【KS5U解析】浙江省十校聯(lián)盟2020屆高三下學期寒假返?？荚嚁?shù)學試題 Word版含解析

1、浙江十校一、選擇題1.設(shè)集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】化簡集合或，從而求再求【詳解】解：或，則，故選：b【點睛】本題考查了集合的交集和補集運算，以及一元二次不等式的解法2.已知雙曲線的上、下焦點分別為，是雙曲線上一點且，則雙曲線的標準方程為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由雙曲線的定義可得實軸長及半焦距，再由，之間的關(guān)系求出，進而求出雙曲線的方程【詳解】解：由雙曲線的定義可得，即，且焦點在軸上，所以雙曲線的方程為：，故選：c【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線的定義求標準方程，屬于基礎(chǔ)題3.已知兩非零復數(shù)，若，則一定成立是a. b. c. d.

2、【答案】d【解析】利用排除法：當時，而，選項a錯誤，選項b錯誤，當時，而，選項c錯誤，本題選擇d選項.4.已知，則“”是“”的（ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 必要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】b【解析】【分析】根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)和特殊值法，判斷即可【詳解】解：，因為，所以，故后者能推出前者，反之，比如，推不出后者，故為必要不充分條件，故選：b.【點睛】本題考查必要不充分條件的判斷以及絕對值不等式的性質(zhì)5.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），其俯視圖為等邊三角形，則該幾何體的體積（單位：）是（）a. b. c. d. 【答案】b【解析】由題意可知該幾何體為正三棱柱

3、去掉一個小三棱錐，.故選：b. 6.已知函數(shù)，則的圖像大致是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)值的變化規(guī)律，代入特殊值判斷，即可得到答案【詳解】解：函數(shù)，為奇函數(shù)，故圖象關(guān)于原點對稱，故排除和， ，可知當，即時，當時，時，從左到右第一個零點為，因為，取，得，則選項正確.故選：c.【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的識別，常用的方法利用函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，特殊值，零點等排除.7.設(shè)，相互獨立的兩個隨機變量，的分布列如下表：-11-11則當在內(nèi)增大時（ ）a. 減小，增大b. 減小，減小c. 增大，增大d. 增大，減小【答案】d【解析】【分析】求出，從

4、而，從而，由此得到當在內(nèi)增大時，增大，減小【詳解】解：，當在內(nèi)增大時，增大，減小，故選：d【點睛】本題考查離散型隨機變量的數(shù)學期望、方差的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力8.如圖，矩形中，為的中點，沿著向上翻折，使點到.若在平面上的投影落在梯形內(nèi)部（不含邊界），設(shè)二面角的大小為，直線，與平面所成角分別為，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】作出圖象，根據(jù)空間角定義可得，結(jié)合，即可得出結(jié)論【詳解】解：由，可知，作中點，則，故在線段上，作交于，連接，如圖，易知，又，故選：c【點睛】本題考查空間角的綜合運用，考查邏輯推理能力以及空間想象能力9.已知，給出下列命題：若，則； 若，

5、則；若，則； 若，則.其中真命題的個數(shù)是（ ）a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】b【解析】【分析】若，則，然后兩邊平方，再通過作差法即可得解；若，則，然后利用立方差公式可知，再結(jié)合以及不等式的性質(zhì)即可判斷；若，則，再利用，得出，從而求得的范圍，進而判斷；取特殊值，即可判斷【詳解】解：若，則，所以，所以，即錯誤；若，則，即，因為，所以，所以，所以，即，所以正確；若，則，因為，所以，所以，即正確；取，滿足，但，所以錯誤；所以真命題有，故選：b點睛】本題考查命題真假的判斷，涉及根據(jù)不等式的性質(zhì)證明不等式、指對運算法則、立方差公式等，考查學生的分析能力和運算能力10.已知數(shù)列的各項都是正數(shù)且滿足

6、，是數(shù)列的前項和，則下列選項中錯誤的一項是（ ）a. 若單調(diào)遞增，則；b. 若，則；c. 若，則d. 若，則.【答案】d【解析】【分析】由數(shù)列遞增可得，結(jié)合數(shù)列的遞推式，解不等式可判斷；分別求得，比較可判斷；由數(shù)列的遞推式可得，由累乘法可判斷；求得，可判斷【詳解】解：數(shù)列的各項都是正數(shù)且滿足，若單調(diào)遞增，可得，即為，可得，且，由，可得，故正確；若，可得，解得（負值已舍去），由，而在，的范圍是，而，則，故方程的解在，內(nèi)，故正確；由，可得，即，即，可得，故正確；若，可得，解得，由，可得，故錯誤故選：d【點睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的運用，考查數(shù)列中的項的范圍和單調(diào)性，以及數(shù)列的求和，考查化簡運算能

7、力、推理能力二、填空題11.我國古代數(shù)學家趙爽利用“勾股圓方圖”巧妙地證明了勾股定理，成就了我國古代數(shù)學的驕傲，后人稱之為“趙爽弦圖”.如圖，它是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形，若直角三角形中較小的銳角記為，大正方形的面積為25，小正方形的面積為1，則_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】直接利用三角形的全等，整理出關(guān)于一元二次方程，進一步利用關(guān)系式的應用求出三角函數(shù)的值【詳解】解：根據(jù)已知條件四個直角三角形全等，所以設(shè)直角三角形的短的直角邊長為，則較長的直角邊長為，所以，整理得，解得：或（負值舍去），所以故答案為：；【點睛】本題考查的知識要點：三

8、角函數(shù)關(guān)系式的變換，二倍角的正弦公式，一元二次方程的解法和應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力12.已知直線：被圓：截得弦長為，則_，圓上到直線的的距離為1的點有_個.【答案】 (1). (2). 3【解析】【分析】利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再根據(jù)弦長公式求出，解方程求得 值，【詳解】解：由題意得：圓心，則圓心到直線的距離，解得；因為，則圓上到直線的距離為1的點應有3個.故答案為：；3【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及點到直線的距離公式的應用.13.（1）若二項式的展開式中存在常數(shù)項，則的最小值為_；（2）從6名志愿者中選出4人，分別參加兩項公益活動，每項活

9、動至少1人，則不同安排方案的種數(shù)為_.（用數(shù)字作答）【答案】 (1). 3 (2). 210【解析】【分析】（1）根據(jù)二項式展開式的通項公式，令的指數(shù)等于0，求出、的關(guān)系，即可求出的最小值；（2）根據(jù)題意，分2步進行分析：，從6名志愿者中選出4人，將選出的4人分成2組，分別參加兩項公益活動，由分步計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】解：（1）的展開式中通項公式為：，令，解得，其中，1，2，當時，所以的最小值為3（2）根據(jù)題意，分2步進行分析：從6名志愿者中選出4人，有種選法，將選出的4人分成2組，分別參加兩項公益活動，有種情況，則有種不同的安排方案，故答案為：3，210【點睛】本題考查利用二項展開式

10、的通項公式求展開式的特定項問題，以及分步計數(shù)原理的應用，涉及排列、組合公式的應用14.如圖，在中，內(nèi)角，的對邊分別為，若，則_，點為邊上一點，且，則的面積為_.【答案】 (1). (2). 10【解析】【分析】由已知結(jié)合正弦定理可求，然后結(jié)合二倍角關(guān)系可求，結(jié)合三角形的面積公式及等高三角形的面積比可轉(zhuǎn)化為底的比可求【詳解】解：因為，由正弦定理可得：，所以，則；，由余弦定理可得：，解可得（舍或，所以，故答案為：，10【點睛】本題考查正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在求解三角形中的應用15.已知是橢圓：的左焦點，是橢圓上的兩個相異動點，若中點的橫坐標為1，則到直線距離的最小值為_.【答案】【解

11、析】【分析】分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論，由于同一點對稱性設(shè)斜率大于0，與橢圓聯(lián)立求出兩根之和，再由的中點的橫坐標求出參數(shù)之間的關(guān)系，由點到直線的距離公式求出到直線 距離令參數(shù)部分為函數(shù)，求導，由函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，進而求出到直線的最小值【詳解】解：由題意的方程可得：，若直線的斜率不存在時，則由題意可得的方程為：，這時到直線的距離為2，當直線的斜率存在且不會為0時，由題意的對稱性設(shè)，設(shè)方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：，整理可得：，即，因為中點的橫坐標為1，所以，即所以到直線的距離令，當，單調(diào)遞增，當，單調(diào)遞減，所以時最大，且，所以，故答案為：【點睛】本題考查橢圓的性質(zhì)及直線

12、與橢圓的綜合，點到直線的距離公式的應用和利用導數(shù)去研究函數(shù)的單調(diào)性和最值16.已知向量，滿足，且，則的取值范圍為_.【答案】【解析】分析】由和，求得和的值，以及的取值范圍，再求的取值范圍，即可得出的取值范圍【詳解】解：由，得，又，得，由得，且，即，所以，所以，所以的取值范圍是，故答案為：，【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算問題，也考查了運算求解能力17.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個互不相同的零點0，其中，若對任意的，都有成立，則實數(shù)的最小值為_.【答案】【解析】【分析】由題意可知，是的根，且，從而可知，然后結(jié)合導數(shù)可求，而原題可轉(zhuǎn)化為，代入解不等式可求【詳解】解：因為，由題意可知：，是的根，則，

13、當時，則存在的極大值點，且，由題意，將代入得，解可得又因為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，得即的最小值故答案為：.【點睛】本題考查一元二次不等式恒成立問題、利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想三、解答題18.已知函數(shù)的圖像如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）由圖知，由，可求得，由可求得；（2）先化簡，然后利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論【詳解】解：（1），.（2），解得單調(diào)遞增區(qū)間：，.【點睛】本題考查三角函數(shù)解析式的求解，以及三角函數(shù)的化簡，三角

14、函數(shù)的單調(diào)性，綜合考查三角函數(shù)的性質(zhì)19.如圖，四棱錐中，是等邊三角形，底面是直角梯形，分別是，的中點.（1）求證：平面；求線段的長度；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）通過證明面面，再利用面面平行的性質(zhì)得證；由余弦定理求解即可；（2）法一：作出圖象，設(shè)到平面的距離設(shè)為，利用等體積法求出，進而可得直線與平面所成角的正弦值為法二：利用面面垂直的判定定理可證出平面平面，建立空間直角坐標系，通過空間向量法，求出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】解：（1）證明：取中點，則，平面平面，平面.由可知：，由余弦定理得到：.（2）解法一：，又，平面，平

15、面平面，延長到，使得，則面，是的中點，.到平面的距離設(shè)為，體積法求得：，.解法二：，又，平面，平面平面，以為坐標原點建立空間坐標系，得到，延長到，使得，則面，則，由于，則法向量，直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的判定及性質(zhì)，考查線面角的求解，同時也考查了線面垂直的判定以及等體積法的運用，考查邏輯推理能力及運算求解能力20.設(shè)是數(shù)列的前項和，且是和2的等差中項.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記.求數(shù)列的前項和；設(shè)，求證：【答案】（1）；（2）；詳見解析.【解析】【分析】（1）由是和2的等差中項，可得，當時，相減可得：，時，可得，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出（2）利用等比數(shù)列

16、的求和公式可得：，進而得出由可得：利用裂項求和可得，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可證明結(jié)論【詳解】解：（1）是和2的等差中項，當時，解得，當，時，-得，數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，.（2）記，.數(shù)列的前項和：，.由進一步得到：，.即.【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式求和公式、裂項相消求和方法，考查了推理能力與計算能力21.如圖，已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線交拋物線于，兩點，點在準線上的投影為，若是拋物線上一點，且.（1）證明：直線經(jīng)過的中點；（2）求面積的最小值及此時直線的方程.【答案】（1）詳見解析；（2）面積最小值為16，此時直線方程為.【解析】【分析】（1）由

17、題意得拋物線的焦點坐標和準線方程，設(shè)，直線：，可得的坐標，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理，可得的斜率和直線的斜率，進而可得直線的方程，與拋物線聯(lián)立可得兩根之和，可得中點的縱坐標與的相同，即可證出直線經(jīng)過的中點；（2）根據(jù)弦長公式求出，利用點到直線的距離公式，求出點到直線的距離為，運用，結(jié)合均值不等式求出，即可求出直線的方程.【詳解】解：（1）由題意得拋物線的焦點，準線方程為，設(shè)，直線：，則，聯(lián)立和，可得，顯然，可得，因為，所以，故直線：，由，得.，所以的中點的縱坐標，即，所以直線經(jīng)過的中點.（2）所以，設(shè)點到直線的距離為，則.所以，當且僅當，即，時，直線的方程為：，時，直線的方程為：.另解：.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及直線方程、中點坐標公式、拋物線的標準方程和性質(zhì)、聯(lián)立方程、韋達定理、弦長公式以及三角形面積公式，考查解題分析能力和計算能力.22.已知函數(shù)，是的導函數(shù).（1）證明：當時，在上有唯一零點；（2）若存在，且時，證明：.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）