6-1定積分的元素法

1、第六章定積分應(yīng)用上一章，已經(jīng)系統(tǒng)地介紹了定積分的基本理論和計算方法。在這一章中，將利用這些知 識來分析解決一些實際問題。定積分的應(yīng)用很 廣泛，在自然科學和生產(chǎn)實踐中有許多實際問 題最后都歸結(jié)為定積分問題。本章不僅對一些 幾何物理量導出計算公式，更重要的是介紹運 用“微元法”將所求的量歸結(jié)為計算某個定積 分的分析方法。微元法，面積，弧長，旋轉(zhuǎn)體的體積，定 積分在物理方面的應(yīng)用，EJ瑋點 微元法，參數(shù)方程確定的曲線所圍的 面積，定積分在物理方面的應(yīng)用?；W要求頤餵龍掌握微元法的基本思想，并鑽蠶幾現(xiàn)瞬瓣出 會求旋轉(zhuǎn)體的體積 會求平面曲線的弧長 會用定積分解決物理方面的實際問題。第一節(jié)定積分的微元法1

2、=通過對不均勻量（如曲邊梯形的面積， 變速直線運動的路程）的分析，采用“分 割、近似代替、求和、取極限”四個基本 步驟確定了它們的值，并由此抽象出定積分的概念，我們發(fā)現(xiàn)，定積分是確定眾多 的不均勻幾何量和物理量的有效工具。那 么，究竟哪些量可以通過定積分來求值呢? 我們先來回顧一下前章中講過的方法和步 驟是必要的。設(shè)量U非均勻地分布a 0 上求u的步驟分用分點 a = xQ<x<-<xn_i<xn=b 將 區(qū)間分成n個小區(qū)間x._1?x.,Az = £ -兀丿把U在小區(qū)間上的局部量 用某個函數(shù)門工）在血呃,和）的值與之積代替AUfAx,和 把局部量的近似值累加

3、得到總量 的近似值”即”1=1 1=1精2=max Axin li <.nbu = jf(x)dxi=la由此可知，若某個非均勻量U在區(qū)間S如上 滿足兩個條件：(1) 總量在區(qū)間上具有可加性，即把區(qū)間 分成幾個小區(qū)間時總量就等于各個小區(qū)間上 的局部量之和，(2) 局部量可用/)-近似表示 它們之間只相差一個加，的高階無窮小不均勻量U就可以用定積分來求得1=這是建立所求量的積分式的基本方法 分析其實質(zhì)，不難將四步簡化為兩步 第一步“分割取近似”含“分”、“粗”兩步即將區(qū)間分成子區(qū)間 在其上用均勻變化近似代替非均勻變化 求得局部量的近似值A(chǔ)UfAx, 它對應(yīng)著積分表達式中的被積式fMdx 第二步“求和取極限”含“和”、“精”兩步:各局部量的近似 值相加并取極限得到總量的準確值即對被積式作積分U = f(x)dx I O求微元"寫出典型小區(qū)間x,x+dxca,b 上的局部量Au的近似值dU = f(x)dx這就是局部量的微元II O求積分即把微元du在區(qū)間。，方上“無