二次函數(shù)地最值問題

1、標準實用典型中考題（ 有關(guān)二次函數(shù)的最值）屠園實驗周前猛一、選擇題1 已知二次函數(shù)y=a（ x-1 ）2+b 有最小值 1，則 a 與 b 之間的大小關(guān) ()A. a<bB.a=bC a>bD不能確定答案： C2當 2x l 時，二次函數(shù)22）y=- （ x-m） +m +1 有最大值 4，則實數(shù) m的值為（A、 -73或- 3C 、2或- 3D 2或-B 、4答案： C當 2 x l 時，二次函數(shù)22有最大值4，y=- （ x-m） +m+1二次函數(shù)在 2 x l 上可能的取值是x= 2 或 x=1 或 x=m.當 x= 2 時，由22解得 m= -7y=- （ x-m） +m+

2、1， y465它在 2 x l 的最大值是，與題意不符.1673 或 -47265，x此時41622解得 m=22的最大當 x=1 時，由 y=- （ x-m）+m+1，此時 y=- （x-2 ） +5 ，它在 2 x l值是 4，與題意相符 .當 x= m 時，由22解得m= 3，當 m=-2+4. 它在4=- （x-m ） +m+13 此時 y=- （ x+ 3 ）2 x l 的最大值是4，與題意相符；當m= 3，y=- （ x-3 ）2+4 它在 2 x l 在 x=1處取得，最大值小于4，與題意不符 .綜上所述，實數(shù)m的值為 2或-3.故選 C13 已知 0 x2A -10.5B.2，

3、那么函數(shù)y=-2x 2+8x-6 的最大值是（）C . -2.5D. -6答案： C解： y=-2x 2+8x-6=-2 （ x-2 ）2 +2該拋物線的對稱軸是x=2，且在 x 2 上 y 隨 x 的增大111而增大 又 0 x，當 x=時，y 取最大值， y 最大 =-2（222-2 ）2+2=-2.5 故文案大全標準實用選： C4、已知關(guān)于x 的函數(shù).下列結(jié)論：存在函數(shù)，其圖像經(jīng)過（1,0 ）點；函數(shù)圖像與坐標軸總有三個不同的交點；當時， 不是 y 隨 x 的增大而增大就是 y 隨 x 的增大而減小；若函數(shù)有最大值，則最大值必為正數(shù)，若函數(shù)有最小值，則最小值必為負數(shù)。真確的個數(shù)是（）A,

4、1 個B、2 個C3個D 、4個答案： B分析：將（ 1， 0）點代入函數(shù)，解出k 的值即可作出判斷；首先考慮，函數(shù)為一次函數(shù)的情況，從而可判斷為假；根據(jù)二次函數(shù)的增減性，即可作出判斷；當 k=0 時，函數(shù)為一次函數(shù)，無最大之和最小值，當k0 時，函數(shù)為拋物線，求出頂點的縱坐標表達式，即可作出判斷.解 ： 真 ， 將 （ 1， 0 ） 代 入 可 得 ： 2k- （ 4k+1 ） -k+1=0，解 得 ： k=0 運 用 方 程 思 想 ； 假 ， 反 例 ： k=0時，只有兩個交點運用舉反例的方法； 假 ， 如 k=1 ， -b= 5， 當 x 1 時 ， 先 減 后 增 ； 運 用 舉 反

5、 例 的 方 法 ；2a4 真 ， 當 k=0時，函數(shù)無最大、最小值；k 0 時 ， y 最 =4ac-b 2=-24k 2 +1，4a8k 當 k 0 時 ， 有 最 小 值 ， 最 小 值 為 負 ；當 k 0 時 ， 有 最 大 值 ， 最 大 值 為 正 運 用 分 類 討 論 思 想 二、填空題：1、如圖，已知；邊長為 4 的正方形截去一角成為五邊形 ABCDE，其中 AF=2， BF=l ，在 AB 上的一點 P，使矩形 PNDM有最大面積，則矩形 PNDM的面積最大值是文案大全標準實用答案： 122、已知直角三角形兩直角邊的和等于8，兩直角邊各為時，這個直角三角形的面積最大，最大

6、面積是答案： 4、 4， 8解：設(shè)直角三角形得一直角邊為x，則，另一邊長為8-x ；設(shè)其面積為S. S= x ·(8-x)(0<x<8).配方得S=- (x 2-8x)=- (x-4)2+8當 x=4 時， S 最大 =8.及兩直角邊長都為4 時，此直角三角形的面積最大，最大面積為8.3、函數(shù)y=24x-x2（0 x4）的最大值與最小值分別是答案： 2,0解： 4x-x 2 最小值為 0，當 4x-x2 取最大值時 4x-x2 最大，即 x=2 時，4x-x 2 最大為4，所以，當 x=0 時， y 最大值為 2，當 x=2 時， y 取最小值為 023，那么 a 的值為

7、4、已知二次函數(shù) y=x +2x+a （0 x 1）的最大值是答案： 0解：二次函數(shù) y=x2+2x+a 對稱軸為 x=-1 ，當 0 x 1 時 y 隨 x 的增大而增大， 當 x=1 時最大值為 3，代入 y=x 2+2x+a 得 a=0.5、如圖，在ABC中， BC=5， AC=12， AB=13，在邊 AB、 AC上分別取點D、 E，使線段DE將ABC分成面積相等的兩部分，則這樣線段的最小長度文案大全標準實用三、解答題：1 某產(chǎn)品第一季度每件成本為 50 元，第二、第三季度每件產(chǎn)品平均降低成本的百分率為 x 請用含 x 的代數(shù)式表示第二季度每件產(chǎn)品的成本；如果第三季度該產(chǎn)品每件成本比第

8、一季度少9.5 元，試求 x 的值 該產(chǎn)品第二季度每件的銷售價為 60 元，第三季度每件的銷售價比第二季度有所下降， 若下降的百分率與第二、 第三季度每件產(chǎn)品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件產(chǎn)品的銷售價不低于48 元，設(shè)第三季度每件產(chǎn)品獲得的利潤為 y 元，試求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)圖象與性質(zhì)求y 的最大值（注：利潤 銷售價成本）解：（1） 50 1 x501x 250 9.5解得 x 0.1（3） 60 1x48, 解得 x0.2 而 x 0 ， 0 x 0.2而 y60 1x501 x 2 50 x2 40x 10 50 x 0.4 2 18當 x0.4時，利用二次

9、函數(shù)的增減性， y 隨 x 的增大而增大，而 0x 0.2 ，當 x0.2時， y 最大值 18（元）說明：當自變量取值范圍為體體實數(shù)時，二次函數(shù)在拋物線頂點取得最值，而當自變量取值范圍為某一區(qū)間時，二次函數(shù)的最值應(yīng)注意下列兩種情形：若拋物線頂點在該區(qū)間內(nèi)，頂點的縱坐標就是函數(shù)的最值。若拋物線的頂點不在該區(qū)間內(nèi)， 則區(qū)間兩端點所對應(yīng)的二次函數(shù)的值為該函數(shù)的最值。2、如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D(0 ，) ，且頂點 C 的橫坐標為4，該圖象在x 軸上截得的線段AB的長為 6.求二次函數(shù)的解析式；在該拋物線的對稱軸上找一點P，使 PA+PD最小，求出點P 的坐標；文案大全標準實用在拋物線上是否存在

10、點 Q，使 QAB與 ABC相似？如果存在，求出點 Q的坐標；如果不存在，請說明理由解：（ 1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（ x h） 2+k頂點 C 的橫坐標為4，且過點（ 0，） y=a（ x4） 2+k，=16a+k又對稱軸為直線 x=4，圖象在 x 軸上截得的線段長為 6 A（ 1， 0）， B（ 7，0） 0=9a+k 由解得a=， k=2二次函數(shù)的解析式為：y=（ x4） PA=PB PA+PD=PB+PD DB當點 P 在線段 DB上時 PA+PD取得最小值DB與對稱軸的交點即為所求點P設(shè)直線 x=4 與 x 軸交于點MPM OD， BPM=BDO，又 PBM=DBO BPM

11、BDO點 P 的坐標為（ 4，）（3）由（ 1）知點 C（ 4，），又 AM=3，在 Rt AMC中， cot ACM=，文案大全標準實用 ACM=60°，AC=BC， ACB=120°當點 Q在 x 軸上方時，過Q作 QN x 軸于 N如果 AB=BQ，由 ABC ABQ有 BQ=6， ABQ=120°，則 QBN=60° QN=3 ， BN=3，ON=10，此時點 Q（10，），如果 AB=AQ，由對稱性知Q（ 2，）當點 Q在 x 軸下方時，QAB就是 ACB，此時點 Q的坐標是（ 4，），經(jīng)檢驗，點（ 10，）與（ 2，）都在拋物線上綜上所述，存

12、在這樣的點Q，使 QAB ABC點 Q的坐標為（ 10，）或（ 2，）或（ 4，）3、如圖，拋物線經(jīng)過三點（ 1）求出拋物線的解析式；（ 2）P 是拋物線上一動點，過 P 作軸，垂足為 M，是否存在 P 點，使得以 A，P，M為頂點的三角形與相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線上有一點D，使得的面積最大，求出點D的坐標文案大全標準實用解：（1）該拋物線過點C（ 0，-2 ），2可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax +bx-2 ，得，解得，此拋物線的解析式為；（ 2）存在，如圖，設(shè)P 點的橫坐標為m，則 P 點的縱坐標為，當 1m 4 時， AM

13、=4-m， COA= PMA=90°，當時， APM ACO，即 4-m=2，解得 m1=2， m2=4（舍去）， P（2， 1）；當時， APM CAO，文案大全標準實用即，解得 m1=4， m2=5（均不合題意，舍去） ，當 1 m 4 時， P（ 2，1），類似地可求出當m>4時， P（ 5， -2 ），當 m<1時， P（ -3 ， -14 ），綜上所述，符合條件的點P 為（ 2， 1）或（ 5， -2 ）或（ -3 ，-14 ）；（ 3）如圖，設(shè)D 點的橫坐標為t （ 0 t 4），則 D點的縱坐標為，過 D作 y 軸的平行線交AC于 E，由題意可求得直線AC的

14、解析式為， E 點的坐標為，當 t=2 時， DAC的面積最大， D（2， 1）。4 如圖，矩形ABCD中， AB=3， BC=4，線段 EF 在對角線AC上， EG AD， FH BC，垂足分別是 G， H，且 EG+FH=EF（1）求線段EF 的長；（2）設(shè) EG=x， AGE與 CFH的面積和為S，寫出 S 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式及自變量x 的取值范圍，并求出S 的最小值文案大全標準實用5如圖，點 C 是線段 AB 上的任意一點 (C 點不與 A、 B 點重合 ) ，分別以 AC、BC為邊在直線AB的同側(cè)作等邊三角形 ACD和等邊三角形 BCE，AE 與 CD相交于點 M， BD與 CE

15、相交于點 N(1) 求證： MN AB；(2) 若 AB 的長為 l0cm，當點 C 在線段 AB上移動時， 是否存在這樣的一點 C，使線段 MN的長度最長 ?若存在，請確定 C 點的位置并求出 MN的長；若不存在，請說明理由（1）由題中條件可得ACE DCB，進而得出 ACM DCN，即 CM=CN， MCN是等邊三角文案大全標準實用形，即可得出結(jié)論；（ 2）可先假設(shè)其存在，設(shè) AC=x， MN=y，進而由平行線分線段成比例即可得出結(jié)論解答（ 1）證明： ACD與 BCE是等邊三角形，AC=CD， CE=BC， ACE=BCD，在 ACE與 DCB中，AC=CD ACE= BCD CE=BC

16、 ACE DCB（ SAS）， CAE=BDC，在 ACM與 DCN中， CAE=BDCAC=CDACM= DCN ACM DCN，CM=CN，又 MCN=180° -60 ° -60 °=60°， MCN是等邊三角形， MNC=NCB=60°即 MN AB；（2）解：假設(shè)符合條件的點C 存在，設(shè)AC=x，MN=y，6、如圖，在 ABC 中， A 90 °， BC10 , ABC 的面積為 25 ，點 D 為AB 邊上的任意一點 ( D 不與 A 、B 重合) ，過點 D 作 DE BC ，交 AC 于點 E 設(shè)DE x 以 DE 為

17、折線將 ADE 翻折，所得的A' DE 與梯形 DBCE 重疊部分的面積記為 y.（1）用 x 表示 ? ADE的面積 ;（2）求出 0 x 5 時 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式；（3）求出 5 x 10 時 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式；y文案大全標準實用ABC解:(1) DE BC ADE=B, AED= CS ADE ABC SS ADE1 x 2即4ADE(DE)2ABCBC(2) BC=10 BC邊所對的三角形的中位線長為 5當 0 xyS ADE1 x25 時4（3） 5x 10 時，點 A' 落在三角形的外部 , 其重疊部分為梯形1 x2S A'DE=S ADE=

18、 41 xDE邊上的高 AH=AH'=2由已知求得 AF=5 A'F=AA'-AF=x-5 由 A'MN A'DE 知S A'MNA' F2S A'DE()A' HS A'MN(x5) 2y1 x2( x5) 23 x210x 2544y 1 x2（4）在函數(shù)4 中250x5當 x=5 時 y 最大為： 4y3 x 210 x 25在函數(shù)4中b2025x當2a 3 時 y 最大為： 3 25 25 4 3x2025當3 時， y 最大為：3文案大全標準實用7、如圖，拋物線 y1 x 2bx 2 與 x 軸交于 A、

19、B 兩點，與 Y 軸交于 C 點，2且 A（ 1，0）。（ 1）求拋物線的解析式及頂點的坐標（ 2）判斷 的形狀，證明你的結(jié)論。（ 3）點（ m， 0）是軸上的一個動點，當 +的值最小時，求 m的值解：（ 1）將 A（ 1，0）代入 y1 x 2bx22得 b3 ，所以拋物線的解析式 y1 x 23 x2222配方得： y13)2253252(x，所以頂點 D,8282（2）求出 AC=5 ，BC= 20 ，而 AB=5 AC2BC 2AB 2 ，故為 RT（ 3）作點 C 關(guān)于 X 軸的對稱點 E（ 2 ， 0），連接 DE交 X 軸于點 M，通過兩點式可求得直線YEAOMBXCDDE的解析

20、式： y41 x2 ，當 y =0 時，解得 x = 241241（ 24 ，0）即 m=2441418如圖，直線 y=x+2 與拋物線 y=ax2+bx+6（a0）相交于 A（ 1 ， 5）和 B22（ 4， m），點 P 是線段 AB上異于 A、B 的動點，過點 P 作 PCx 軸于點 D，交拋物線于點 C（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在這樣的 P 點，使線段 PC的長有最大值，若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；（3）求 PAC為直角三角形時點P 的坐標文案大全標準實用分 析 ：（ 1）已 知 B（ 4 ， m）在 直 線 y=x+2 上 ，可 求 得 m的 值 ，拋 物

21、 線 圖 象 上 的 A、 B 兩點坐標，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值 （ 2）要弄清 PC的長，實際是直線 AB與拋物線函數(shù)值的差可 設(shè)出 P點橫坐標，根據(jù)直線 AB和拋物線的解析式表示出 P、C的縱坐標，進而得到關(guān)于 PC與 P點橫坐標的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出 PC的最大值（ 3）當PAC為直角三角形時，根據(jù)直角頂點的不同，有三種情形，需要分類討論，分別求解解 ： （ 1 ） B（ 4， m） 在 直 線 線 y=x+2 上 ， m=4+2=6 ， B（ 4， 6） ， A（1，5）、B（4， 6 ） 在 拋 物 線 y=ax 2 +bx+6上 ，225=（1） 2a+1b+6，6=16a+4b+6222解 得 a=2 ， b=-8 拋 物 線 的 解 析 式 為 y=2x 2 -8x+6 （ 2） 設(shè) 動 點 P 的 坐 標 為 （ n ， n+2 ） ， 則 C 點 的 坐 標 為 （ n ， 2n 2 -8n+6 ） ， PC=（ n+2 ） - （ 2n 2 -8n+6 ） ，=-2n 2 +9n-4 ，949=-2 （ n-） 2 +，48949 PC 0 ， 當 n=時 ， 線 段 PC 最 大 且 為48（3）PAC為直角三角形，i ）若點 P