一階常微分方程解法總結(jié).

1、第一章一階微分方程的解法的小結(jié)、可分離變量的方程：、形如dyf ( x)g ( y)dx當(dāng) g( y)dyf (x)dx ，兩邊積分即可得到結(jié)果；0 時，得到g( y)當(dāng) g( 0 )0 時，則 y(x)0 也是方程的解。例 1.1、 dy xy dx解：當(dāng) y0時，有 dyxdx ，兩邊積分得到 ln yx2C (C為常數(shù) )y2x 2所以 yC1 e 2(C1為非零常數(shù)且 C1eC )y 0 顯然是原方程的解；x2綜上所述，原方程的解為yC1e 2(C1為常數(shù) )、形如 M ( x) N ( y)dx P(x)Q( y)dy 0當(dāng) P( x) N ( y)0 時，可有 M (x) dxQ

2、( y) dy ，兩邊積分可得結(jié)果；P(x)N ( y)當(dāng) N ( y0 )0 時， yy0 為原方程的解，當(dāng)P(x0） 0 時，x x 為原方程的解。0例 1.2、 x( y21)dxy(x 21) dy0解：當(dāng) ( x21)( y21)0時，有y 2 dyx2xdx 兩邊積分得到1y1ln x21ln y21ln C(C 0) ，所以有 ( x21)( y21) C (C 0)；當(dāng) ( x21)( y21)0 時，也是原方程的解；綜上所述，原方程的解為( x2 1)( y2 1) C (C為常數(shù) ) ?？苫癁樽兞靠煞蛛x方程的方程：、形如 dyg( y )dxx解法：令 uy ，則 dyxd

3、uudx ，代入得到 x duug(u) 為變量可分離方程，得到xdxf (u, x, C)0(C為常數(shù) ) 再把 u 代入得到 f ( y , x,C )0(C為常數(shù) ) 。x、形如 dyG (axby ), (ab0)dxadxdu1 dua解法：令 uaxby ，則 dyG (u) 為變量可分離方程，b，代入得到b dxb得到 f (u, x,C)0 (C為常數(shù) ) 再把 u 代入得到 f (ax by, x, C) 0 (C為常數(shù) ) 。、形如 dyf ( a1xb1 yc1)dxa2 xb2 yc20、a1b10 ，轉(zhuǎn)化為dyG (axby ) ，下同；解法： 1a2b2dxa1b1

4、0 ，a1 x b1 y c10u x x020 、b2的解為 (x0 , y0 ) ，令v y y0a2a2 x b2 y c20v得到， dvf(a1ub1v)f(a1b1 u)(v)，下同；dua2u b2vvgua2b2u還有幾類： yf ( xy)dxxg ( xy)dy0, u xyx2 dyf ( xy), v xydyxf (yydxdxx2 ), wx2M ( x, y)( xdxydy)N (x, y)( xdyydx)0, xr cos, yr sin以上都可以化為變量可分離方程。例 2.1、 dyxy5dxxy2解：令 ux y2 ，則 dyduu7dx du ，代入得

5、到 1，有 udu7dxdxu所以 u2(C為常數(shù) ) ，把 u 代入得到（ x y27 xC2）7 x C (C為常數(shù) ) 。22例 2.2、 dy2xy1dxx2 y11u12xy10xxdydv解：由3 ，令3 ，有x2y1得到dx，代入得到01v1duyy33dv2uv2vv ，有 dvudt ，代入得到 t u dt2tu，令 ttdu，化簡duu2v1vudu12t2u得到， du212tdtd (1tt 2 ) ，有 ln uln( 1tt 2 )C(C為常數(shù) ) ，u2t2t 22(1tt 2 )2所以有uC1(C ) ，故代入得到x1C1, (C1 0)，C1e31tt 2y

6、1123y13x113x3（3）、一階線性微分方程：一般形式：) dy()h(x)a（1 xa0x ydx標(biāo)準(zhǔn)形式： dyP(x) yQ( x)dx解法： 1、直接帶公式：yP( x)dxeP ( x) dxP ( x)dxeP( x) dxP( x) dxC)CeeQ( x)dx( eQ(x)dx2、積分因子法：y(x)1 ( x)Q ( x) dx C ，P ( x) dx( x) e( x)dyQ( x) ， y(x0 )y03、 IVP ：P( x) ydxxxttP (s) dsxP ( s)dsP ( s)dsxP ( s) dsye x0( Q (t)e x0dt y0 ) y0

7、e x0Q (t)e x 0dtx0x0例 3、 ( x 1) dyny ex ( x 1) n 1dx解：化簡方程為：dynyex ( x1) n ，則 P(x)n , Q (x)ex ( x1)n ;dxx1x1( x)P ( x)dxndx( x 1)-n代入公式得到ee x1所以， y(x)( x1) n(x1)n ex ( x1)n dx C ( x1)n (exC )(C為常數(shù) )(4) 、恰當(dāng)方程：形如 M ( x, y)dxN (x, y)dy0,G( x, y), s.t. dGM ( x, y)dxN ( x, y) dy解法：先判斷是否是恰當(dāng)方程：如果有M ( x, y)

8、N ( x, y) 恒成立，那么原方程是個恰當(dāng)方程，找出一個yxG ( x, y), s.tG( x, y)M ( X , y), G ( x, y)N ( x, y) ,xy有 G( x, y) C, (C為常數(shù) ) ；例4、(3 26xy2 )dx(62y4y3 )dy0xx解：由題意得到，M (x, y)3x26xy2 , N ( x, y)6x2 y4 y3由 M12xyN 得到，原方程是一個恰當(dāng)方程；yx下面求一個 G ( x, y), s.tG( x, y)M ( X , y),G ( x, y)N ( x, y)xy由 G( x, y)M ( X , y) 3x26xy2 得G

9、x y)x332y2(y) ，兩邊對 y 求偏xx( ,導(dǎo)得到G6x2 y( y) 6x2 y4 y3 ，得到( y)4y3 ，有( y)y 4 ，y故 G( x, y)x33x2 y 2y4，由 dG0，得到x3x2 y 2y 4C, (C為常數(shù))3(5) 、積分因子法：方程 M ( x, y)dxN ( x, y) dy0,( x, y), s.t.MdxNdy0是一個恰當(dāng)方程 ，那么稱(x, y) 是原方程的積分因子；積分因子不唯一。MN當(dāng)且僅當(dāng)yx(x) ，原方程有只與 x 有關(guān)的積分因子，且為( x, y)e( x)dxN，兩邊同乘以( x, y) ，化為恰當(dāng)方程，下同(4) 。MN

10、當(dāng)且僅當(dāng)yx( y) ，原方程有只與 y 有關(guān)的積分因子，且為( x, y)e( y )dyM，兩邊同乘以( x, y) ，化為恰當(dāng)方程，下同(4) 。例 5.1、 (ex3 y2 )dx2xydy0解 ： 由Mx yexy2N x yxy得MN， 且 有( , )3,(,)2y6 y 2 y 4 yxMN2 dxyx(x)2x 2 ， 原 方 程 兩 邊 同 乘 x2， 有(x, y) e x， 得 到Nx2x23化為(222)x32) 0，得到解為x (e 3y )dx 2x y d y 0,d xxex y( x22x2)exx3 y2C,(C為常數(shù) )例 5.2、 ydx(xy 3 )

11、dy0( ,),( ,)(3MN解: 由題意得到，) ，有M x y y N x yx yyx1(1)2MN2dyyx2( y )dyy 2 ，得有( y)，有( x, y)eeyy 2 ，原方程兩邊同乘My到 dx(xy)dyd ( xy 2)0，得到原方程的解為：yy 2y2xy 2C,(C為常數(shù) )y2(6) 、貝努力方程：形如 dyP( x) yQ( x) yn ,dx解法：令u y1 n，有du(1)ndu(1 n) P(x)u (1 n)Q(x)，下n y dy ，代入得到dx同（ 3）例 6、 dy 6 y xy2dxx解：令uy1，有 duy2du6x，則6Q x)x，dy ，

12、代入得到uP( x), (dxxxP ( x) dxx 6 x6 xdxx2C6 ,(C為常數(shù) ) ，把 u 代入得有( x)ex6 ，u( x)C 8x1x2C到y(tǒng)8x6 , (C為常數(shù) ) .(7) 、一階隱式微分方程：一般形式： F ( x, y, y )0 ，解不出 y 的稱為一階隱式微分方程。下面介紹四種類型：(1) y f ( x, y )( 2) xf ( y, y )(3) F ( x, y )0(4) F ( y, y )0、形如yf(, dy )，xdx一般解法：令pdyf ( x, p) ，兩邊對 x 求導(dǎo)得到 pff dp，代入得到 yx，這是dxp dx關(guān)于 x， p

13、 的一階線性微分方程，仿照(3) ，1、得出解為 p(x, C), C為常數(shù) ，那么原方程的通解為yf ( x, ( x, C), C為常數(shù)2、得出解為 x( p,C), C為常數(shù) ，那么原方程的通解為x( p, C)yf (, C為常數(shù)( p, C), p)3、得出解為(x, p, C)0, C為常數(shù) ，那么原方程的通解為( x, p, C) 0y, C為常數(shù)f ( x, p)、形如xf(, dy )ydx一般解法：令 pdy ，代入有 xf ( y, p) ，兩邊對 y 求導(dǎo)，得到1ff dp ，此方dxpyp dy程是一階微分方程，可以按照以上(1) (5) 求出通解( y, p,C )

14、0, C為常數(shù) ，那么原方程的通解為( y, p, C) 0x, C為常數(shù)f ( y, p)、形如 F ( x, y )0一般解法：設(shè)x(t)y dx(t )(t )dt，兩邊積分得到y(tǒng),(t為參數(shù) ) ， dy(t )y(t )(t)dtC , C為常數(shù) ，于是有原方程的通解為y(t )(t )dt C ,C為常數(shù)x(t)、形如 F ( y, y )0y(t )y dx 得(t) dt(t )dx ， 有一般解法：設(shè)y,(t為 參 數(shù)) ， 由 關(guān) 系 式 dy(t )dx(t) dt ，兩邊積分得到x(t) dtC， C為常數(shù) ，于是有(t)(t)(t )C ，C為常數(shù)x(t ) dty(

15、t )例 7.1xy 31y解：令 py ，得到1p，兩邊對113(1p)dpxp3y求導(dǎo)，得到( p3p4)，pdy有 dy(23 )dp ，得到 y23C ,C為常數(shù) ，于是通解為p2 p2p2p3x1pp3，C為常數(shù)23yCp2 p 2例 7.2yy 2ey解：令 py ，得到 yp 2 ep，兩邊對 x 求導(dǎo)，得到p ( p22 p) ep dp ，有dxdx ( p2) epdp ，兩邊積分得到x( p 1)epC,C為常數(shù) ，于是通解為x( p1)epC, C為常數(shù)y p2 ep例 7.3x 2y 21xcos ty dxsin t(sin t )dtcos2t1 dt ，所以解：

16、設(shè)y, 有 dysin t2ysin 2ttC , C為常數(shù)42于是通解為ysin 2ttC ,C為常數(shù)42xcost例 7.4 y 2 (1y 2 ) 1ysin tdysin t1dt解：設(shè)1 , 有 dxdtycos2 tsin td( tan t) ，所以ycostcos2 txtan tC, C為常數(shù)于是通解為x tan t C1 ,C為常數(shù)ycost(8) 、里卡蒂方程：一般形式： dyP()2()y(x)dxx yQxR1dydy01dz一般解法：先找出一個特解y0(x) ，那么令 yy0，有dxdxz2，代入原方zdx程得到dy01dzP( x)( y01 )2Q(x)( y01)R(x) ，dxz2dxzz化簡得到dz(2P(x) y0Q (x) zP( x)