專題：橢圓的離心率解法大全.

1、專題：橢圓的離心率cb2一，利用定義求橢圓的離心率（e或 e21）aa1，已知橢圓的長軸長是短軸長的2 倍，則橢圓的離心率e322，橢圓 x2y21的離心率為1 ，則 m4m2 解析 當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，4m1m 3 ； 當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)，m 41m 16 ，22m2316或 3綜上 m33，已知橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數(shù)列，則橢圓的離心率是354，已知 m,n,m+n 成等差數(shù)列， m， n， mn成等比數(shù)列，則橢圓x2y21的離心率為mn2n2mnm22y22 解析 由 n2m2 n1的離心率為n，橢圓 xmn04mn25，已知 121(0.0) 則當(dāng) mn取得最小值時(shí)，橢圓

2、x2y 21的的離心率為3m nmn2n22m6，設(shè)橢圓x 2y 2F1，右準(zhǔn)線為 l 1，若過 F1 且垂直于 x 軸的弦的長等于點(diǎn)F1 到 l 1 的a2b2 =1（ a b 0）的右焦點(diǎn)為1 。距離，則橢圓的離心率是2二，運(yùn)用幾何圖形中線段的幾何意義結(jié)合橢圓的定義求離心率e1，在 RtABC中，A90，ABAC 1，如果一個(gè)橢圓過AB兩點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為C、，另一個(gè)焦點(diǎn)在AB 上，求這個(gè)橢圓的離心率e632， 如圖所示 , 橢圓中心在原點(diǎn) ,F 是左焦點(diǎn) , 直線 AB1 與 BF 交于 D, 且BDB1 90 ,則橢圓的離心率為 ()解析b ( b )1a2c2ace5 1ac23，以

3、橢圓的右焦點(diǎn)F2 為圓心作圓，使該圓過橢圓的中心并且與橢圓交于M、 N 兩點(diǎn)，橢圓的左焦點(diǎn)為F1，直線MF1 與圓相切，則橢圓的離心率是31變式（ 1）：以橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F 為圓心作一個(gè)圓，使該圓過橢圓的中心O 并且與橢圓交于M、 N 兩點(diǎn)，如果MF=MO，則橢圓的離心率是31x2y24, 橢圓 a2 + b2=1(a>b >0) 的兩焦點(diǎn)為 F1、 F2，以 F1F2 為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的兩邊，則橢圓的離心率e？解： F F =2c BF =cBF =3cc+3c=2a e=a = 3-11 212cx2y2=1(a>b >0) 的兩焦點(diǎn)為121為

4、正三角形， 求橢圓離心率？變式（ 1）：橢圓 a2+ b2F、F，點(diǎn) P在橢圓上， 使 OPF解：連接 PF2, 則 OF2 = OF1 = OP, F1PF2 =90 °圖形如上圖， e= 3-1x2y2變式（ 2） 橢圓 a2+ b2=1(a>b >0) 的兩焦點(diǎn)為 F1 、 F2 ， AB為橢圓的頂點(diǎn)， P 是橢圓上一點(diǎn)，且PF1 X 軸，PF AB,求橢圓離心率？2解： PF1 =b2 F2F1 =2c OB =b OA=aPF 2 AB PF1 =b又 b=a2-c 2aFF a21 a2=5c2 e=55變式 (3): 將上題中的條件“ PF2 AB”變換為“

5、 PO AB ( O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ) ”x2y2相似題：橢圓 a2+ b2 =1(a>b >0)， A 是左頂點(diǎn)， F 是右焦點(diǎn)， B 是短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，ABF=90°，求 e?解： AO =a OF =c BF=a AB=a2+b222222+2ac+c2a22兩邊同除以22-1+ 5-1- 5a +b +a=(a+c)=a-c -ac=0ae +e-1=0 e=2e=(舍去)2x2y2-1+5變式 (1): 橢圓 a2+b2 =1(a>b >0)， e=2, A是左頂點(diǎn)， F 是右焦點(diǎn)， B 是短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，求 ABF？點(diǎn)評：此題是上一題的條件與結(jié)論的互

6、換，解題中分析各邊，由余弦定理解決角的問題。答案：90°引申：此類 e=5-1的橢圓為 優(yōu)美橢圓。2性質(zhì)：（ 1） ABF=90°（ 2）假設(shè)下端點(diǎn)為 B1 , 則 ABFB1 四點(diǎn)共圓。（ 3）焦點(diǎn)與相應(yīng)準(zhǔn)線之間的距離等于長半軸長。變式 (2):橢圓 x2y 21 ( a b 0) 的四個(gè)頂點(diǎn)為A、B、C、D，若四邊形 ABCD的內(nèi)切圓恰好過橢圓的焦點(diǎn)，則a2b2橢圓的離心率e =512提示：內(nèi)切圓的圓心即原點(diǎn)，半徑等于 c，又等于直角三角形AOB斜邊上的高，由面積得： abra2b 2 ，但 rc4，設(shè)橢圓x 2y 2（1 a b0）F1、 F2 ，如果橢圓上存在點(diǎn)P，

7、使F1PF290，求離心率 ea2b 2的左、右焦點(diǎn)分別為的取值范圍。解：設(shè) P x , y , F1c,0, F2c,0法 1：利用橢圓范圍。由 F1PF2 P 得 x2y2c2，將這個(gè)方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可解得 x2a2 c2a 2 b 2a 2 (c 2a2 )a2b 2e2。由橢圓的性質(zhì)知0x 2a2 ，得 以 e 2 ，1）。2附：還可以用參數(shù)的方法也能求出離心率的范圍（與法1 類似）法 2：判別式法。由橢圓定義知| PF1 | |PF2 | 2a|PF1|2| PF2 |2 2| PF1 |PF2 | 4a2 ，又因?yàn)镕1PF 290，可得 | PF1 |2| PF2 |2

8、 | F1F2 |24c2 ，則 | PF1 | PF2 | 2(a2c2 )2b2 ，PF1， PF2是方程 z22az2b20 的兩個(gè)根，則4a28(a 2c 2 )0e2c 21e2a222解法 3：正弦定理設(shè)記PFF，PF F，由正弦定理有|PF1 | |PF2 | |F1F2 |PF1 | |PF2 |12122 1sinsinsin 90sinsin| F F又因?yàn)?| PF1| PF2 | 2a，|F1 F2 | 2c ，且90則ec111asinsinsincos2 sin()403則2)1 ， 12 sin()22444sin(424所以2e12解法 5：利用基本不等式由橢圓

9、定義，有2a| PF1 | PF2 |平方后得4a 2| PF1 |2| PF2 |22| PF1| PF2 |2(|PF1|2 |PF2|2 )2|F1 F2 |28c2得 c 21 所以有 e 2 ，1）a 222解法 6：巧用圖形的幾何特性由 F1 PF290，知點(diǎn) P 在以 | F1 F2|2c 為直徑的圓上。又點(diǎn) P 在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點(diǎn)P，故有 cbc 2b2a 2c 2變式 (1)x2+y212(c,0)12為直徑的圓與橢圓的一個(gè)交：圓 a2b2 =1(a>b >0) 的兩焦點(diǎn)為F （-c ， 0）、F，P是以 F F點(diǎn)，且 PFF =5 PF F ,求橢

10、圓的離心率e1221分析：此題有角的值，可以考慮正弦定理的應(yīng)用。 F1F2F1PPF2解：由正弦定理：sin F1PF2= sin F 1F2Psin PF1 F2根據(jù)和比性質(zhì)：FFF P+ PFFFsin F PF12121212sin F1PF2=sinF 1F2P+sin PF 1F2變形得： PF2 + F1P = sin F1F2 P +sin PF 1F2 PF1F2 =75 ° PF2F1 =15 °e=sin90°6sin75° +sin15 °=3點(diǎn)評：在焦點(diǎn)三角形中，使用第一定義和正弦定理可知e=sin F1PF2sin F

11、 F P +sin PF1F122x2y2變式 (2) ：橢圓 a2+b2=1(a>b >0)的兩焦點(diǎn)為 F1（ -c ， 0）、 F2 (c,0)， P 是橢圓上一點(diǎn)，且橢圓離心率e 的取值范圍？分析：上題公式直接應(yīng)用。2c=e2aF1PF2 =60 °，求sin F PFsin60 °解：設(shè) F F P= ，則 F F P=120° - e=sin F12=sin +sin(120 ° - ) =1F2P +sin PF 1F212211112sin( +30° ) 22 e<122變式(3)： 過 橢 圓 x2y21 (

12、a b0 )的左 焦 點(diǎn) F1 作 x 軸 的 垂 線 交 橢圓 于 點(diǎn) P ， F2 為 右 焦 點(diǎn) ， 若abF1 PF260 ，則橢圓的離心率e 的值解析：因?yàn)?P( c,b2) ，再由F1PF260有 3b22a, 從而得 ec3aaa3變式 (4)：若 A, B 為橢圓 x 2y 21( ab0) 的長軸兩端點(diǎn)， Q 為橢圓上一點(diǎn)， 使 AQB1200 ，求此橢圓a 2b 2離心率的最小值。61e3變式 (5)： 8、橢圓 x 2y 21 a b0 上一點(diǎn) A 關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B， F 為其右焦點(diǎn)，若AF BF ，設(shè)a 2b2ABF，且12,，則橢圓的離心率的取值范圍為4解析：設(shè)

13、F為橢圓左焦點(diǎn)，因?yàn)閷蔷€互相平分，所以四邊形AFB F 為平行四邊形且為矩形，AB 2c ，AF 2c sin , BF2ccos， 2c sin2ccos2ac11，所以 ecos，由a sin2 sin4,2e6。12得3426，如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy 中， A1, A2, B1, B2x2y21(a b 0) 的四個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn) 為其右為橢圓b2a2焦點(diǎn)，直線 A1B2 與直線 B1F 相交于點(diǎn) T，線段 OT 與橢圓的交點(diǎn)M 恰為線段 OT 的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率y為.直線 A1 B2 的方程為xy1，直線 B1 F 的方程為 xy1abcbB2，兩式聯(lián)立得TTM的坐標(biāo)2ac,

14、b(ac) ，所以中點(diǎn) M的坐標(biāo)為ac, b(ac)a caca c2( ac)A1OA2x，因?yàn)辄c(diǎn) M在橢圓上，代人方程得4c 2(a c)24 a c 2則 e210 e 30 e0,1所以 e 2 7 5x2+y2=1(a>b >0)的兩焦點(diǎn)為 F（ -c ， 0）、 F (c,0)7，橢圓 ab，滿足 MF· MF =0 的點(diǎn) M總在橢圓內(nèi)部，則 e221212的取值范圍？分析：以 FF為直徑作圓， M在圓 O上，與橢圓沒有交點(diǎn)。MF· MF =01212MF1OF2解： c<b a2=b2+c2 >2c 20<e<22如圖所示,

15、畫圖可知點(diǎn)M的軌跡是以F1F2為直徑的圓，則它在橢圓內(nèi)部,故c bc2b2a2c2e212e2 ,0 e 1 0 e22222x2y2=1(a>b >0)的兩焦點(diǎn)為1（ -c2，P 為右準(zhǔn)線 L： x=a218，橢圓 2+2F， 0）、 F (c,0)c上一點(diǎn)，F(xiàn) P 的垂直平分線ab恰過 F2點(diǎn)，求 e 的取值范圍？分析：思路 1, 如圖 F P 與 F M 垂直，根據(jù)向量垂直，找a、 b、 c 的不等關(guān)系。12思路 2：根據(jù)圖形中的邊長之間的不等關(guān)系，求a2e-c解法一： F（ -c ，0） F(c,0) P(a2) M(cy02c ,y02, 2 )1b2y02Pa既 ( 2

16、c,2)則PF1=-(c +c, y0)Mb 2y0 a2b 2y0MF2=-(2c-c,2)PF1MF2=0(c+c,0)·(2c-c,2)=0F1F 2·yO2223aby022(c+c) · (2c-c)+2=0a -3c 0 3 e<11 222a2a2-c3ca23c223解法 2：FF=PF =2c PF c-c則 2cc c a則 3 e<1總結(jié)：對比兩種方法，不難看出法一具有代表性，可謂通法，而法二是運(yùn)用了垂直平分線的幾何性質(zhì)，巧妙的運(yùn)用三角形邊的大小求解的妙法。所以垂直平分線這個(gè)條件經(jīng)常在解析幾何中出現(xiàn)，對于它的應(yīng)用方法，值得大家注意

17、。9，如圖，正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn) A、 D為一橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，其余四個(gè)頂點(diǎn)B、 C、E、 F 均在橢圓上，則橢圓離心率的取值范圍是3 1解：以 AD 所在直線為 X 軸， AD 中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。設(shè)正六邊形的邊長為r，則橢圓的半焦距c r ，易知AOF 為等邊三角形， F（c3 )x 2y 21中，得： c 23c21，,c，代入橢圓方程b24a 24b222a 2FE c23c24 ，即：e234ADa 2a2c 211e2BC23e222)24(12420, e24 23, e3 1,ee24 ， e (1e3ee ), e8e 41又 0e1,e31法二：如圖，連結(jié)AE ，

18、易知AED900，設(shè) AD2c,則 EA3c, EDc ，由橢圓定義，有： EAED2a ， (31)c 2a ， ec231a3122xy10，橢圓 a2+ b2=1(a>b >0)，過左焦點(diǎn) F1 且傾斜角為 60°的直線交橢圓與AB兩點(diǎn)，若 F1A =2 BF1 , 求橢圓的離心率e 的值解：設(shè) BF =m則 AF =2a-am BF =2a-m12222：2a-c12在 AF1F2 及 BF1F2 中，由余弦定理得：a c =m(2a-c)2(a22)=m(2a+c)兩式相除=2e=-c2a+c3練習(xí)題：221，橢圓 x2y21(ab0) 上有一點(diǎn) M， F1 ,

19、 F2 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若MF 1MF22b2 ，求橢圓的離心率 .ab解 析 :由橢圓的定義，可得MF 1MF22a 又 MF 1 MF22b2 ， 所 以 MF 1 , MF2是 方 程x22ax 2b20 的兩根，由(2a)242b20 ， 可得 a22b2，即 a22(c2a2 ) 所以 ec2，a2所以橢圓離心率的取值范圍是2 ,1)22，在 ABC 中， A90， tan B3C ，則該橢圓的離心率 e若以 A， B 為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)4解析 AB4k, AC3k, BC5k,eAB1ACBC23，已知 F1 , F2 為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P 為橢圓上一點(diǎn) , 若PF1 F2 :

20、PF2 F1 :F1PF2 1: 2 : 3,則此橢圓的離心率為 _. 解析31 三角形三邊的比是1 :3:24，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓x2y21( ab0) 的焦距為 2，以 O為圓心， a 為半徑的圓，過點(diǎn)a2,0a2b2c作圓的兩切線互相垂直，則離心率e =解析a22ae2c25， 在ABC 中，A300 ,| AB | 2, S ABC3若以 A， B 為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C ，則該橢圓的離心率e【解題思路】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率解析 S ABC1 | AB | | AC | sin A3， |AC|23，|BC| AB|2|AC|22 | AB | | AC | cos A22e| AB|23 1|BC|2 322|AC|6，已知橢圓x2y21(ab0) 的左、右焦點(diǎn)分別為