中考復習專題二次函數(shù)經(jīng)典分類講解復習以及練習題-(-含答案).

1、1、二次函數(shù)的定義定義： y=ax 2 bx c（ a、 b、 c是常數(shù)，a 0）定義要點： a 0最高次數(shù)為2代數(shù)式一定是整式練習： 1、 y=-x 2， y=2x2-2/x ， y=100-5 x 2， y=3 x 2-2x 3+5, 其中是二次函數(shù)的有_個。m2m2. 當 m_時 , 函數(shù)y=(m+1) - 2 +1 是二次函數(shù)？2、二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)y0拋物線頂點坐標xy=ax2+bx+c(a>0)b , 4acb22a4ay0xy=ax2+bx+c(a<0)2b , 4acbb直線 x直線 xb對稱軸位置開口方向增減性最值2a由a,b和 c的符號確定a>0,開口向

2、上在對稱軸的左側(cè),y隨著 x的增大而減小.在對稱軸的右側(cè), y隨著 x的增大而增大.當xb時, y最小值為 4ac b22a4a2a由 a,b和 c的符號確定a<0,開口向下在對稱軸的左側(cè) ,y隨著 x的增大而增大 . 在對稱軸的右側(cè) , y隨著 x的增大而減小 .當xb 時, y最大值為 4ac b22a4a例 2：已知二次函數(shù)y1x232x2（ 1）求拋物線開口方向，對稱軸和頂點M的坐標。（ 2）設拋物線與 y 軸交于 C 點，與 x 軸交于 A、B 兩點，求 C， A，B 的坐標。（ 3） x 為何值時， y 隨的增大而減少， x 為何值時， y 有最大（?。┲?，這個最大（?。┲凳?/p>

3、多少？（ 4） x 為何值時， y<0？ x 為何值時， y>0？3、求拋物線解析式的三種方法1、一般式：已知拋物線上的三點，通常設解析式為_y=ax2+bx+c(a 0)2, 頂點式：已知拋物線頂點坐標（h, k ），通常設拋物線解析式為_ 求出表達式后化為一般形式 .y=a(x-h)2+k(a 0)3, 交點式 : 已知拋物線與 x軸的兩個交點 (x1,0)、 (x2,0),通常設解析式為 _ 求出表達式后化為一般形式 .y=a(x-x1)(x-x2) (a0)練習：根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式。(1)、圖象經(jīng)過 (0 ， 0)， (1，-2)， (2 ，3)三點；(2)、

4、圖象的頂點 (2 ， 3) ，且經(jīng)過點 (3 ， 1)；(3)、圖象經(jīng)過 (0 ， 0)， (12， 0)，且最高點的縱坐標是3 。例 1 已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的最大值是 2，圖象頂點在直線y=x+1 上，并且圖象經(jīng)過點（ 3， -6 ）。求 a、b、 c。解：二次函數(shù)的最大值是2拋物線的頂點縱坐標為2又拋物線的頂點在直線y=x+1 上當 y=2 時， x=1頂點坐標為（ 1， 2 ）設二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)2+2又圖象經(jīng)過點（3，-6 ） -6=a (3-1)2+2 a=-2二次函數(shù)的解析式為y=-2(x-1)2+2即： y=-2x2+4x4、 a， b， c 符

5、號的確定拋物線 y=ax2+bx+c 的符號問題：（ 1） a 的符號：由拋物線的開口方向確定（ 2） C 的符號：由拋物線與y 軸的交點位置確定.（ 3） b 的符號：由對稱軸的位置確定（ 4） b2-4ac 的符號：由拋物線與x 軸的交點個數(shù)確定（ 5）a+b+c 的符號：因為x=1 時 ,y=a+b+c, 所以 a+b+c 的符號由x=1 時，對應的y 值決定。當 x=1 時， y>0, 則 a+b+c>0 當 x=1 時， y<0，則 a+b+c<0 當 x=1 時， y=0，則 a+b+c=0(6)a-b+c的符號： 因為 x=-1 時,y=a-b+c,所以

6、a-b+c 的符號由x=-1 時，對應的 y 值決定。當 x=-1 ， y>0, 則 a-b+c>0 當 x=-1 ， y<0, 則 a-b+c<0 當 x=-1 ， y=0, 則 a-b+c=0練習、二次函數(shù) 0) 的圖象如圖所示，則A 、 a<0,b>0,c>0B、 a<0,b>0,c<0C 、 a<0,b<0,c>0D、 a<0,b<0,c<0a、b、 c的符號為（）2、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a 0) 的圖象如圖所示，則a、 b、 c 的符號為（）A 、 a>0,b>0,c

7、=0B、 a<0,b>0,c=0C 、 a<0,b<0,c<0D、 a>0,b<0,c=03、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a 0) 的圖象如圖所示，則a、 b、 c 、 的符號為（）A 、 a>0,b=0,c>0, >0 B 、a<0,b>0,c<0, =0C 、 a>0,b=0,c<0, >0 D 、a<0,b=0,c<0, <0熟練掌握 a， b， c ，與拋物線圖象的關(guān)系 ( 上正、下負） ( 左同、右異 ) 4. 拋物線 y=ax2+bx+c(a 0) 的圖象經(jīng)過原點和

8、二、三、四象限，判斷 a、 b、 c 的符號情況： a 0,b 0,c 0.5. 拋物線 y=ax2+bx+c(a 0) 的圖象經(jīng)過原點 , 且它的頂點在第三象限，則 a、 b、 c 滿足的條件是： a0,b0,c0.6. 二次函數(shù) y=ax2+bx+c 中，如果 a>0，b<0， c<0，那么這個二次函數(shù)圖象的頂點必在第象限先根據(jù)題目的要求畫出函數(shù)的草圖，再根據(jù)圖象以及性質(zhì)確定結(jié)果（數(shù)形結(jié)合的思想）7. 已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，下列結(jié)論。a+b+c=0 a-b+c 0 abc 0 b=2a其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（）A1個B2個C3個D4個要點：尋求思路時，要著重觀察拋物

9、線的開口方向，對稱軸，頂點的位置，拋物線與 x 軸、 y 軸的交點的位置，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想。5、拋物線的平移左加右減，上加下減練習二次函數(shù) y=2x2 的圖象向平移個單位可得到 y=2x2-3的圖象；二次函數(shù) y=2x2 的圖象向平移個單位可得到y(tǒng)=2(x-3)2的圖象。二次函數(shù) y=2x2 的圖象先向平移個單位，再向平移個單位可得到函數(shù)y=2(x+1)2+2 的圖象。引申： y=2(x+3)2-4y=2(x+1)2+2（ 3）由二次函數(shù)y=x2 的圖象經(jīng)過如何平移可以得到函數(shù)y=x2-5x+6的圖象 .y=x2-5x+6 (x5) 21245 )21y=x 2y ( x246 二次函數(shù)

10、與一元二次方程的關(guān)系一元二次方程根的情況與 b2-4ac的關(guān)系我們知道 : 代數(shù)式 b2-4ac對于方程的根起著關(guān)鍵的作用 .bb24ac .當b24ac0時, 方程 ax2bxc0 a0 有兩個不相等的實數(shù)根x1,22a當b2ac時 方程 ax2bxca有兩個相等的實數(shù)根b40 ,00:x1, 2.2a當b24ac 0時, 方程 ax 2 bxc0 a0 沒有實數(shù)根二次函數(shù) y=ax 2 bx c 的圖象和 x 軸交點的橫坐標，便是對應的一元二次方程ax2 bx c=0 的解。二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象和 x 軸交點有三種情況 :(1) 有兩個交點 b2 4ac > 0(2

11、) 有一個交點 b2 4ac= 0(3) 沒有交點 b2 4ac< 0若拋物線 y=ax2+bx+c 與 x 軸有交點 , 則 b2 4ac 0例 (1)如果關(guān)于 x 的一元二次方程x2-2x+m=0 有兩個相等的實數(shù)根, 則 m= , 此時拋物線 y=x2-2x+m與 x 軸有個交點.(2) 已知拋物線 y=x2 8x +c 的頂點在 x 軸上 , 則 c= .(3) 一元二次方程3 x2+x-10=0的兩個根是x1= -2 ,x2=5/3,那么二次函數(shù)y= 3 x2+x-10與 x 軸的交點坐標是 .判別式：二次函數(shù)圖象一 元 二次方程b2-4acy=ax2+bx+cax2+bx+c

12、=0（ a 0）（ a 0）的根b2-4ac 0與 x 軸有兩個不有兩個不同的解同的交點yx=x1， x=x2（ x1， 0）（ x2， 0）b2-4ac=0與 x 軸有唯一個x有兩個相等的解交點b ,0)yx1=x2=(b2aO x2ab2-4ac 0與 x 軸沒有交點沒有實數(shù)根yO x7 二次函數(shù)的綜合運用1. 已知拋物線 y=ax2+bx+c 與拋物線 y=-x2-3x+7 的形狀相同 , 頂點在直線 x=1 上 , 且頂點到 x 軸的距離為 5, 請寫出滿足此條件的拋物線的解析式 .解 : 拋物線 y=ax2+bx+c 與拋物線 y=-x2-3x+7 的形狀相同 a=1 或 -1又 頂

13、點在直線 x=1 上 , 且頂點到 x 軸的距離為 5,頂點為 (1,5) 或(1,-5)所以其解析式為:(1) y=(x-1)2+5(2) y=(x-1)2-5(3) y=-(x-1)2+5(4) y=-(x-1)2-5展開成一般式即可.2. 若 a+b+c=0,a0, 把拋物線 y=ax2+bx+c 向下平移 4 個單位 , 再向左平移5 個單位所到的新拋物線的頂點是(-2,0),求原拋物線的解析式.分析 :(1) 由 a+b+c=0 可知 , 原拋物線的圖象經(jīng)過 (1,0)(2) 新拋物線向右平移 5 個單位 ,再向上平移 4 個單位即得原拋物線練習題1直線 y3 x 1 與 yx k

14、的交點在第四象限，則k 的范圍是 （A ）k 1（ B） 1 k 1（C） k1（D ） k 1 或 k1331kx）y3x1，解得21 k1【提示】由xk1 3k因點在第四象限，故0，y2y.21 k133k2 0【答案】 B【點評】本題應用了兩函數(shù)圖象交點坐標的求法，結(jié)合了不等式組的解法、象限內(nèi)點的坐標符號特征等2二次函數(shù)yax2bxc 的圖象如圖，則下列各式中成立的個數(shù)是 （）b（1）abc0；（ 2） ab c 0；（3）a cb；（4） a2（A ）1（ B）2（ C）3（ D）4【提示】由圖象知a 0，b 0，故 b 0，而 c 0，則 abc0當 x 1 時， y 0，即 ac

15、b0；當 x 1 時， y0，2a即 ac b0【答案】 B【點評】本題要綜合運用拋物線性質(zhì)與解析式系數(shù)間的關(guān)系因a 0，把（ 4）a b 兩邊同除以a，得 1 b，即 b22a2a 1，所以（ 4）是正確的；也可以根據(jù)對稱軸在x1 的左側(cè)，判斷出ba，得 ab 1，兩邊同時乘，知（ 4）是正確的2a23 若 一 元 二 次 方 程x2 2 x m 0 無 實 數(shù) 根 ， 則 一 次 函 數(shù) y （ m 1 ） x m 1 的 圖 象 不 經(jīng)過 （）（A ）第一象限（B ）第二象限（ C）第三象限（ D）第四象限【提示】由 44 m0，得 m 10，則 m 1 0，直線過第二、三、四象限【答案

16、】 A 【點評】本題綜合運用了一元二次方程根的判別式及一次函數(shù)圖象的性質(zhì)注意，題中問的是一次函數(shù)圖象不經(jīng)過 的象限24 如 圖 ， 已 知 A ， B 是 反 比 例 函 數(shù) y 的圖象上兩點，設矩形 APOQ與矩形 MONB的面積為 S1，S2，x則 （）（A ）S1 S2（B） S1 S2（ C）S1 S2（D）上述（ A）、（B）、（C）都可能【提示】因為SAPOQ |k|2， SMONB 2，故 S1 S2【答案】 A 【點評】本題可以推廣為：從雙曲線上任意一點向兩坐標軸引垂線，由這點及兩個垂足和原點構(gòu)成的矩形的面積都等于|k|k215若點 A（ 1， y1）， B（2， y2），C（

17、 ， y3）在反比例函數(shù)y的圖象上，則（）x（A ）y1y2y3（B ） y1 y2 y3（ C）y1y2y3（D） y1y3 y2【提示】因（ k21） 0，且（ k2 1） y1 2 y2 y3，故 y1 y2 y3或用圖象法求解，因（k21） 0，且 x 都大于0，取第四象限的一個分支，找到在y 軸負半軸上 y1， y2 ，y3 的相應位置即可判定【答案】 Bk2 1） 0【點評】本題是反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)的應用，圖象法是最常用的方法在分析時應注意本題中的（6直線 yax c 與拋物線 yax2 bxc 在同一坐標系內(nèi)大致的圖象是 （）（A）（B）（C）（D）【提示】兩個解析式的常數(shù)項都

18、為c，表明圖象交于y 軸上的同一點，排除（A ），（B）再從 a 的大小去判斷【答案】 D【點評】本題綜合運用了一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)（ B）錯誤的原因是由拋物線開口向上，知a0，此時直線必過第一、三象限7已知函數(shù) y x2 1840 x 1997與 x軸的交點是（ m， 0）（ n， 0 ），則（ m2 1841 m 1997）（ n21841 n 1997）的值是 （）（A ）1997（ B）1840（C） 1984（D）1897x2 1840 x 19970 的兩個根所以 m21840 m 1997【提示】拋物線與x 軸交于（ m，0）（n，0），則 m，n是一元二次方程 0， n2

19、1840 n1997 0，mn1997原式（ m21840 m1997） m（ n2 1840 n1997） n mn1997【答案】 A 【點評】本題揭示了二次函數(shù)與一元二次方程間的聯(lián)系， 應用了方程的根的定義、 根與系數(shù)的關(guān)系等知識點， 并要靈活地把所求代數(shù)式進行適當?shù)淖冃?某鄉(xiāng)的糧食總產(chǎn)量為a（a 為常數(shù)）噸，設這個鄉(xiāng)平均每人占有糧食為y（噸），人口數(shù)為x，則y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系為 （）（A ）（B）（C）（D）a【提示】糧食總產(chǎn)量一定，則人均占有糧食與人口數(shù)成反比，即y又因為人口數(shù)不為負數(shù)，故圖象只能是第一象限內(nèi)的一個分支x【答案】 D【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象在實際問題中的

20、應用（A ）錯在畫出了x0 時的圖象，而本題中x 不可能小于 0（二）填空題（每小題4 分，共 32分）9函數(shù) y2x1的自變量 x 的取值范圍是 _1 x 11【提示】由 2 x 1 0，得 xx 的取值范圍；又 x1 0， x1綜合可確定12【答案】 x，且 x1210若點 P（a b， a）位于第二象限，那么點 Q（ a 3，ab）位于第 _象限【提示】由題意得a 0，ab0，則 b0故 a3 0，ab 0【答案】一11正比例函數(shù) yk（k 1） xk 2 k 1的圖象過第 _象限【提示】由題意得k2 k 11，解得 k1 2，k2 1（舍去），則函數(shù)為 y 6 x【答案】一、三【點評】

21、注意求出的k 1 使比例系數(shù)為 0，應舍去12已知函數(shù) yx2（ 2m 4） xm2 10 與 x軸的兩個交點間的距離為2 2 ，則 m _【提示】拋物線與x軸兩交點間距離可應用公式| a |來求本題有 (2m4)24( m2 10) 16m 56 22 ，故 m 3【答案】 3【點評】拋物線與x軸兩交點間距離的公式為，它有著廣泛的應用| a |13反比例函數(shù)y k 的圖象過點 P（ m，n），其中 m，n 是一元二次方程 x2 kx 40 的兩個根，那么 P 點坐標是 _x【提示】 P（ m，n）在雙曲線上，則k xymn，又 mn4，故 k 4【答案】（ 2， 2）【點評】本題是反比例函數(shù)

22、、一元二次方程知識的綜合應用由題意得出k mn4 是關(guān)鍵14若一次函數(shù)ykx b 的自變量 x 的取值范圍是2 x6，相應函數(shù)值 y 的范圍是 11y9，則函數(shù)解析式是_ 112kbk5【提示】當 k0 時，有296kb，解得b6.116kbk5當 k0 時，有292k，解得bb4.55【答案】 yx 6 或 yx 422【點評】因 k是待定字母，而k的不同取值，導致線段分布象限不一樣，自變量的取值與函數(shù)取值的對應關(guān)系也就不同故本例要分 k0 時自變量最大值對應函數(shù)最大值，與k0時自變量最大值對應函數(shù)最小值兩種情形討論15公民的月收入超過 800 元時，超過部分須依法繳納個人收入調(diào)節(jié)稅，當超過

23、部分不足500 元時，稅率（即所納稅款占超過部分的百分數(shù)） 相同某人本月收入1260 元，納稅 23 元，由此可得所納稅款 y（元）與此人月收入x（元） ( 800x1300 )間的函數(shù)關(guān)系為 _23【提示】因 1260800460 ，5%，故在 800x 1300 時的稅率為 5%【答案】 y5%（ x800）460【點評】本題是與實際問題相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，解題時應注意并不是每個人月收入的全部都必須納稅，而是超過 800 元的部分才納稅，故列函數(shù)式時月收入x 須減去 800h 10 t 220 t ，經(jīng)過 _秒，16某種火箭的飛機高度h（米）與發(fā)射后飛行的時間t （秒）之間的函數(shù)關(guān)系式是火箭

24、發(fā)射后又回到地面【提示】火箭返回地面，即指飛行高度為0，則 10 t 220 t 0，故 t0 或 t 20【答案】 20【點評】注意：t 0 應舍去的原因是此時火箭雖在地面，但未發(fā)射，而不是返回地面（三）解答題17（ 6 分）已知y y1 y2， y1 與 x 成正比例， y2 與 x 成反比例，并且x1 時 y4，x 2 時 y5，求當 x4 時 y 的值【解】設 y1 k1x，y2 k2 ，則 y k1x k2 xx把 x 1 時 y 4， x2 時 y 5 分別代入上式，得4k1k252k1解得k12k22.k2 ，2 函數(shù)解析式為 y 2 x2x217當 x 4 時， y 2

25、5; 4 1742 所求的 y 值為2y1， y2 與 x 的函數(shù)解析式注意兩個比例系數(shù)應分別用【點評】本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式關(guān)鍵在于正確設出k1，k2 表示出來，而不能僅用一個k值表示18（ 6 分）若函數(shù) ykx2 2（ k1）x k1 與 x 軸只有一個交點，求 k 的值【提示】本題要分 k 0，k 0 兩種情況討論【解】當 k 0 時， y 2 x1，是一次函數(shù)，此時，直線與x 軸必有一個交點當 k 0 時，函數(shù)為二次函數(shù)，此時， 4（ k1）24 k（ k1） 12 k 4 01k 31所求的 k 值為 0 或30函數(shù)圖象與 x 軸有一個交點包【點評】注意，當問題中未指明函

26、數(shù)形式，而最高次項系數(shù)含字母時，要注意這個系數(shù)是否為括兩種情形：當函數(shù)是一次函數(shù)時，直線與x 軸必只有一個交點；當函數(shù)是二次函數(shù)時，在 0 的條件下，圖象與 x 軸只有一個交點19（ 8 分）已知正比例函數(shù) y4k（1）當 k 為何值時，這兩個函數(shù)的圖象有兩個交點？k 為何值時，這x，反比例函數(shù) yx兩個函數(shù)的圖象沒有交點？（2）這兩個函數(shù)的圖象能否只有一個交點？若有，求出這個交點坐標；若沒有，請說明理由【解】由 y 4 x 和 y k ，得x4 x2 k 0， 16 k（1）當0，即 k 0 時，兩函數(shù)圖象有兩個交點；當0，即 k 0 時，兩函數(shù)圖象沒有交點；（2）比例系數(shù) k0，故 0兩函

27、數(shù)圖象不可能只有一個交點20（8 分）如圖是某市一處十字路口立交橋的橫斷面在平面直角坐標系中的一個示意圖，橫斷面的地平線為x 軸，橫斷面的對稱軸為y 軸，橋拱的D GD 部分為一段拋物線，頂點G 的高度為8 米， AD 和 AD是兩側(cè)高為5. 5 米的立柱， OA 和 OA為兩個方向的汽車通行區(qū)，寬都為15 米，線段CD 和 CD為兩段對稱的上橋斜坡，其坡度為14（1）求橋拱 DGD 所在拋物線的解析式及 CC的長（2）BE 和 BE為支撐斜坡的立柱，其高都為4 米，相應的AB 和 A B為兩個方向的行人及非機動車通行區(qū)，試求AB 和 A B的寬（3）按規(guī)定，汽車通過橋下時，載貨最高處和橋拱之

28、間的距離不可小于0. 4 米，今有一大型運貨汽車，裝載上大型設備后，其寬為4 米，車載大型設備的頂部與地面的距離為7 米，它能否從OA（ OA）安全通過？請說明理由【分析】欲求函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求出三個獨立的點的坐標，然后由待定系數(shù)法求之所以關(guān)鍵是由題中線段的長度計算出D 、G、D 的坐標，當然也可由對稱軸x0 解之至于求 CC、 AB、AB的數(shù)值，則關(guān)鍵是由坡度的定義求解之；到底能否安全通過，則只需在拋物線的解析式中令x 4，求出相應的 y 值，即可作出明確的判斷y ax2c【解】（1）由題意和拋物線的對稱軸是x0，可設拋物線的解析式為由題意得 G（0， 8）， D（ 15， 5. 5）c82 2