中國石油大學(xué)近三年高數(shù)期末精彩試題及問題詳解

1、標(biāo)準(zhǔn)20132014學(xué)年第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)(2-1 )»期末考試A卷(工科類)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一.(共5小題，每小題3分，共計1 5 分)判斷下列命題是否正確？在題后的括號內(nèi) 打“或“”，如果正確，請給出證明，如果不正確請舉一個反例進(jìn)行說明.1 .若 f(x)在(a,)無界，則 lim f (x). () ( 1分)x例如：f (x) xsin x ,在(1 ,)無界，但 lim xsin x . ( 2 分)x2 .若f(x)在x0點連續(xù)，則f (x)在x0點必可導(dǎo).() (1分)例如：f (x) x,在x 0點連續(xù)，但f(x) x在x 0不可導(dǎo). (2分)3 .若 lim xny

2、n 0 ,則 lim xn 0 或 lim yn 0.() ( 1 分)nnn例如：xn：1, 0,1,0, yn： 0,1, 0,1,有 lim xnyn 0 ,但 lim xn , lim yn 都不存在. (2 分)nnn4 .若f (x0)0 ,則f (x)在Xo點必取得極值.() (1分)例如：f(x) X3, f (0) 0 ,但f (x)X3在x 0點沒有極值.(2分)5 .若f(x)在a, b有界，則f (x)在a, b必可積.() (1分)噌、1,當(dāng)x為有理數(shù)，一 八 例如：D(x)w 4工皿.，在0,1有界，但D(x)在0,1不可積.(2分)0 ,當(dāng)x為無理數(shù).二.(共3小

3、題，每小題7分，共計2 1分)1 .指出函數(shù)f(x) x cot X的間斷點，并判斷其類型.解函數(shù)f (x) x cotx的間斷點為:x k , k0,1, 2,(3 分)當(dāng)k 0,即x 0時,mf(x)xcotx第1,x 0為函數(shù)f (x) x cot x的第一類可去 間斷點；(2 分)1, 2,時，lim f (x)x klim x cot xx klimx kxcosxsin x(2 分)x k , (k 1, 2,)為函數(shù)f(x) x cotx的第二類無窮 間斷點一.1 x 2tx2 .求極限 lim -2 (1 t2) et xdtx x 0x 2 t1 x0(1 t2)etdt解

4、lim (1 t2) e xdtlim z- - (3 分)x x2 0xx2exlimx(1 x2)ex(2x x2)exlimx1 x22x x21 .(1分)3.設(shè)方程x y y x(x 0 , y 0)確定二階可導(dǎo)函數(shù) y y(x),求d2y dx2 .解1對我Vx兩邊取對數(shù)，得Ilny Ilnx, x y文案即 yln y xln x等式兩邊關(guān)于x求導(dǎo),得:(1 ln y)dy 1 ln x ,即dxdy dx1 ln xd2y dx2d dydx dx(1 ln y) (1 lnx) 一y (1 lny)2dy dxy(1 ln y)2 x(1 lnx)2xy(1 ln y)3.(

5、共3小題，每小題7分，共計2 1分)1.求不定積分3sin xcos xsin3sin xcos x21 sin xdx2、sin x(1 sin x)-21 sin xd (sin x)(2分)(令 sinx t)y出二1122t ,t r dt1 t2(2分)t22-122_ln(1 t ) C = sin x ln(1 sin x) C.2(3分)2.設(shè)ln2x是函數(shù)f（x）的一個原函數(shù)，求 x f （x） dx .解 (ln2x)2ln xf (x), xf (x)dx(x) dx x df(x)x f(x)f (x) dx2 In x3.求定積分4 (x3 sin x44cos7 2

6、x) dx.3-4 x sin xcos72x) dx4344 x sin x dx44 cos7 2x dx( 1 分)4(2分)(2分)(令2xt)cos7t 出(1分)四.（共6!7!(1分)2小題，每小題6分，共計1 2分）1 .已知一個長方形的長l以2cm/s的速度增加,寬w以3cm/s的速度增加，則當(dāng)長為12cm,7 -cos 2x dx寬為5cm時，它的對角線的增加率是多少?解：設(shè)長方形的對角線為y,則 y2l2兩邊關(guān)于t求導(dǎo)，得2 ydy出dy dt dl dt2ldl_ dt dw dt2wdw dt '(1)已知32, -dw dt dt3, l12,w5,y V1

7、22 52 13,代入（1）式，得對角線的增加率：dy 3 (cm/s) .( 2 分)dt2 .物體按規(guī)律x Ct2做直線運(yùn)動，該物體所受阻力與速度平方成正比，比例系數(shù)為 計算該物體由x 0移至x a時克服阻力所做的功.解 v(t) - 2ct (2 分)dt-.、.2 22 2f (x) k4c t 4c t 4cx , ( 2 分)a2W 4cxdx = 2ca .( 2 分)0五.(本題10分)已知f (x)x 5arctanx ,試討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，凹凸性,拐點，漸近線解函數(shù)的定義域為 (5).f (x) 1 21 xx 4.一、，r，令f (x) 0得駐點1 xx 2.(

8、1 分)f (x)102 2,令f (x) 0,得可能拐點的橫坐標(biāo)：x 0. (1分)(1 x2)2a1limxf(x)xlimx-5arctanx、 /(1) 1.xb1limxf(x)axlim ( 5arctan x)xa2limxf(x)xlimx一5 arctan x、,(1 )1,xb2lim f (x)xa2xlim ( 5arctanx)x列表討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，凹凸性，拐點：x(,2)2(2,0)0(0,2)2(2,)f (x)00f (x)0y f(x)極大值2 5 arctan 2極小值2 5arctan2/拐點(0.0)(6分)漸近線為：y六.1.（共2小題，每小

9、題7分，共計x試求曲線y ,xe 1 （x 0）無窮遠(yuǎn)處的旋轉(zhuǎn)體的體積 .解：14分)與x軸所夾的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得到的伸展到y(tǒng)2dx0 xedx(4分)(x 1)e x 0lim (x 1)e x x(3分)2x的通解. .2_解特征萬程為：r 5r 40,特征根:r14,21 .對應(yīng)齊次方程白通解為：yC1e 4xC2e x而0不是特征根，可設(shè)非齊次方程的特解為Ax Bx 1 lim x e2.求微分方程y 5y 4y11x 111代入原方程可得，A B2，故所要求的通解為y Ce 4xC?e x118七.（本題7分）敘述羅爾（Rolle）中值定理，并用此定理證明:方程 a1cosx

10、a2 cos 2xan cos nx 0f(a)在（0,）內(nèi)至少有一個實根，其中 a1,a2, an為常數(shù).(a,b),使得f ( ) 0.令 f (x)a1 sin xa2 sin 2x2an sin nx在0,上連續(xù)，在（0,）內(nèi)可導(dǎo)，且f (x)a cosx a2 cos 2xan cosnx ,f(0)f()0,由羅爾中值定理,(0,),使得a1 cosa2 cos2an cosn0,即方程a1 cosxa2 cos2xan cosnx 0在（0 ,）內(nèi)至少有一個實根.-（2分）羅爾（Rolle）中值定理：設(shè) f （x）在a,b上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo),各章所占分值如下:第一章函數(shù)與

11、極限13 %第二章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分16 %第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用20 %第四章不定積分14 %第五章定積分及其應(yīng)用30 %第六章常微分方程7 % .16 %16 %14 %15 %26 % .13 % .2014 2015學(xué)年第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)（2-1 ）»期末考試 （工科類）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)各章所占分值如下：第一章函數(shù)與極限第二章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章不定積分第五章定積分及其應(yīng)用第六章常微分方程.(共3小題，每小題4分，共計12 分)判斷下列命題是否正確題后的括號內(nèi)打“或“”，如果正確，請給出證明，如果不 正確請舉一個反例進(jìn)行說明.1

12、/1 .極限lim sin 一不存在.(Vx 0 x、，、,11證設(shè) f(x) sin ，取 xn x2nlim xn0, lim yn0 ,nn)1,yn ， (n2n 2(2分)1,2,但 lim f (xn)npm f (yn)limn1 sin xnlimn.1sin ynlim sin2nnlim sin(2nn0,a) 1,1 一4，(2分)由海涅te理，lim sin 一不存在.x 0 x2 .若曲線y f (x)在(x0 , f (x0)點處存在切線，則f (x)在x0點必可導(dǎo). ( ) (2 分)例：y Vx在(0,0)點處有切線x 0,但y Vx在x 0處不可導(dǎo). (2 分

13、)3 .設(shè)函數(shù)f (x)在a,b上連續(xù)且下凸，在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)，則x (a , b)有 f (x) 0.() (2 分)例：f(x) x4在2,3上連續(xù)且下凸，但f (0) 0 . (2 分)二.（共3小題，每小題6分，共計18分）1.求極限lim (n1) sin(n!).(3分)1斛 lim ( 一n 、n n1)0,sin(n!) 1 ,1 nim(nn1)sin(n !) 0.(3分)2.求極限limxx0(14 t xt ) e 出-4x解limx(1 t4)etxdtlimxx 4 t(1 t ) edt0'4 xx e(3分)limx(1(4x34 xx )e4 x

14、 x )elimxL4x3(3分)3.求極限lim n解 lim (nlimn(_rnn121n12nnn22122n-22 ) .n nn)22 'n n(3分)dx01 x2arctan x(3分)又 lim f(x)x 01 ex 1 一 ，、lim t- 一 ， lim f(x)x 012x01 2exlimx 01 ex11 2e*1,三.（共3小題，每小題6分，共計18分）1,1 ex,1.求函數(shù)f x 的間斷點并判斷其類型1 2ex解x 0是f（x）的間斷點， （3分）11x 0是f （x）的跳躍間斷點. （3分）2.f(x)當(dāng)x 0時,當(dāng)x 0時,x0,f (x).f

15、(x)2ex 2x2(ex 1)x22ef (0) limx 0f(x) f(0)lim -x 0xx2de12- x（3分）lxm0x2e 12x2x2xe3.(x)2ex2設(shè)方程0,0.（3分）dydxyy (t)x(t)ln(sin t) cost tsinttsint ,2確定y為x的函數(shù)，求生與«一.dx dx(3分)d2y d dydx2 dx dxdddt sin t tcost tsin t - tsint - sinttant tsint.dxdt dx x (t) (3 分)四.（共3小題，每小題6分，共計18分）2 ,一x ln x 1.求不定積分 e dx.2

16、22解 e dx e e dx e x dx(3分)12212-ex d(x ) -exC .22(3分)2 .求不定積分xcos2 x dx.21 cos2xx cos xdxxdx2 xdx xcos2xdx22121_ .八、x xd (sin 2x)441 21.八1.c,-x-xsin2xsin2x dx4441 211-x -xsin2x cos2x C.448（1分）（2分）（2分）（1分）3.設(shè)f（x）在1,1上連續(xù)，求定積分 f (x) f ( x) sinx 1 x . (2 分)42 dx.一1解 1f(x) f ( x)sinx 1 x2 dx1121 f(x) f(

17、x)sinxdx 1 41 x dx (1 分)10 2V1 x2 dx (上半單位圓的面積) (3分)0五.（本題8分）設(shè)由曲線 y ln x與直線 所圍平面圖形為 D求D的面積S ； （4分）(2)求D繞直線xe旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積V . (4 分)(1分)x ey 0 及曲線yln x與直線x ey 0的交點為10(eyey)dy VVieyV2e,1),1.0(1e2(1(e ey)2dy10(e(3分)ey)2dy(2分)y)2dy(e2 2eeye2y) dyy)33(2e2eey6(5e212e3).(2分)六.（共2小題，每小題6分，共計12分）1 .設(shè)有半徑為 R的半球形蓄水

18、池中已盛滿水 （水的密度為 ）， 求將池中水全部抽出所做的功 .解過球心的縱截面建立坐標(biāo)系如圖，則半圓方程為x2 y2 R2. （1分）x 0, R, 取x,x dx所做功的微元：dW g （R2 x2）dx x （其中g(shù)為重力加速度）g （R2x x3）dx（3分）R _ 23故 W g 0 （R x x ）dxgR .4（2分）2 .設(shè)有質(zhì)量為m的降落傘以初速度 vo開始降落，若空氣的阻力與速度成正比（比例 系數(shù)為k 0）,求降落傘下降的速度與時間的函數(shù)關(guān)系.解設(shè)降落傘下降的速度為 v（t）,則根據(jù)牛頓第二運(yùn)動定律，有dvm mgkv,其中g(shù)為重力加速度,dt分離變量，得 一dvdt一,m

19、g kvmdvdt兩端積分一,mgkv m1lnmg kv-Ci ,kmktmg kv Ce m（其中CkC1e 1 , mg由已知v（0） v0,代入上式，得（2分）ln mg kv一t kC1 ,mkv 0）（2分）C mg kv0,（2分）kmg zmg、mtv （Vo）ekk七.（本題6分）求微分方程y 5y 6y 6x2 10x 2的通解.解 特征方程為：r2 5r 6 0,特征根：r2 ,匕 3.對應(yīng)齊次方程白通解為：y Cie2x C2e3x. （3分）而0不是特征根，可設(shè)非齊次方程的特解為yi Ax2 Bx C, （1分）yi 2Ax B,yi 2A,代入原方程得,2A 5(

20、2Ax B) 6 (Ax2 Bx C ) 6x2 10x 2,6 Ax2_ _2_(6B 10A)x 2A 5B 6C 6x 10x 2,比較同次騫的系數(shù)，得6B 10A10,2A 5B 6C 2 .6A 6,解之得，A 1, B 0, C 0. y1x2 .一._ 2x _ 3x 2(2分)故所要求的通解為 y CeC?ex2 .八.(本題8分)設(shè)L是一條平面曲線,其上任意一點(x , y) ( x 0)到坐標(biāo)原點的距離恒等于該點處的切線在y軸上的截距,(1)試求曲線L的方程;r ，-1且L經(jīng)過點(-,0).2(2)求L位于第一象限的一條切線,使該切線與L以及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積最小解(1

21、)過曲線L上點(x, y)處的切線方程為： Y y y(X x),令X 0,得切線在y軸上的截距：Y y xy ,由題意，得$x (2)曲線L ： y x2在點(x, y )處的切線方程為:4 12、即 Y ( x ) 2x(X x),亦即 Y y2 y xy ,即1人 ydudx /-、令2 u，則一，(x 0)x. 1 u xln(u - 1 u2)In x InC , x(uy J?一y2 C ,由 L 經(jīng)過點(L 0 )yy dy, (x 0)(2分)xx dxdudx, 八、u21)、；1 u2) C,將u2代入并化簡，得x人 11，令 x , y 0,得 C ,22故曲線L的方程為

22、：y x x2 y2 L即212y x .4(2分)Y y y (X x),2112x Xx-(0 x-),42切線與x軸及y軸的交點分別為:2x4,0),(2分)所求面積S(x)2 21、21 (X /2 2x(;x2)dx,(x 0)S(x)4x2(x21) 2(x242 x4x2(x2(3x24), 4(x 0)3 -41故所求切線方程為:一為S（x）在（0,1 ）內(nèi)的最小值點,622世X -32即Y 忐X 1636 433 （2 分）20152016學(xué)年第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)（2-1）期末考試卷答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（工科類）專業(yè)班級姓名學(xué)號開課系室基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系考試日期 2016年1月11日題號一二三

23、四五六七八總分本題滿分1218181881295本題得分閱卷人注意事項：1 .請在試卷正面答題，反面及附頁可作草稿紙；2 .答題時請注意書寫清楚，保持卷面清潔；3 .本試卷共八道大題，滿分 100分；試卷本請勿撕開，否則作廢;4 .本試卷正文共8頁。一.(共3小題，每小題4分，共計12分)判斷下列命題是否正確？在 題后的括號內(nèi)打 V或“如果正確，請給出證明，如果不正確請舉一個反例進(jìn)行說明.1 .函數(shù)f(x)在(a, b)內(nèi)的駐點一定是極值點反例：函數(shù) f (x) x3在x 0處滿足f (0) (-1,1)內(nèi)的極值點. (2 分)0,即x 0為駐點，但x 0不是f(x)在 (2 分)2.反常積分

24、工dx是發(fā)散的.1 x1 10 11 11 11證明：由于 一dx= -dx+ dx,又 一dx=ln x 1 x 1 x 0 x 0 x 0lim In xx 01 1.dx發(fā)放.1 x( v )(2分),故反常積分-( 2 分)3.設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)在x 0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且當(dāng) xxx小，則當(dāng)x 0時，°fsintdt是°tg(t)dt的高階無窮小0時f (x)是g(x)的高階無窮 (2 分)證明：由于當(dāng)x 0時f(x)是g(x)的高階無窮小，即limf3 0,則 x 0g(x)lim0x° f (t)sin tdt7=m0 tg(t)dtf (x)Si

25、n x 0 ,即當(dāng) x 0 時, xg(x)x0 f (t)sin tdt 是x0 tg (t)dt 的高階無窮小.（2分）二.（共3小題，每小題6分，共計18分）1.X2 t20 (e 1)dt求極限lim 22x 0 x (1 cosx)x2解:t2(et1) dtx22.解:lim -2x 0 x (1 cosx)x求由參數(shù)方程ydy dy dtdxdx dt4= lim 一x 0t2(et1)dtd2y dx2dx3.解:4.4(ex=lim5x 06x5=lim8x5x 0 6x3 iacos t,. 3 .a sin t2 3asin tcost2 .3acos tsintd2 .

26、sec t23acos tsintdx dty ln, x2b2ln( xa)1 ln(21)2x所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)dy及二階導(dǎo)數(shù) dxtant,4 .sec t3asinta xarctan -,求 dy,b2)一 arctan 一d2y dx2 .（其中a,b為常數(shù)，b 0）.（1分）dy =xb2dx.（1分）三.（共3小題，每小題6分，共計18分）21 x sin 一, xax b,x 0.一 .,在x 0處可導(dǎo)，試確定常x 0數(shù)a, b的值.解：由于f（x）在點x 0處可導(dǎo)，故f（x）點x0處連續(xù)，又（1分）-_ +21f(0 ) lim x sin- 0, f (0 ) lim

27、(ax b) b,故 x 0+xx 0-由 f(0 )f(0 )f(0),得 b 0. (2 分)21x sin- ax又 f (0) lim a , f (0) limx 0 ,x 0 xx 0 x由 f (0) f (0)，得 a 0. （2 分） （1 分）2.設(shè)曲線的方程為x3y3 (x 1)cos( y) 9 0 ,求此曲線在 x1處的法線方程解：方程兩邊對 x求導(dǎo)，得223x 3y y cos( y) (x 1)sin( y)y 0 , ( 3 分)1又當(dāng)x 1時，解得y 2，代入上式得y|x 11 ,故 (2分)3曲線在x 1處的法線方程為y 2 3(x 1),即3x y 1 0

28、. ( 1分)12a-4bc=0, 6a 2b 0,又由于（1,10）為拐點，且點（2,44）在曲線上，可得d= 10, 8a 4b 2c聯(lián)立解得a 1,b3,c24, d16.四.（共3小題，每小題6分，共計18分)xf(x)dx arcsinx C,求不定積分dx1解：不定積分兩邊求導(dǎo)得：xf （x）=1. 1 x21f (x)= 一：x、1 x2dx故 f(x)x .1x2dx33(1 x2)2C.2.求定積分一 3sin x61 x,4x2 dx.解：由定積分的對稱性質(zhì)，可得23x sin xdx=0 ，x2 4 x2 dx=2 0 x2 4x2 dx,且當(dāng)x 0時，t 0,當(dāng) x2時

29、,、4222x dx=16 2 sin t 02cos t dt.3sin xdx=2 .3.已知limx2xe 2xdx ,lxm0解：由于lim xlxm01（2分）x 2sint ,則 dx 2 costdt ,（1分）16 2 (sin21 sin4t) dt=16(1 3),02 8 2(2 分)a e 2a-e , e（1分）（3分）2xe 2xdx=axde2x2x xee 2xdxlimx2x xeae2a1 2xe21 2a(a 2)e ，（2分）得 a=-.五.（本題8分）2設(shè)D為曲線ex與直線x面圖形,求:D的面積S ; (4 分),x軸、(2)D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)

30、體體積V . (4 分)1解：(1) S= exdxo1.1(2) V =2xexdxo2 xe1ex dxo(4分in2 ydy(yin2 ye .1 ,、y in y dy) ye2 11n ydy 2yin y1 ydy 2 .y六.（共2小題，每小題6分，共計12分）1 .一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長10m和6m,高20m,較長的 底邊與水面相齊，計算閘門的一側(cè)所受到的水壓力，其中水的密度為，重力加速度為g .解：建立坐標(biāo)系（原點在頂端中點,x軸豎直向下，y軸水平向右），設(shè)x為水深，選x為積分變量，x 0,20 , （ 1分）x,x dx 0,20,則對應(yīng)的閘門小窄條上各點處的壓強(qiáng)近似為gx,小窄條的面積近似為2ydx, （ 2分）p 20x /日 l x 二八又=，得y 5 ，故25 y10x .dF 2 gx(5 )dx, 1020x得 F gx(10 )dx 054400g(N).（2 分）（1 分）解：由于立體表面積 S 2 rh 3 r2 ,（2 分）一一232V 2且滿足一 r r h二V ,可得h2 一 r,即3r 3V"2 r3 r22V 52r ，r 3（1 分）由h -Vy 2 r 0，可推知0 r 33V，又 r2 32dS 10 2V dS底、/r 丁，令 0 ,得唯一的駐點 r = 3