【KS5U解析】湖北省荊州市沙市中學(xué)2020屆高三下學(xué)期5月第三次模擬數(shù)學(xué)（文）試題 Word版含解析

1、湖北省荊州市沙市中學(xué)2019-2020學(xué)年高三第三次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由集合，集合求即可.【詳解】解:由集合，集合，則,故選:b.【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則的虛部為（ ）a. b. -2c. d. 2【答案】b【解析】分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的四則運(yùn)算，分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，整理出復(fù)數(shù)代數(shù)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式，得到答案.【詳解】.故選：b【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)

2、的基本概念和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.中國(guó)有四大國(guó)粹：京劇、武術(shù)、中醫(yī)和書(shū)法.某大學(xué)開(kāi)設(shè)這四門課供學(xué)生選修，男生甲選其中三門課進(jìn)行學(xué)習(xí)，已知他選修了京劇，則他選修書(shū)法的概率為( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先求出4門課程里選3門課程（京劇已選）的基本事件的個(gè)數(shù)，再求出從4門課程里選3門課程他選修了京劇，且選修書(shū)法的基本事件的個(gè)數(shù)，然后結(jié)合古典概型的概率公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)?門課程里選3門課程（京劇已選），再?gòu)氖Ｏ碌?門課程中選2門即可，共有京劇，武術(shù)，中醫(yī)，京劇，武術(shù)，書(shū)法，京劇，中醫(yī)，書(shū)法3種不同的選擇，又從4門課程里選3門課程他選修了京劇，且選修書(shū)法

3、共有京劇，武術(shù)，書(shū)法，京劇，中醫(yī)，書(shū)法 2種不同的選擇，所以選書(shū)法的概率為，故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率公式，屬基礎(chǔ)題.4.已知，則的值為( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】將兩邊同時(shí)平方，再結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系及二倍角公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，兩邊同時(shí)平方得，所以，所以，故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角公式，重點(diǎn)考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.5.設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，若，則（ ）a. 13b. 15c. 17d. 19【答案】d【解析】【分析】因?yàn)?，可得，從而求出，根?jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可計(jì)算的值.【詳解】因?yàn)椋?，即，解得，所?故選：d【點(diǎn)睛

4、】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.6.公元5世紀(jì)，我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家祖沖之給出了圓周率的兩個(gè)近似分?jǐn)?shù)值：（稱之為“約率”）和（稱之為“密率”）一幾何體的三視圖如圖所示（每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1），如果取圓周率為“約率”，則該幾何體的體積為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】該圖為三棱錐和半圓錐組成，按棱錐和圓錐的體積公式計(jì)算，體積公式中的代值計(jì)算時(shí)用計(jì)算即可.【詳解】如圖，組合體有半個(gè)圓錐與一個(gè)三棱錐放一起形成，所以故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原幾何體并求體積，考查棱錐和圓錐體積公式，考查新概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.7.函數(shù)的圖象可能是(

5、 )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再結(jié)合特殊變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)判斷即可得解.【詳解】解：由函數(shù)，則，所以為偶函數(shù)，又偶函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，所以b，d不正確，又因?yàn)椋碿不正確，故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查了偶函數(shù)圖像的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了函數(shù)圖像的對(duì)稱性，屬基礎(chǔ)題.8.菱形中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則為( )a. b. 3c. d. 【答案】b【解析】【分析】先建系，再結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】解：建立如圖所示坐標(biāo)系，所以，則，所以，故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.9.數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則( )

6、a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先由數(shù)列的遞推關(guān)系可得當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，所以奇數(shù)項(xiàng)為以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，所以偶數(shù)項(xiàng)為以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，再結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和的求和公式求解即可.【詳解】解：由，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，所以奇數(shù)項(xiàng)為以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，所以偶數(shù)項(xiàng)為以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以，故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和的求和公式，重點(diǎn)考查了等比數(shù)列的判斷，屬基礎(chǔ)題.10.點(diǎn)在直線上，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先判斷出點(diǎn)的軌跡，然后結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求解即可.【詳解

7、】解：因?yàn)?，所以的軌跡是半徑為1的圓，直線恒過(guò)與圓有公共點(diǎn)，如圖，臨界為相切時(shí)刻，所以，故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，重點(diǎn)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬基礎(chǔ)題.11.已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)且斜率為的直線與雙曲線的漸近線在第一象限交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】因?yàn)?，所以點(diǎn)p在以為直徑的圓上，且圓心為o，所以，已知， ，所以根據(jù)正切函數(shù)的二倍角公式可計(jì)算的值，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳解】，所以點(diǎn)p在以為直徑的圓上，且圓心為o，又已知，.故選：d【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線離心率，考查正切函數(shù)的二倍角公式，考查數(shù)形

8、結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.12.設(shè)函數(shù)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先將表示為關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域即可得解.【詳解】解：由可知，又，令，則，則函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，又，故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，屬中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.曲線在處的切線方程為_(kāi).【答案】【解析】【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】解：由，得，則，即當(dāng)時(shí)，所以切線方程為：，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了曲線在某點(diǎn)處的切線方程的求法，屬基

9、礎(chǔ)題.14.設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是_【答案】2【解析】【分析】根據(jù)條件畫(huà)出約束條件所表示的可行域，再利用幾何意義求最值，的幾何意義是軸上縱截距的2倍，所以只需求出在軸上縱截距的最小值，則可得出結(jié)果.【詳解】如圖，不等式組所表示的平面區(qū)域，令，移動(dòng)此直線，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)取得最小，且故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求最值問(wèn)題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.15.設(shè)拋物線：焦點(diǎn)為，斜率為正數(shù)的直線過(guò)焦點(diǎn)，交拋物線于，兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，則直線的斜率為_(kāi).【答案】【解析】【分析】先分別過(guò)，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，由拋物線的定義有，然后再求解即可.【詳解】解：分別過(guò)，作準(zhǔn)線的垂線

10、，垂足分別為，則為中點(diǎn)，在中，設(shè)，則，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義，重點(diǎn)考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，屬中檔題.16.如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，為中點(diǎn)，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將，分別沿，折起，使得，重合為點(diǎn)，形成四棱錐，過(guò)點(diǎn)作平面于.平面平面；當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積為；為的垂心；長(zhǎng)的取值范圍為 .則以上判斷正確的有_（填正確命題的序號(hào)）.【答案】【解析】【分析】對(duì)于，由面面垂直的判斷定理即可判斷；對(duì)于，利用等體積法求三棱錐的體積即可；對(duì)于，假設(shè)為垂心，則，平面，可得，又不恒為2，對(duì)于，沿將折到四邊形內(nèi)，即位置，此時(shí)沿翻折，由可得.【詳解】解：對(duì)于，如圖所示，所以折起后不變，平面，平面，

11、平面，平面平面，即正確；對(duì)于，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，即正確；對(duì)于，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，若為垂心，則，平面，又，平面，即，又不恒為2，即不正確；對(duì)于，如圖（3）沿將折到四邊形內(nèi)，即位置，此時(shí)沿翻折，如圖，即正確，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了線與面的位置關(guān)系，重點(diǎn)考查了空間幾何體的體積的運(yùn)算，屬中檔題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第（22）、（23）題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.在中，角，的對(duì)邊分別為，滿足.（1）求角；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理可

12、得，結(jié)合運(yùn)算即可；（2）由余弦定理結(jié)合三角形的面積公式可得解.【詳解】解：（1）由正弦定理可得，則；（2）由余弦定理可得，得，化簡(jiǎn)得，又，則，解得，或，所以三角形周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理及余弦定理，重點(diǎn)考查了三角形的面積公式，屬基礎(chǔ)題.18.如圖，四棱錐，平面，底面梯形，為中點(diǎn).（1）證明：直線；（2）若平面與棱交于，求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）先證明平面，再證明即可；（2）先證明為四棱錐的高，再結(jié)合棱錐的體積公式求解即可.【詳解】證明：（1）證明：如圖，連結(jié)，在中，易得，在中，又平面，又，平面，又平面，；（2）取中點(diǎn)，連結(jié)，在中，分別為，

13、中點(diǎn)，又，四點(diǎn)共面，即為平面與棱的交點(diǎn)；平面，又，平面，平面，為中點(diǎn)，又，平面，平面，即為四棱錐的高.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定及線線垂直的證明，重點(diǎn)考查了棱錐的體積的求法，屬中檔題.19.2019年春節(jié)前后，中國(guó)爆發(fā)新型冠狀病毒（sars-cov-2）如圖所示為1月24日至2月16日中國(guó)內(nèi)地（除湖北以外的）感染新型冠狀病毒新增人數(shù)的折線圖，為了預(yù)測(cè)分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，建立了與時(shí)間變量的不同時(shí)間段的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù)1月24日至2月3日的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11）建立模型：；根據(jù)2月4日至2月16日的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為12，13，1

14、4，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24）建立模型：.1月24日1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日1月30日1月31日2月1日2月2日2月3日12345678910113321742983374485936907377206489262月4日2月5日2月6日2月7日2月8日2月9日2月10日2月11日2月12日2月13日2月14日2月15日2月16日12131415161718192021222324830741693683559464431377377299259211160（1）求出兩個(gè)回歸直線方程；（計(jì)算結(jié)果取整數(shù)）（2）中國(guó)政府為了人民的生命安全，

15、聽(tīng)取專家意見(jiàn)，了解了病毒信息，并迅速做出一系列的隔離防護(hù)措施，但新冠狀病毒在世界范圍內(nèi)爆發(fā)時(shí)，某些歐美國(guó)家采取放任的態(tài)度，不治療、不隔離、不檢測(cè)，甚至不公布，請(qǐng)你用以上數(shù)據(jù)說(shuō)明采取一系列措施的必要性，不采取措施的后果.參考數(shù)據(jù)：，參考公式：.【答案】（1），；（2）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）結(jié)合題設(shè)的參考數(shù)據(jù)及參考公式求回歸方程即可；（2）利用回歸方程，結(jié)合題設(shè)對(duì)應(yīng)圖像分析即可得解.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，所以模型：；當(dāng)時(shí)，所以模型：；（2）由圖可觀察出除湖北外由于我國(guó)的隔離防護(hù)等一系列措施的實(shí)施，從2月3日以后新冠狀病毒新增確診病例出現(xiàn)了拐點(diǎn)，逐漸減少，呈下降的趨勢(shì)，效果顯著；假如不采取

16、措施，任由其發(fā)展，按模型的規(guī)律發(fā)展下去，在2月16日，即時(shí)，新增確診病例預(yù)測(cè)為，是采取措施后的十幾倍，所以任何國(guó)家和政府都應(yīng)把人民生命財(cái)產(chǎn)安全放在首位.【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸直線方程的求法，重點(diǎn)考查了閱讀能力及對(duì)數(shù)據(jù)的處理能力，屬基礎(chǔ)題.20.函數(shù)，.（1）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有極大值點(diǎn)，且.【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）先求出，再求出，然后解不等式，求解即可；（2）先利用零點(diǎn)定理證明為函數(shù)的極大值點(diǎn)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.【詳解】解：（1）定義域?yàn)椋瑒t，令，由，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（

17、2）由（1）可知在上單調(diào)遞減，由，設(shè)，使得，即時(shí)，時(shí)，所以為函數(shù)的極大值點(diǎn).，即，將代入整理得：，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立，屬中檔題.21.已知橢圓：的離心率為，左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，為橢圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交軸與點(diǎn)，試探究是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）；（2）存在.【解析】【分析】（1）由當(dāng)在軸時(shí)，面積最大，得，然后結(jié)合求解即可；（2）先設(shè)，求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，然后求出以為直徑的圓的方程，再結(jié)合在橢圓上，代入方程

18、整理得圓的方程為，然后令，求解即可.【詳解】解：（1）由題意知，當(dāng)在軸時(shí)，面積最大，所以，又，聯(lián)立，得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，其中，則，所以直線的方程為，令，得，即，又，所以直線的方程為，令，得，即，所以，以為直徑的圓的方程為：，又，且在橢圓上，所以，代入方程整理得圓的方程為，令，則，所以存在點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求法，主要考查了圓的方程，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬中檔題.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在（22）、（23）題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（1）寫(xiě)出曲線的直