2.4質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)

1、§ 2.4質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)剛體平面平行運(yùn)動(dòng)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2. 4. 1、質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)（1）勻速圓周運(yùn)動(dòng) 如圖2-4-1所示，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為R的圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí),它的位置可用角度B表示（習(xí)慣上以逆時(shí)針轉(zhuǎn)角正, 順時(shí)針轉(zhuǎn)角為負(fù)），轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢用角速度表示：質(zhì)點(diǎn)P的速度方向在圓的切線方向，大小為3 （或V）為常量的圓周運(yùn)動(dòng)稱為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。這里的“勻速”是指勻角速度或勻速率，速度的方向時(shí)刻在變。因此，勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)具有加速度,其加速度沿半徑指向圓心,稱為向心加速度（法向加速度）向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大?。?）變速圓周運(yùn)動(dòng)3 （或V）隨時(shí)間變化的圓周運(yùn)動(dòng)，稱為變速圓周運(yùn)動(dòng)，描述角

2、速度變化快慢的物理量為角加速度質(zhì)點(diǎn)作變速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度的大小和方向都在變化。將速度增量V分解為與V平行的分量 Z/和V垂直的分量，如圖2-4-2。V相當(dāng)于勻速圓周運(yùn)動(dòng) 個(gè)的*，八V11的大小為類似于變速直線運(yùn)動(dòng)R-v12 =v2 -v2R-、R=r :,質(zhì)點(diǎn)P的加速度為其中ar，an就是切向加速度和法向加速度。B為常量的圓周運(yùn)動(dòng)，稱為勻變速圓周運(yùn)動(dòng),圖 2-4-2(3)圓周運(yùn)動(dòng)也可以分解為二個(gè)互相垂直方向上的分運(yùn)動(dòng)。參看圖2-4-3 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)A在t=0時(shí)刻從x正方向開始沿圓周逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)， 在x方向x = Rcos tit在 y方向上：y=Rsn "T匕)從x和y方向上

3、的位移、速度和加速度時(shí)間t表達(dá)的參數(shù)方程可以看出：勻速圓周運(yùn)動(dòng)可以分為兩個(gè)互相垂直方向上的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，它們的相位相差22. 4. 2、剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)剛體平面平行運(yùn)動(dòng)的特征是，剛體上的任意質(zhì)點(diǎn)都作平行于一個(gè)固定平面的運(yùn)動(dòng)。如圓柱沿斜面的滾動(dòng)，即為平面平行運(yùn)動(dòng)?？扇傮w上任意平行于固定平面的截面作為研究對(duì)象。剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)，常有兩種研究萬法：一種是看成隨基點(diǎn)(截面上任意 一點(diǎn)都可作為基點(diǎn))的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)；另一種是選取截面上的瞬 時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心S (簡(jiǎn)稱瞬心)為基點(diǎn)。瞬心即指某瞬間截面上速度為零的點(diǎn)。 這樣, 剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)看成僅作繞瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)。確定瞬心的方法有兩種：如圖2-4-

4、4(a)所示，若已知截面上兩點(diǎn)的速 度，則與兩速度方向垂直的直線的交點(diǎn) 即為瞬心?；蛉鐖D2-4-4(b)所示，已知 截面轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度及截面上某一點(diǎn)A圖 2-4-4的速度Va，則在與速度垂直的直線上，與 A點(diǎn)距離為Va/的點(diǎn)即為瞬心。注意，瞬心的速度為零，加速度不一定為零。2. 4. 3、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體上或其延展部分有一根不動(dòng)直線，該直線稱為定軸，剛體 繞這一軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)都在與軸垂直的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)， 各點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不同，在某一時(shí)刻，剛體上所有各點(diǎn)的角位移、角速度和 角加速度都是相同的。而各點(diǎn)的線位移、線速度和線加速度則隨各點(diǎn)離開轉(zhuǎn)軸的 垂直距離不同

5、而不同。2. 4. 4、一些求曲率半徑的特殊方法2 2先看橢圓曲線A2 B2，要求其兩頂點(diǎn)處的曲率半徑。介紹以下兩種方法:（1）將橢圓看成是半徑 R=A （設(shè)A> B ）的圓在：平面上的投影，圓平面和平面的夾角：滿足關(guān)系式（如圖2-4-5)設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)以速率v在圓上做勻速圓周運(yùn)動(dòng),2va =則向心加速度A，從上圖中可以看出，當(dāng)頂點(diǎn)的投影在橢圓的長(zhǎng)軸（x軸）上的P點(diǎn)時(shí)，其速率和加速度分別為:當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的投影在橢圓的短軸（y軸）上的Q點(diǎn)時(shí)，其速率和加速度分別為: 因此橢圓曲線在P、Q的曲率半徑分別為：(2)將橢圓看成是二個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成，可以把橢圓的參數(shù)方程(設(shè)A> B）（如圖 2-4-6）x = Acosv y = Bsin v可改寫即可進(jìn)一步寫出x, y二個(gè)方程的速度v和加速度a：v % = _B(0 sin(_ )那么在長(zhǎng)軸端點(diǎn)P處(COt氣0 )的曲率半徑：22ha y = _B cos( wt )2在短軸端點(diǎn)Q處(l' -1 二-2 )的曲率半徑再把拋物線y=Ax 2,要求其任意一點(diǎn)的曲率半(如圖2-4-7)因?yàn)閽佄锞€可以寫作參數(shù)方程A中 2Vo這樣就可以導(dǎo)出VxVy=Vo和=atay =a對(duì)任意一個(gè)t值:v= M vyaN =acos =