題是以集合形式給出時(shí)，那就看包含關(guān)系，已知 P：x e A,q：xB,若4u8那么

12、p是q的充分不必要條件，同時(shí)q是p的必要不充分條件；若4 = 8,那 X么p，q互為充要條件：若沒(méi)有包含關(guān)系，那么就是既不充分也不必要條件.(3)命題的等價(jià)性，根 據(jù)互為逆否命題的兩個(gè)命題等價(jià)，將p是q條件的判斷，轉(zhuǎn)化為q是p條件的判斷.7. B【解析】由函數(shù)的解析式可得函數(shù)的最小值為：= 則要考查的不等式轉(zhuǎn)化為： <5m-4m2,解得：即實(shí)數(shù)”的取值范圍為；/.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的 解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)./(/(")的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時(shí)，先假設(shè)所求的值在分段

13、函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相 應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.8. A【解析】試題 分析：”>0時(shí)，sinx - sgn(x) = sinxt % VO時(shí)，sinx - sgn(x) = -sinx = sin(-%)» 所以 Sinx-Sgn(x)=s.nlxh 人正確.故選 A.考點(diǎn)：新定義.9. l-3i【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得：（-3 -i）i = -3i-i2=l-3i.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.10. Vx（0,+8）,都有l(wèi)gx40 成立；【解析

14、】【分析】將特稱命題否定為全稱命題即可.【詳解】特稱命題的否定為全稱命題，則命題F % 6 （0, +8）,使得Igx > 0成立"的否定是“x 6 （0, +8）,都有Igx < 0成立”.【點(diǎn)睛】對(duì)含有存在（全稱）量詞的命題進(jìn)行否定需兩步操作：（1）將存在（全稱）量詞改寫成全稱（存在）量 詞：（2）將結(jié)論加以否定.這類問(wèn)題常見(jiàn)的錯(cuò)誤是沒(méi)有變換量詞，或者對(duì)于結(jié)論沒(méi)給予否定.有些命 題中的量詞不明顯，應(yīng)注意挖掘其隱含的量詞.11. 30°.【解析】試題分析：兩向量夾角為cos（Gb）= 靛=若=又兩個(gè)向量夾角范圍是0,司.所以?shī)A角為【考點(diǎn)】向量數(shù)量積與夾角公式【

15、名師點(diǎn)睛】由向量數(shù)量積的定義ab= |a|b|cos6 （8為a, b的夾角）可知，數(shù)量積的 值、模的乘積、夾角知二可求一，再考慮到數(shù)量積還可以用坐標(biāo)表示，因此又可以借助坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn) 算.當(dāng)然，無(wú)論怎樣變化，其本質(zhì)都是對(duì)數(shù)量積定義的考查.求解夾角與模的題目在近幾年高考中出 現(xiàn)的頻率很高，應(yīng)熟練掌握其解法.12. y = x【解析】【分析】首先根據(jù)奇函數(shù)的定義，得到Q- 1 = 0,即。=1,從而確定出函數(shù)的解析式，之后對(duì)函數(shù)求 導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得對(duì)應(yīng)切線的斜率，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線的方程，最后整理成一般 式，得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f (x) =x3 + (a - l)x21-a22c

16、os2a = 2cos a - 1 =y 1 =7 =1+a21 + a2 3解得梁=1則 |a| =1故答案為當(dāng)【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角公式的運(yùn)用，只要表示出己知角的余弦值，運(yùn)用公式，即可求出結(jié)果， 本題較為基礎(chǔ)。14. ®®【解析】“局部穩(wěn)定函數(shù)”的定義可以轉(zhuǎn)換為：函數(shù)f(x)與y = %至少有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，在交點(diǎn)所構(gòu)成 的區(qū)間內(nèi)具有連續(xù)性，在交點(diǎn)所確定的區(qū)間之內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減, + ax是奇函數(shù)，所以f(-x) =-f(x),從而得到。-1 = 0,即，所以f(x) = -+以 所以f(o)= o,所以切點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0),因?yàn)槭?%)= 3/+ 1，所以尸

17、(0) = 1，所以曲線y = f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y = x,故答案是尸=心【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)圖象在某點(diǎn)處的切線問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有奇函數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的幾 何意義，屬于簡(jiǎn)單題目.13. ”5【解析】【分析】根據(jù)已知條件先求出cosa的值，再由二倍角公式代入化簡(jiǎn)，求得結(jié)果【詳解】由題意可得：cosa = y=L=vl+a-很明顯滿足題意，函數(shù)f(x) = ex - 1與y = %相切，函數(shù)f(x) = ln(x - 1)與y = x沒(méi)有交點(diǎn)，綜上可得所有“局部穩(wěn)定函數(shù)”的序號(hào)是.點(diǎn)暗：學(xué)習(xí)能力型問(wèn)題必將成為以后高考考核的重點(diǎn)，它題目新穎，考察全而，擺脫了以往只 考察

18、學(xué)生記憶、計(jì)算等方面知識(shí).而這類題型是考察學(xué)生的閱讀理解力、知識(shí)遷移能力和歸納概括 能力等，是考察學(xué)生素質(zhì)能力的典型題目，應(yīng)引起廣大師生的關(guān)注，學(xué)習(xí)有兩個(gè)過(guò)程：一個(gè)是“從 薄到厚”，一個(gè)是“從厚到薄”.前者是知識(shí)不段豐富、積累的過(guò)程，是“量”的積累：“從厚到薄”則是 質(zhì)的飛躍.在這里正是應(yīng)用到了“從厚到薄;而這類問(wèn)題涉及知識(shí)而廣、開(kāi)放度高、靈活性強(qiáng)，能夠 很好地考核考生利用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，需要平時(shí)結(jié)合所學(xué)的知識(shí)多聯(lián)想和多類 比，注意知識(shí)的活學(xué)活用，才能夠處理好這類問(wèn)題.15. (l)x|3<r<5.(2)8【解析】【分析】計(jì)算出集合力與集合8,然后求出結(jié)果(2)由

19、已知條件求出集合8的取值情況，代入后求出結(jié)果【詳解】解:由言 K。,得一 1VXK5.當(dāng) m = 3時(shí)，B = %|-1<%<3> 則 =xx K -1 或 2 3, .MnCCjjB) = x|3<x< 5.(2)v A = x|-l <x<5> AH B = (x - 1 < x <4,.有 4? - 2X4-m = 0,解得 m = 8.此時(shí)8 = x| - 2 < % < 4,符合題意,故實(shí)數(shù)rn的值為8.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的基本運(yùn)算，在求解過(guò)程中理清題意，熟練計(jì)算集合的結(jié)果，然后按照要求求 解，較為基礎(chǔ)。16

20、. (I) 60°(II) 10、存【解析】試題分析：(1)由內(nèi)角和定理及商數(shù)關(guān)系可得taM=V5,從而得到力的度數(shù)：(2)由余弦定 理a? = b2 4- c2 - 2bccosA,求出c = 8,進(jìn)而得到4力BC的面積S.試題解析：(1) :2sin2(B + C) = V3sin2i4>/.2sin2(n >4) = 2V3sini4cos>4tAsin2?!= b sini4cos 力，又.N為三角形內(nèi)角，sin4 豐 0.，tan/ =百，而/為三角形內(nèi)角，：.A = 60°,綜上所述，/的度數(shù)為60。.(II)由余弦定理 q2 = 2bccos

21、4,a = BC = 7, b = AC = 5,力=60°,.*.49 = 25 + c? - 2 X 5c X cos60°tAc2 - 5c 24 = 0,= 8或c = -3 (舍去)，,Sarbc = 7 bcsinA = = X5X8X= 10 於，綜上所述，ABC的面積S為10西.點(diǎn)睛：解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活 轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來(lái)，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角

22、之間的互化.第三步：求結(jié)果.17. (I)最小正周期為“II愛(ài),?【解析】【分析】(I)首先整理函數(shù)的解析式，然后結(jié)合最小正周期公式求得函數(shù)的最小正周期即可；(H)首先確定函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，然后結(jié)合函數(shù)的定義域確定其在定義域內(nèi)的單調(diào)遞減 區(qū)間即可.【詳解】(I )/(%) =/3sinxcosx+ cos2x=-sin2x +，+。：，二伴52n2K +，。丁)+1 =sin(2x + 3)+£，T =菊=三=的最小正周期為九.(H )當(dāng)2%tt + <2x + <2kn+fke Z時(shí)，函數(shù)f (%)單調(diào)遞減, 26Z即f(x)的遞減區(qū)間為：阿+卷面+烹MWZ.

23、由。,自八Z7r +,kn +等=e，+自，4W Z所以f(x)的遞減區(qū)間為：？，勺.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)解析式的化簡(jiǎn)，三角函數(shù)最小正周期公式，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解 等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.18. (1)見(jiàn)解析(2) a=27【解析】【分析】(1)首先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；(2)由題意得到關(guān)于的方程，解方程求得實(shí)數(shù)“的值，然后檢驗(yàn)是否符合題意即可.【詳解】於)=ax34ax2+,/(a) = 3ax2 8ax+4a=n(3x2 )(x2).2 令/(x)=0，得刀=3或x=2.當(dāng)“>0時(shí)，函數(shù).取)的單調(diào)增區(qū)間是(-00&

24、#39; 2, (2, +8)：?jiǎn)握{(diào)減區(qū)間是(？ 2) 當(dāng)，yO時(shí)，函數(shù)./U)的單調(diào)增區(qū)間是(才2),單調(diào)減區(qū)間是(-00' ?),(2, 4-00)./U)=ax(L2)2QeR)有極大值32,而f(2) = 0，當(dāng)事，歡取得極大值32,即氯通7.當(dāng)”=27時(shí),由知，f(x)在(一孫方增，在儕2)遞減，符合題設(shè).【點(diǎn)暗】本題主要考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意 在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19. (1 ) an = (i)n-4： (2) 729.【解析】試題分析：(1)由數(shù)列但是公比為:的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及觸+6是

25、的和。3的等差中項(xiàng)列方程求出% = 27,從而可得6的通項(xiàng)公式；(2)令即21,即(3"-421,可 得正項(xiàng)數(shù)列«的前3項(xiàng)大于1,第4項(xiàng)等于1,以后各項(xiàng)均小于1,所以4的最大值為介=介= a1 。2 。3 = 729.試題解析：(1)因?yàn)椤?+6是和。3的等差中項(xiàng)，所以2(觸+ 6) = % +%因?yàn)閿?shù)列為是公比為：的等比數(shù)列，所以2(.+ 6) = a+ . 解得% = 27.所以 an = a1-qn-1= ()71-4.(2)令a“Nl, HP(i)n-4> 1,得九<4,故正項(xiàng)數(shù)列an的前3項(xiàng)大于1,第4項(xiàng)等于1,以后各項(xiàng)均小于1.所以當(dāng)n = 3,或n

26、 = 4時(shí)，7n取得最大值，7”的最大值為A =庶=。2 。3 = 729.20. (1) y = -x-l； (2)證明見(jiàn)解析：(3) f(L01) >-2.01.【解析】試題分析：(1)求出f(l)的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出尸(幻=2也出+ %-2,可得7(1)的值，從 而得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線y = f(x)在點(diǎn)(1)(1)處的切線方程：(2)由已知f(2) /(I) = 41n2-2,只需證明方程2xlnx + x - 2 = 41n2 2在區(qū)間(1,2)有唯一解，先利用導(dǎo)數(shù)證明 g(x) = 2Mnx + x 4/2在區(qū)間(1,2)單調(diào)遞增，再利用零點(diǎn)存在定理可得結(jié)論：(3)當(dāng)4 > 1時(shí)， 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h(x) = f(x) (x 1) = x2lnx x+ 1的單調(diào)性，可得人(x) > h(l) = 0,即 f(x) > -x-1 ,令x = 1.01即可的結(jié)果.試題解析：