15.1.2《分式的基本性質(zhì)》典型例題

1、分式的基本性質(zhì)典型例題beac例1下列分式的變形是否正確，為什么?b ab 2 a a例2寫出下列等式中的未知分子或未知分母。(1)a b ()ab2a2b3(2)a2 2a 1不改變分式的值,將下列各分式中的分子和分母中的各項系數(shù)都化為整數(shù).0.2x 0.3y0.5x 0.02y(2)0.2xTx43y例4不改變分式的值，使下列各分式中的分子、分母的最高次項系數(shù)為正數(shù).(1) 21 a a231 a a(2)x 3x2 3x 2例5已知不論x取什么數(shù)時，分式業(yè)衛(wèi)（bx 5 0）都是一個定值，求bx 5a、b應(yīng)滿足的關(guān)系式，并求出這個定值.例6已知一個圓臺的下底面是上底面的 4倍，將圓臺放在桌

2、面上，桌面承受壓強為P牛頓/米2，若將圓臺倒放，則桌面受到的壓強為多少?例7 不改變分式的值，使下列分式的分子、分母前都不含”號:1 1x y不改變分式的值，使分式 丄的分子、分母中的多項式的系數(shù)0.5x 0.4y都是整數(shù).判定下列分式的變形是不是約分變形,變形的結(jié)果是否正確，并說明理由:(1)a 1；Ob Tb ；(2)a ba2 b21Ob ；(3)x3 2x2 x 2x 2x32x ；a bb2 a2例10化簡下列各式:(1)3a 3b；45a2b3 ；(2)4a2 ； 2a b 8b16x2 3x3x2x2 2cx x x x 6參考答案例1分析 分式恒等變形的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)，應(yīng)

3、該嚴(yán)格地用基本性 質(zhì)去衡量，M 0是基本性質(zhì)的生果組成部分，應(yīng)特別注意解(1)：已知分式b/a中已隱含了 a 0 ,-用a分別乘以分式的分子、分 母，分式的值不變，故(1)是正確的.(2) 因為已知分式a/b中，沒限制c，c可以取任意數(shù)，當(dāng)然也包括了c 0，當(dāng)分式的分子、分母都乘以c 0時，分式?jīng)]意義，故(2)是錯誤的.例2分析(1) 式中等號兩邊的分母都是已知的，所以從觀察分母入手，顯然，a2b3是 由ab2乘以ab得到的，由分式的基本性質(zhì)，a b也要乘以ab，所以括號內(nèi)應(yīng)填 (a b)ab(2) 式中等號兩邊分子都已知，所以先觀察分子， a2 2a 1 (a 1)2除以 a 1得到右邊分子

4、a 1，按照分式的基本性質(zhì)，(a3 1) (a 1) a2 a 1，故 括號內(nèi)應(yīng)填a2 a 1 -解：(1)當(dāng)空?譽ab2a2b3(2) a2 2a 1 a 1(2)32a 1 (a a 1)例3 分析 要把分式的分子、分母中各項系數(shù)都化為整數(shù)，可根據(jù)分式的 基本性質(zhì)，將分子、分母都乘以一個恰當(dāng)?shù)牟粸榱愕臄?shù)，怎樣確定這個數(shù)呢？(1) 中分子、分母中的各項系數(shù)是小數(shù)，這個數(shù)應(yīng)是各項系數(shù)的最小公倍數(shù).1(2) 中分子、分母中各項系數(shù)(0.2丄)是分?jǐn)?shù)，這個數(shù)應(yīng)該是各項系數(shù)的5分母的最小公倍數(shù)，即5, 2, 4, 3的最小公倍數(shù)60.解：(1)法 1:原式 (0.2x 0.3y) 50(0.5x 0

5、.02y) 5025x y法 2：原式(.2x 0.3y) 100(0.5x 0.02y) 10020x 30 y 10x 15y50x 2y 25x y（2）原式1 1(Tx 尹)60 12x 30y(lx |y) 60 15x 40y說明 在將分式的分子、分母都乘以（或除以）同一個不為零的數(shù)時，要遍乘分子分母的每一項，防止漏乘例4分析（1）式中分子要變號，分母也要變號，所以應(yīng)該同時改變分子、分母的符號.（2）式中分母需要變號，分子不需要變號，所以需要同時改變分母和分式本身的符號解：（1） 21 a a231 a a2 2(1 a a ) a a 1(1 a a ) a a 1x 3x2 3

6、x 2x 3x 322(x 3x 2) x 3x 2例5 分析 在研究某些有關(guān)特值的數(shù)學(xué)問題時，我們可以不考慮一般值,而是直接利用取符合條件特殊值代入研究解決，這就是所謂的特殊值法解：當(dāng)x 0時,x 1時,ax 3 bx 5 ax 3 bx 5不論x取什么實數(shù),ax 3 一疋一一bx 5個定值a 33，二 5a 15 3a 15b 553I 5a 3b a -b53把a 3b代入原式，得533bx 5 bx 5bx 553 a、b的關(guān)系為5a 3b ;定值為35例6 解：設(shè)圓臺的壓力為G牛頓，下底面積為S1米2，上底面積為S2米2G則p -，S1偲二 G PS, 4PS2當(dāng)圓臺倒放時，桌面受到

7、的壓強為：G 4SP 4P件頓/米2)S2S2答：桌面受到的壓強為4P牛/米2.說明 運用分式知識，有助于解決物理中問題(1)衛(wèi)；(2)坐;(3) 匯；(4)a b .2na6x y2a 3b例7 分析 根據(jù) 分式的變號法則：分子、分母、分式的符號中，同時改 變其中任意兩個，分式的值不變”.解：(1)同時改變分子和分式的符號，得5m5m .2n2n ；(2) 同時改變分母和分式的符號，得4b 4bG 7 ；(3) 先確定是分母的符號，再變號，得3x3x3x .6x y 6x y 6x y (4) 先確定是分子的符號，然后變號，得2a 3b2a 3b2a 3ba ba ba b說明1 分式中的分

8、數(shù)線實際上起到了括號的作用如果分式的分子或分母是多項式，要把它看成是一個整體，考慮這個整體的符號，如(3)，(4)題,千萬不可誤解成3x3x或 2a 3b2a 3b .2a 3b 3b 2a2 對于(4)題，也可處理成 2a匯纟的形式.a b a b例8分析此分式分子中各系數(shù)的最小公倍數(shù)是6,分母中各系數(shù)的最小公倍數(shù)是10，而10和6的小公倍數(shù)是 分母同時乘以30.30于是可利用分式的基本性質(zhì)：分子、1x 解：213y1 x21 y3300.5x0.4y1x225y3015x 10y15x 12y說明1利用分式基本性質(zhì)將分式的分子、分母化成整系數(shù)形式，體現(xiàn)了 數(shù)學(xué)化繁為簡的策略，并為分式作進一

9、步處理，提供了便利條件.2操作過程中，用數(shù)30的確定是問題的關(guān)鍵所在.因此不僅要考慮到分子、 分母，還要考慮分式，使化成整系數(shù)一次到位.例9 分析 約分變形的前提是分子、分母有公因式.解：(1)、(2)、(3)題的變形都不是約分，結(jié)果都是錯誤的.(1) 分式的分子和分母分別是一個整式，利用分式的基本性質(zhì)，除以一個 整式a ”是對分子、分母的整體進行的而只對分子和分母中的某一項進行，就 違背了分式基本性質(zhì)的使用前提，所以是錯誤的.(2) 分式的分母是個平方和的形式，不能分解.因此分子、分母沒有公因 式，它是最簡分式故此題的變形是毫無根據(jù)的.(3) 當(dāng)分子、分母都是乘積的形式，才有約分的可能，而這

10、里x3 2x2與x 2 是和的形式，因此不能進行約分.正確的結(jié)果解法是：3222 ax 2x x2xx2 x2 x 2 x 12,x 1x 2x 2x 2(4) 此題是約分變形.因此分母化成a b a b的形式，與分子約去公因式a b可得.說明1.對于代數(shù)式的恒等變形形式多樣，但每一種變形卻是運用定義、 定理，并根據(jù)法則規(guī)范操作，而絕不能隨心所欲；2.對(1)、(2)、(3)題的變形錯誤，實際上也可以舉反例說明.如(1)題：當(dāng)a 2，b 3時,2 313(2)、(3)題同理.例10分析 化簡就是把分式的分子、分母中的公因式約去使其成為最簡公式因此對分子、分母是單項式時候，先分別化成與公因式的乘積形式；對于多項式仍然要先分解因式.解:(1)3a3b45a2b3c2.3a b aa ；2 2 2 3a2b 15b215b2(2)a4 1622a b 8b2 2a 4 a 42b a242b(3)2 2x 3x x 3x 22 2XXX說明1 當(dāng)分式中