錯位相減法求和附答案

1、錯位相減法求和專項錯位相減法求和適用于an、bn 型數(shù)列，其中 仙,5扮別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，在應用過 程中要注意：項的對應需正確；相減后應用等比數(shù)列求和部分的項數(shù)為（n-1）項;若等比數(shù)列部分的公比為常數(shù)，要討論是否為11.已知二次函數(shù)I的圖象經(jīng)過坐標原點， 其導函數(shù)/，數(shù)列.的前，項 和為 '，點廣，札'：3三衛(wèi)均在函數(shù)嚴二m的圖象上.（I）求數(shù)列的通項公式;（）設(shè), 是數(shù)列 的前項和，求.解析考察專題：2.1 , 2.2, 3.1 , 6.1;難度：一般答案（I）由于二次函數(shù)”:仁的圖象經(jīng)過坐標原點,貝V設(shè)；二亠曲戈-於，上二-j八."、又點，均在函數(shù)的圖象上

2、,.當曲心 時，街：耳“ |1 J沁/:*血 川| % -】又，:冷食，適合上式,（7 分）(n)由(i)知，二I _I,. I I I上面兩式相減得：-rri =3 2l +2+2S + * r)-(2岬 +1卜2*1=2整理得幾二卩甘1卜2曲42 (14分)2.已知數(shù)列：的各項均為正數(shù)，是數(shù)列： 的前n項和，且4S = £/ " 12a 3(1)求數(shù)列的通項公式;(2)'的值.答案查看解析解析(1 )當n = 1時，r解出ai = 3,又 4Sn = an2 + 2an 32當'-時4sn-1 =+ 2an-1 3ff-l.,即礙"；-廣2心+

3、J)二° ,:數(shù)列是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，6分二丄打=3 + 2(m -1) = 2 + 1(2)又-“；丨A Id；一7； =-3x2' -2(22+2j+A+“】)2響冷卡$一22"| +(2ff4*l)-2"*二 U212分3.(2013年四川成都市高新區(qū)高三4月月考，19,12分)設(shè)函數(shù)I- 1 -,數(shù)列： 前項和，id. ；,“二1，數(shù)列，滿足'.(I)求數(shù)列：的通項公式，；(n)設(shè)數(shù)列. 的前廠項和為I ,數(shù)列注？的前r項和為,證明：-：.I .答案(I)由'-，得、廣掙- 是以一為公比的等比數(shù)列，故；一，.用錯位相減

4、法可求得:=4(1-< 4. ? 比 ? .(注：此題用到了不等式：丨，| - 進行放大.)4. 已知等差數(shù)列中，.； 是與 的等比中項.(I)求數(shù)列'''的通項公式：(n)若“3 f .求數(shù)列的前項和解析(I)因為數(shù)列'是等差數(shù)列，是 與 的等比中項.所以又因為，設(shè)公差為U; '1 ,所以"',解得'或 ，當心2時，坷=2 , %二齢= 3 ；當d -Q時，叫二4.a 二 2打十"=4八、所以或(6分)(n)因為% 7，所以毎二鈿，所以燈7 加'所以所以I'-SM =2(2ft + 2,+2a+

5、 - +2* w-2")=2-2*u兩式相減得',所以、'.(13 分)5. 已知數(shù)列： 的前項和'，“ - 亠-二門，等差數(shù)列；：中，且公差=:'.(I)求數(shù)列、：的通項公式;(n)是否存在正整數(shù) i，使得殲心U若存在，求出I：的最小值, 若不存在，說明理由解析(i)f-二m：；時，相減得:。，| 二如“ 3 2) y 旳二 2叫 + U “ 二込，又,'數(shù)列. 是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列,b7 = b. + = 5*.b, =3/. h =2 + 1又，(6 分)22令-JU,汽叮":亍二.加卜；：護-乜：2 ：期丁'

6、;-37；+-fL介_得.近=3xi“(33OL +釘|)叫加+1)好:匚=wx3”, :.Jr > 60n，即y > 60，當沖三？，亍 旳，當 «>4 o r > 60'-的最小正整數(shù)為 4.( 12分)6. 數(shù)列滿足'"I S，等比數(shù)列滿足.(I)求數(shù)列 ，；：的通項公式；(n)設(shè)，求數(shù)列；：的前丨項和.解析(I)由，所以數(shù)列是等差數(shù)列，又，所以5勺，即廠2所以.(6分)(n)因為，所以所以'兩式相減的所以'Wk(12 分)7. 已知數(shù)列滿足，其中為數(shù)列 的前，項和.(I )求 的通項公式;(H)若數(shù)列 滿足：(

7、)，求 的前項和公式 .解析I)得，又 時，（5 分）兩式相減得（13 分）廠】 嚴2n 4廠口 n*8.設(shè) d 為非零實數(shù)，anFd+rnd + +(n1) r n d - +n%d (n N ).(I )寫出ai, a2, a3并判斷an是否為等比數(shù)列.若是，給出證明；若不是，說明理由；(H )設(shè)bn=ndan(n N ),求數(shù)列bn的前n項和Sn.答案(I )由已知可得 ai=d, a2=d(1+d) , a3=d(1+d).當 n>2, k W,因此=dxcnk1dk=d(d+i)由此可見，當d=1時，偽是以d為首項,d+1為公比的等比數(shù)列；當d=-1時,ai=-i, an=0(

8、n > 2)此時an不是等比數(shù)列.(7分)n 1(n )由(I )可知,an=d(d+1)-,從而 bn=nd2(d+1) n-1,22n2n1Sn=d 1+2(d+1) +3(d+1) + +(n1) (d+1) -+n(d+1)-.當 d=-1 時,Sn=d2=1.當d=1時，式兩邊同乘d+1得22n1n(d+1) Sn=d (d+1) +2(d+1) + +(n1) (d+1) -+n(d+1).，式相減可得-dSn=d2 1+(d+1) +(d+1) 2+ +(d+1T1 -n(d+1) n化簡即得 Sn=(d+1) n(nd-1) +1.綜上，Sn=(d+1) n(nd-1)

9、+1. (12 分)9.已知數(shù)列an滿足 a1=0, a2=2,且對任意 m, n N 都有 a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n) 2.(I )求 a3, a5;(n )設(shè) bn=a2n+1-a2n-1(n N ),證明：bn是等差數(shù)列;n-1*(川)設(shè) Cn=(an+1-an) q - (q 豐 0, N ),求數(shù)列cn的前 n 項和 Sn.答案(I )由題意，令 m=2, n=1 可得 a3=2a2-ai+2=6.再令 m=3, n=1 可得 a5=2a3-ai+8=20. (2 分)(n )證明：當n N*時，由已知(以n+2代替m)可得a2n+3+a2n-i =2a2n

10、+什8.于疋a2(n+l) +1-a2(n+1) -l-(a2n+1-32n-1) =8,即 bn+1-bn=8.所以，數(shù)列bn是公差為8的等差數(shù)列.(5分)(川)由(I )、( n )的解答可知bn是首項b1=a3-a1=6,公差為8的等差數(shù)列.則 bn=8n-2,即 a2n+1-a2n-1=8n-2.另由已知(令m=1)可得，an=2-(n-1) 2.另E么，an+1-an=Bn-2-2n+仁-2n+仁2n.n-1于疋，Cn=2nq .當 q=1 時,Sn=2+4+6+ +2n=n(n+1).當 ql時,Sn=2 q°+4q1+6q2+2n n-q.兩邊同乘q可得qSn=2 q1

11、+4 q2+6 q3+2(n1) qn-1+2n qn.上述兩式相減即得(1-q) Sn=2(1+q1+q2+)-2nqn=2I ' '".l-2nqn=21-tn + l) qn+nqr|+1叫時所以Sn=2 -r n(n+l)(q=l) 2叫屮心卡耳*+1(1).綜上所述,Sn=l(q J)(12分) 10.已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，a1=2,且a2,a4,a8成等比數(shù)列.求數(shù)列an的通項公式；求數(shù)列an 的前n項和.答案(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d(d豐0),由條件可知：(2+3d) =(2+d) (2+7d),解得 d=2.(4 分)故數(shù)列an的通項公

12、式為 an=2n(n N ).(6分)mlml由知an' =2n x 3n，設(shè)數(shù)列an 的前n項和為Sn,則 5=2 x 2+4 x 3+6 x 6+ +2n Xn,32Sn=2 X 4+4 X 6+ +(2n2) x+2n X 嚴2,故-8Sn=2(32+34+36+3n)-2n X?+2,(8 分)所以數(shù)列an 的前n項和Sn=.(12分)11.已知等差數(shù)列 滿足込二二匚一空-二艮又數(shù)列 中，訃二£且(1)求數(shù)列 M,M 的通項公式；(3)若1 '' 對一切正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.答案(1)設(shè)等差數(shù)列：的公差為d，則有'5十鮎=5, +4/

13、) 2(0, + it - 3.解得d = 2,. .； .'. . I -,門瓦-h產(chǎn)0，'鋰二工（必f），.數(shù)列：是以 ；為首項,公比為，的等比數(shù)列.也=3x3"分由可得-fwy,.C =址±巴=”.尹fln-K=ci+cj*cj +f；.i + £， -I :ISMn=+u“ + （甘i）冥畀乂（2）“（l）-（2）得鮎扎二y 35 Y +十瀘I 小3卬二土二_-wX3如,遼J j； ：F"八分（3八扌（亦 IgS 1 | 訴2_1）燈訶-9（w+l）x3->0 ,當I時，覽取最小值，旳二*,曲沖呱扌，即呱卜1,當:'

14、當：o：-d 時,解得-即實數(shù)訊的取值范圍是 ynQ<ttt<-或刪> I *.為常數(shù),12.設(shè)佗為數(shù)列；的前巴項和，對任意的'，都有-(1)求證：數(shù)列'，r-是等比數(shù)列;，求數(shù)列J(2 )設(shè)數(shù)列；宀；的公比7-；，JI，數(shù)列滿足 W-f 心仝的通項公式;(3)在滿足(2)的條件下，求數(shù)列的前項和答案188.( 1)當"I時，解得又嶋為常數(shù)，且士 ，數(shù)列m是首項為1,公比為】I "的等比數(shù)列.W（2 ）由（1）得,馬/"“) I I tn 勿 2d丄 25越亠,并一】tt廠汗和Ceff是首項為2 ,公差為1的等差數(shù)列.丄丄s 1卜

15、2如1h 2 K f 2." 加1 （肚“）.分n 2” 14-丄 亍一鞏2-1）（3）由（2）知，貝U ''.町二201 + 2.3 + 25十斗2" （加一3） + 2” 箕（加一1）'-1. 1 - I1 I： '< I得八21 （| 2* 1）= 2"dx（2w-）-2 =2"*' x（2w-3）46I分413.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且S4=4S2, a2n=2an+1.(I )求數(shù)列an的通項公式；叫+u*(n )設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn,且Tn+ ：=入(為常數(shù)),令cn=b2n(n N ),求數(shù)列On的前n 項和Rn.答案(I )設(shè)等差數(shù)列an的首項為ai,公差為d.由 S4=4S2, a2n=2an+1 得id