2009年高考試題——數(shù)學(xué)理(四川卷)

1、.2009 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù) 學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)科）第卷本試卷共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。參考公式：如果事件 A，B互斥，那么 球的表面積公式2S 4RP(A B) P(A) P(B) 其中 R表示球的半徑如果事件 A，B相互獨立，那么 球的體積公式43V R3P( AgB) P( A)gP(B) 其中 R表示球的半徑一、選擇題：1. 設(shè)集合2S x | x 5 ,T x| x 4x 21 0 , 則SI T. x| 7 x 5 . x| 3 x 5 . x| 5 x 3 . x| 7 x 5a log

2、x(當x 2時)2.已知函數(shù)f (x) x2 4 在點x 2處 (當x 2時）x 2連續(xù)，則常數(shù) a 的值是. . . .w.w.w.k.s.5.u.c. o.m.復(fù)數(shù)2(1 2i)3 4i的值是. . .i .i4. 已知函數(shù) ( ) sin( )( )f x x x R ，下面結(jié)論錯誤的是2w.w.w.k.s.5.u. o.mA.函數(shù) f (x) 的最小正周期為 2 B.函數(shù) f (x) 在區(qū)間 0,上2是增函數(shù)C.函數(shù) f (x) 的圖像關(guān)于直線 x 0對稱 D.函數(shù) f (x) 是奇函數(shù)5. 如 圖 ， 已 知 六 棱 錐 P ABCDEF 的 底 面 是 正 六 邊 形 ，'

3、.PA 平面ABC , PA 2AB ，則下列結(jié)論正確的是. PB AD .平面 PAB 平面PBCw.w.w.k.s.5. u.c. o.mC. 直線 BC 平面 PAE . 直線PD與平面 ABC 所成的角為 456. 已知 a, b,c, d 為實數(shù)，且 c d。則“ a b”是“ a c b d ”的A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件w.w.w.k.s.5.u. o.mC充要條件 D. 既不充分也不必要條件7. 已知雙曲線2 2x y2 1( 0)b2 b的左右焦點分別為 F1, F2 ，其一條漸近線方程為 y x ，點P( 3, y ) 在該雙曲線上，則0uuur u u

4、uurPF ?PF1 2=A. 12 B. 2 C .0 D. 4w.w.w.k.s.5.u. c.o. m8. 如圖，在半徑為 3 的球面上有 A, B,C 三點， ABC 90 , BA BC ，球心 O到平面 ABC 的距離是3 22，則 B、C 兩點的球面距離是A. B. C.343D.2w.w.w.k.s.5. u.c. o.m9. 已知直線 l1 : 4x 3y 6 0 和直線 l2 : x 1，拋物線2 4y x上一動點 P 到直線 l1 和直線l 的距離之和的最小值是2A.2 B.3 C.115D.3716w.w.w.k.s.5.u. c.o. m10. 某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)

5、品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用 A 原料 3 噸、B 原料 2 噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用 A 原料 1 噸、B 原料 3 噸。銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤 5 萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤 3 萬元，該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗 A 原料不超過 13 噸，B 原料不超過 18 噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤是w.w.w.k.s.5.u. c.o. mA. 12 萬元 B. 20 萬元 C. 25 萬元 D. 27 萬元w.w.w.k.s.5.u.c. o.m11.3 位男生和 3 位女生共 6 位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端， 3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是A. 360 B. 228

6、C. 216 D. 96w.w.w.k.s.5.u. c.o. m12. 已 知函數(shù) f (x) 是定義 在實數(shù) 集 R 上 的不恒 為零的偶 函數(shù)，且對任 意實數(shù) x 都有'.xf (x 1) (1 x) f (x) ，則5f ( f ( ) 的值是2w.w.w.k.s.5.u.c. o.mA.0 B.12C.1 D.52w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m2009 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù) 學(xué)（理科）第卷考生注意事項：請用 0.5 毫 米 黑 色 墨 水 簽 字 筆 在 答題卡上書寫作答，在試題卷上書寫作答無效 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 4

7、分，共 16 分把答案填在題中橫線上13.16(2 x )2x的展開式的常數(shù)項是 （用數(shù)字作答）w.w.w.k.s.5.u.c. o.m14. 若2 2O1 : x y 5 與2 2O2 : (x m) y 20( m R) 相交于 A、B 兩點，且兩圓在點 A處的切線互相垂直，則線段 AB 的長度是w.w.w.k.s.5. u.c. o. m15. 如圖，已知正三棱柱 ABC A1B1C1 的各條棱長都相等， M 是側(cè)棱CC 的 中 點 ， 則 異 面 直 線 AB1和BM 所 成 的 角 的 大 小1是 。w.w.w.k.s.5.u.c. o.m16 設(shè) V 是 已 知 平 面 M 上 所

8、 有 向 量 的 集 合 ， 對 于 映 射f :V V ,a V ，記 a 的象為 f (a) 。若映射 f :V V 滿足：對所有 a,b V 及任意實數(shù), 都有 f ( a b) f (a) f (b) ，則 f 稱為平面 M 上的線性變換?，F(xiàn)有下列命題：設(shè) f 是平面 M 上的線性變換，則 f (0) 0w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m對 a V,設(shè)f (a) 2a ，則 f 是平面 M 上的線性變換；w.w.w.k.s.5.u.c. o.m若 e是平面 M 上的單位向量，對 a V ,設(shè)f (a) a e，則 f 是平面 M 上的線性變換；設(shè) f 是平面 M 上的線性變換

9、， a,b V ，若 a,b共線，則 f ( a), f (b) 也共線。其中真命題是 （寫出所有真命題的序號）三、解答題：本大題共 6 小題，共 74 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17. （本小題滿分 12 分）'.在VABC中，A,B 為銳角， 角 A,B,C 所對應(yīng)的邊分別為 a,b, c ，且3 10cos 2A ,sin B5 10（I）求 A B 的值；（II）若 a b 2 1，求 a, b, c 的值。18. （本小題滿分 12 分）為振興旅游業(yè)，四川省 2009 年面向國內(nèi)發(fā)行總量為 2000 萬張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡（簡稱金卡） ，向

10、省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡（簡稱銀卡） 。某旅游公司組織了一個有 36 名游客的旅游團到四川名勝旅游，其中1 2游客中有 持金卡，在省內(nèi)游客中有 持銀卡。3 334是省外游客，其余是省內(nèi)游客。在省外（I）在該團中隨機采訪 3 名游客，求恰有 1 人持金卡且持銀卡者少于 2 人的概率；（II）在該團的省內(nèi)游客中隨機采訪 3 名游客，設(shè)其中持銀卡人數(shù)為隨機變量 ，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望 E 。19（本小題滿分 12 分）如圖，正方形 ABCD所在平面與平面四邊形 ABEF 所在平面互'.相垂直， ABE是等腰直角三角形， AB AE ,FA FE , AEF 45（I）求證： EF 平面BC

11、E ；（II）設(shè)線段 CD 的中點為 P，在直線 AE 上是否存在一點 M ，使得 PM P平面BCE ？若存在，請指出點 M 的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由；（III）求二面角 F BD A的大小。20（本小題滿分 12 分）已知橢圓2 2x y 2 1(a b 0)a b的左右焦點分別為 F1, F2 ，離心率2e ，右準線方程為2x 2。（I）求橢圓的標準方程；（II）過點uu uu r uuuurF 的直線 l 與該橢圓交于 M ,N 兩點，且 F2M F2 N12 263，求直線 l 的方程。21. （本小題滿分 12 分）x已知 a 0,且a 1函數(shù) f (x) lo

12、g (1 a ) 。a'.（I）求函數(shù) f (x) 的定義域，并判斷 f (x) 的單調(diào)性；（II）若n Nf (n)a* , lim ;求nna a（III）當 a e（ e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，設(shè) h( x) (1 ef ( x) )( x2 m 1) ，若函數(shù) h( x) 的極值存在，求實數(shù) m 的取值范圍以及函數(shù) h( x) 的極值。22. （本小題滿分 14 分）設(shè) 數(shù) 列a 的 前 n 項 和 為 Sn ， 對 任 意 的 正 整 數(shù) n ， 都 有 an 5Sn 1 成 立 ， 記n4 an *b (n N )n1 an。（I）求數(shù)列b 的通項公式；n（II）記*c b2

13、 b2 1(n N ) ，設(shè)數(shù)列n n nc 的前 n項和為 Tn ，求證：對任意正整數(shù) n 都有n3T ；n2（III）設(shè)數(shù)列b 的前 n 項和為 Rn 。已知正實數(shù) 滿足：對任意正整數(shù) n, Rn n 恒成立，n求 的最小值。'.數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）參考答案一、 選擇題：本體考察基本概念和基本運算。每小題 5 分，滿分 60 分。（1） C （2） B (3) A (4) D (5) D (6) B(7) C (8) B (9) A （10）D (11) B (12) A二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識和基本運算。每小題 4 分，滿分 16 分。o（13） -20 （14）4 （15）9

14、0（16）三、解答題（17）本小題主要考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系，兩角和差的三角函數(shù)、二倍角公式、正弦定理等基礎(chǔ)知識及基本運算能力。解：（） Q A、 B 為銳角，sin10B ，102 3 10cos B 1 sin b10又2 3cos2 A 1 2sin A ，5sin5A ，52 2 5cos A 1 sin A ，5cos( A B) cos A cosB sin A sin B2 5 3 10 5 10 25 10 5 10 2Q 0 A BA B 6 分4（）由（）知3C ,4sin 2C . 2由正弦定理a b csin A sin B sin C得5a 10b 2c ，即 a

15、2b ，c 5bQ a b 2 1，2b b 2 1， b 1a 2,c 5 12 分（18）本小題主要考察相互獨立事件、互斥事件、隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概率計算，考察運用概率只是解決實際問題的能力。解：（）由題意得，省外游客有 27 人，其中 9 人持金卡；省內(nèi)游客有 9 人，其中 6 人持銀卡。設(shè)事件 B 為“采訪該團 3 人中，恰有 1 人持金卡且持銀卡者少于 2人”，事件 A1為“采訪該團 3 人中， 1 人持金卡， 0 人持銀卡”，'.事件 A2 為“采訪該團 3 人中， 1 人持金卡， 1 人持銀卡”。P(B) P(A ) P(A )1 21 2 1 1 1C C C

16、 C C9 21 9 6 213 3C C36 369 27 34 1703685所以在該團中隨機采訪 3 人，恰有 1 人持金卡且持銀卡者少于 2 人的概率是3685。 6 分（） 的可能取值為 0，1，2，3P( 0)3CC339184,P( 1)1 2C C6 3 3C9314P( 2)2 1C C6 33C91528，P( 3) 36 39CC1521，所以 的分布列為0 1 2 3P 13 15 584 14 28 21所以1 3 15 5E 0 1 2 3 2 ， 12 分84 14 28 21（19）本小題主要考察平面與平面垂直、直線與平面垂直、直線與平面平行、二面角等基礎(chǔ)知識，

17、考察空間想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)探究意識，考察應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力。解法一：（）因為平面 ABEF 平面 ABCD, BC 平 面 ABCD ，平面 ABEF I 平面 ABCD AB，所以 BC 平面 ABEF 所以 BC EF .因 為 ABE 為 等 腰 直 角 三 角 形 ，AB AE ，o 所以 AEB 45又因為 AEF 45o ，'.o o o所以 FEB 45 45 90，即 EF BE B ,所以 EF 平面 BCE 。 4 分（）存在點 M ,當 M 為線段 AE的中點時， PM平面 BCE取 BE的中點 N，連接 AN,MN，則 MN所以 PMNC為

18、平行四邊形，所以 PMCN12ABPC因為 CN在平面 BCE內(nèi)，PM不在平面 BCE內(nèi)，所以 PM平面 BCE 8 分（）由 EAAB,平面 ABEF平面 ABCD，易知， EA平面 ABCD作 FGAB,交 BA的延長線于 G，則 F GEA。從而， F G平面 ABCD作 G HBD于 G，連結(jié) F H，則由三垂線定理知， BDFH因此， AEF為二面角 F-BD-A 的平面角因為 FA=FE, AEF=45° ,所以 AFE=90°， FAG=45°.設(shè) AB=1,則 AE=1,AF=22.FG=AF·sinFAG=121在 Rt FGH中， G

19、BH=45°,BG=AB+AG=1+2=32,GH=BG·sinGBH=32·22=3 24在 Rt FGH中，tanFHG=FGGH=23故二面角 F-BD-A 的大小為 arctan23. 12 分解法二 :( ) 因為 ABE為等腰直角三角形 ,AB=AE,所以 AEAB.又因為平面 ABEF平面 ABCD,AE 平面 ABEF,平面 ABEF平面 ABCD=AB,所以 AE平面 ABCD.所以 AEAD.因此,AD,AB,AE 兩兩垂直 , 以 A 為坐標原點 , 建立如圖所示的直角坐標系 A-xyz.設(shè) AB=1,則 AE=1，B（0，1，0），D (1

20、, 0, 0 ) ,E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).因為 FA=FE,AEF = 45 °,'.所以 AFE= 90°.1 1從而， F (0, , ) .2 2uuur uuur uuur 1 1EF (0, , ) , BE (0, 1,1), BC (1,0,0)所以2 2uuur uuur u uur uuur 1 1EF ?BE 0 0, EF ?BC 0 2 2.所以 EFBE, EFBC.因為 BE 平面 BCE,BCBE=B ,所以 EF平面 BCE.( ) 存在點 M,當 M為 AE中點時 ,PM平面 BCE.1 1M (

21、 0,0,), P ( 1, ,0 ).2 2uuuur 1 1從而 PM ( 1, , )= ,2 2uuuur u uur 1 1于是 PM · EF ( 1, , )= ·2 2 1 1(0, , ) 2 2=0所以 PMFE,又 EF平面 BCE，直線 P M不在平面 BCE內(nèi)，故 PMM平面 BCE. 8 分( ) 設(shè)平面 BDF的一個法向量為urn1，并設(shè)urn1=（x,y,z）.u uuvBD （1， 1，0）uv u uuvn gBD 01uv u uuvn gBF 01，u uuv3 1BF 0 （ ， ，）2 2x y 03 1即y z 02 2取 y=

22、1，則 x=1，z=3。從而uuvn 113（ ，）。1取平面 ABD 的一個法向量為u uvn2（0，0，1）。uv uuvuuv uuv g n n 3 3 11 1 2cos(n , n ) uv uuv1 211g1 11n n1 2。故二面角 FBDA 的大小為 arccos3 1111。 12 分（20）本小題主要考查直線、橢圓、平面向量等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題及推理運算能力。c 2解：（）有條件有a 2 2a2c，解得 a 2，c=1。'.2 2b a c 1。所以，所求橢圓的方程為2x22y 1。 4 分（）由（）知 F1( 1,0) 、 F（2 1，0

23、）。若直線 l 的斜率不存在，則直線 l 的方程為 x=-1.將 x=-1 代入橢圓方程得y22。不妨設(shè)2M ( 1, ) 、22N（ 1， ），2uuuvu uuuvF M F N2 22 2( 2, ) ( 2, ) ( 4,0)2 2.uuuvu uuuvF2M F2N 4, 與題設(shè)矛盾。直線 l 的斜率存在。設(shè)直線 l 的斜率為 k，則直線的方程為 y=k（x+1）。設(shè)M (x ，y ) 、 N(x2 , y2 ) ，1 1聯(lián)立2x2 y 12y=k(x+1)，消 y 得2 2 2 2(1 2k )x 4k x 2k 2 0 。由根與系數(shù)的關(guān)系知24kx x1 2 21 2k，從而2k

24、y y k(x x 2)1 2 1 2 21 2k，uuuuv uuuuvQ F2M ( x1 1, y1) ， F2 N (x2 1, y2 ) 又 ，uuuuv uu uuvF2M F2 N (x1 x2 2, y1 y2 )。uuuu v uuuuv2 2 2F2M F2 N ( x1 x2 2) (y1 y2 )28k 2 2k2 2( ) ( )2 21 2k 1 2k4 24(16k 9k 1)4 24k 4k 14 24(16k 9k 1) 2 262( )4 24k 4k 1 3。'.化簡得4 240k 23k 17 0解得 2 2 17k 1或者k 40k 1.所求直

25、線 的方程為 或者l y x 1 y x 1（21）本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列的極限、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識、考查分類整合思想、推理和運算能力。x 解：（）由題意知 1 0a當0 a 1時，f (x)的定義域是（ 0， ）；當 a 1時，f (x)的定義域是（ ，0）f (x)=x x-a a ln aglog ex a xa a1 1x x當0 1 (0, ). 1 0, 0,a 時，x 因為a a 故f (x)<0, 所以f(x) 是減函數(shù)x x當 1 ( ,0), 1 0, 0, ( ) 0, ( )a 時，x 因為a a 故f x 所以f x 是減函數(shù) .（4 分）（）因為n f (

26、n) nf (n) log (1 a ),所以a 1 aa由函數(shù)定義域知 1na >0,因為 n 是正整數(shù)，故 0<a<1.所以f (n) 1 n 1a alim limn nn na a a a a（）x 2 x 2（h x) e ( x m 1)(x 0), 所以h ( x) e (x 2x m 1)令2h (x) 0,即x 2x m 1 0,由題意應(yīng)有 0，即m 0 當 m=0 時， h (x) 0有實根 x 1，在 x 1點左右兩側(cè)均有 h ( x) 0 故無極值 當 0 m 1時， h ( x) 0 有兩個實根 x1 1 m, x2 1 m當 x 變化時， h (x

27、) 、 h(x) 的變化情況如下表所示：x( ,x ) x1 ( x1, x2 ) x2 ( x2 ,0)1h (x) + 0 - 0 +h(x) 極大值 極小值 '.h( x) 的極大值為1 m2e (1 m) ， h(x) 的極小值為1 m2e (1 m) 當 m 1時， h ( x) 0 在定義域內(nèi)有一個實根， x 1 m同上可得 h( x) 的極大值為1 m2e (1 m)綜上所述， m （0， ）時，函數(shù) h(x) 有極值；當 0 m 1時h(x) 的極大值為1 m2e (1 m) ， h( x) 的極小值為1 m2e (1 m)當 m 1時， h( x) 的極大值為1 m2e (1 m)（22）本小題主要考查數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識、考查化歸思想、分類整合思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力。解：（）當 n 1時，a 5a 1, a1 1 114又Qa 5a 1,a 5a 1n n n 1 n 11a a 5a ,即a an 1 n n 1 n 1 n41數(shù)列 an 成等比數(shù)列，其首項 a1 ，公比是4q1