徐芝綸編彈性力學(xué)簡明教程第四版本,全部章節(jié)課后包括答案詳解

1、彈性力學(xué)簡明教程（第四版）課后 習(xí)題解答徐芝綸第一章緒論1-1 試舉例說明什么是均勻的各向異性體，什么是非均勻的各向同性體？【分析】均勻的各項異形體就是滿足均勻性假定，但不滿足各向同性假定；非均勻的各向異性體，就是不滿足均勻性假定，但滿足各向同性假定?！窘獯稹烤鶆虻母黜棶愋误w如：竹材，木材。非均勻的各向同性體如：混凝土?！?-2】一般的混凝土構(gòu)件和鋼筋混凝土構(gòu)件能否作為理想彈性體？ 一般的巖質(zhì)地基和土質(zhì)地基能否作為理想彈性體？【分析】能否作為理想彈性體，要判定能否滿足四個假定：連續(xù)性，完全彈性，均勻性,各向同性假定。【解答】- 般的混凝土構(gòu)件和土質(zhì)地基可以作為理想彈性一般的鋼筋混凝土構(gòu)件和體；

2、巖質(zhì)地基不可以作為理想彈性體?！?-3 五個基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時有什么作用？【解答】（1）連續(xù)性假定：假定物體是連續(xù)的，也就是假定整個物體的體積都被組成這個物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。引用這一假定后，物體的應(yīng)力、形變和位移等物理量 就可以看成是連續(xù)的。因此，建立彈性力學(xué)的基本方程時就可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示他們 的變化規(guī)律。完全彈性假定：假定物體是完全彈性的，即物體在對應(yīng)形變的外力被去除后，能夠完全恢復(fù)原型而無任何形變。這一假定，還包含形變與引起形變的應(yīng)力成正比的涵義，亦即兩者之間 是成線性關(guān)系的，即引用這一假定后，應(yīng)力與形變服從胡克定律，從而使物理方程成為線性的方 程，其

3、彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或形變的大小而變。均勻性假定：假定物體是均勻的，即整個物體是由同一材料組成的，引用這一假定后整個 物體的所有各部分才具有相同的彈性，所研究物體的內(nèi)部各質(zhì)點的物理性質(zhì)都是相同的，因而物體 的彈性常數(shù)不隨位置坐標(biāo)而變化。各向同性假定：假定物體是各向同性的，即物體的彈性在所有各個方向都相同，引用此假定后，物體的彈性常數(shù)不隨方向而變。小變形假定：假定位移和變形是微小的。亦即，假定物體受力以后整個物體所有各點的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸，而且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于lo這樣在建立物體變形以后的平衡方程時，就可以方便的用變形以前的尺寸來代替變形以后的尺寸。在考察物體的位移與形變的關(guān)系時，它們的

4、二次幕或乘積相對于其本身都可以略去不計，使得彈性力學(xué)中的微分方程都簡化為線性的微分方程。W】應(yīng)力和面力的符號規(guī)定有什么區(qū)別？試畫出正坐標(biāo)面和負(fù)坐標(biāo)面上的正的應(yīng) 力和正的面力的方向?！窘獯稹繎?yīng)力的符號規(guī)定是：當(dāng)作用面的外法線方向指向坐標(biāo)軸方向時（即正面時）這個面上的應(yīng)力（不論是正應(yīng)力還是切應(yīng)力）以沿坐標(biāo)軸的正方向為正， 沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向為負(fù)。當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向時（即負(fù)面時），該面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方 向為正，沿坐標(biāo)軸的正方向為負(fù)。面力的符號規(guī)定是：當(dāng)面力的指向沿坐標(biāo)軸的正方向時為正，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向為負(fù)。由下圖可以看出，正面上應(yīng)力分量與面力分量同號，負(fù)面上應(yīng)力分量與面力分量符

5、號相反。正的應(yīng)力正的面力【1T】試比較彈性力學(xué)和材料力學(xué)中關(guān)于切應(yīng)力的符號規(guī)定?！窘獯稹坎牧狭W(xué)屮規(guī)定切應(yīng)力符號以使研究對象順時針轉(zhuǎn)動的切應(yīng)力為正， 彈性力學(xué)中規(guī)定，作用于正坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的正方向為正，面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向為正，反之為負(fù)。反之為負(fù)。作用于負(fù)坐標(biāo)【1七試舉例說明正的應(yīng)力對應(yīng)于正的形變?！窘獯稹空膽?yīng)力包括正的正應(yīng)力與正的切應(yīng)力，正的形變包 括正的正應(yīng)變與正的切應(yīng)變，本題應(yīng)從兩方面解答。正的正應(yīng)力對應(yīng)于正的正應(yīng)變：軸向拉伸情況下，產(chǎn)生軸向拉 應(yīng)力為正的應(yīng)力，引起軸向伸長變形，為正的應(yīng)變。正的切應(yīng)力對應(yīng)于正的切應(yīng)變：在如圖所示應(yīng)力狀態(tài)情況下, 切應(yīng)力均為正的切應(yīng)力

6、，引起直角減小，故為正的切應(yīng)變?！?-7 試畫出圖IT中矩形薄板的正的體力、面力和應(yīng)力的方向?！窘獯稹縡X fy 二丈正的體力、面力y正的體力、應(yīng)力Oz【1七1試畫出圖1臨中三角形薄板的正的面力和體力的方向?！窘獯稹俊?9 在圖1-3的六面體上，y面上切應(yīng)力問的合力與z面上切應(yīng)力 zy的合力是否相等？【解答】切應(yīng)力為單位面上的力，量綱為 力應(yīng)乘以相應(yīng)的面積，設(shè)六面體微元尺寸如L !M T 2 ,單位為N /m $。因此，應(yīng)力的合dxxdyxdzyz則y面上切應(yīng)力的合力為:yz dx dzfe)z面上切應(yīng)力的合力為:zyzy dx dy(b)由式(a) (b)可見，兩個切應(yīng)力的合力并不相等?！痉?/p>

7、析】作用在兩個相互垂直面上并垂直于該兩面交線的切應(yīng)力的合力不相 等，點的合力矩相等，才導(dǎo)出切應(yīng)力互等性。但對某第二章 平面問題的基本理論（圖2-14）其應(yīng)力狀態(tài)接【2-1】試分析說明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中 近于平面應(yīng)力的情況?！窘獯稹吭诓皇苋魏蚊媪ψ饔玫目臻g表面附近的薄層屮，可以認(rèn)為在該0薄層的上下表面都無面力，且在薄層內(nèi)所有各點都有Z炳Z ,只存在平面應(yīng)力分量X, y , xy ,且它們不沿Z方向變化，僅為X, y的函數(shù)。可以認(rèn)為此問題是平面應(yīng)力問題。【2-2 1試分析說明，在板面上處處受法向約朿且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15 ）,當(dāng)板邊上只受x, y向的面

8、力或約束，且不沿厚度變化時，其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況。0【解答】板上處處受法向約朿時Z ,且不受切向面力作用，則yz 0 （相應(yīng)zx zy 0 ）板邊上只受X, y向的面力或約束，所以僅存在xy,且不沿厚度變化，僅為 X, y的函數(shù)，故其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況。2-3】在圖2-3的微分體中，若將對形心的力矩平很條件 M c 0改為對角點的力矩平衡條件，試問將導(dǎo)出什么形式的方程？【解答】將對形心的力矩平衡條件Me 0 ,改為分別對四個角點A、B、D、E的平衡條件，為計算方便，在 z方向 的尺寸取為單位loydX 1 擊(x-dx)dy 1 -dy (xydx)dy 1 dx ydy

9、1 -dy2x ax dy)dx 1 y22xdydy)dx 1 dy fxdxdy 1 y22dx艮 dxdy 1(a)0dxJ dy)dx 1 y2dx 首dxdy 10(b)x ' dx) dy 1-dy 茫x2dyxydy 1 dx xdy 1 dy) dx 1 dy ( y ydxdyydx 1 £ dxdy 1 ,dy)dxlydxxdx 1 一 ( x2dx xydy 1 dx2蘭 dx)dy 12dyxdy 1 2 dydx塊dxdy 1 1 毎 dxdy 1 一2yxdx 1 dy(c)0Ldy)dx 1 空2(xdx)dy 1x2dxyxdx 1 dy y

10、 dx 1 一2dx)dy 1 dx &dxdy 1 咅 dxdy 1 去x22(d)0略去G）、（b）、（c）、（d）屮的三階小量（亦即令d 2 xdy, dxd 2 y都趨于0）,并將各式都除以dxdy后合并同類項，分別得到【分析】由本題可得出結(jié)論：微分體對任一點取力矩平衡得到的結(jié)果都是驗證了切應(yīng)力互等定理。2-4】在圖2-3和微分體中，若考慮每一面上的應(yīng)力分量不是均勻分布的，驗證將導(dǎo)出什么形 式的平衡微分方程？【解答】微分單元體ABCD的邊長dx, dy都是微量，因此可以假設(shè)在各面上所受的應(yīng)力如圖a所示，忽略了二階以上的高階微量，而看作是線性分布的,如圖（b）所示。為計算方便，單

11、元體在z方向的尺寸取為一個單位。yx AyxDyDxyDyxA各點正應(yīng)力:（x）A(X)BDb UlIlLllfijQJJ1LU.UJyxB(a)x dy ；yCyxc!'xC(b)（y）AxBBy Ax A Lrmn 叩 1rnrmnTA fxDyxDyDyCyxB1 xyDI.AxCyxcxy C(X)D(x)CXXXdx ;Xy ；(y)D(y)CyyXdxXx dxXXyy dxXyy各點切應(yīng)力:)(xy Axy ；)(yx ayx)(xy Bxyxy dy ；)(yx ayxyx dyyy(xy)Dxy)(yx dyxyx dXXX(xy)Cxyxy dxxydy ；)(yx

12、 cyxyx dxdyXyXy由微分單元體的平衡條件Fx0, Fy 0,得1_X2Xdyydy士X2XdxXXXdx -Xxdyydy12 YX+yx vdxXdx1 yx -2y i dyyyxf dxXvdyydx fxdxdy 012 0；fy 0 x yy x【分析】由本題可以得出結(jié)論：彈性力學(xué)屮的平衡微分方程適用于任意的應(yīng)力分布形式。2-5 1在導(dǎo)出平面問題的三套基本方程時，分別應(yīng)用了哪些基本假定？這些方程的適用條件是 什么？【解答】（1）在導(dǎo)出平面問題的平衡微分方程和幾何方程時應(yīng)用的基本假設(shè)是：物體的連續(xù)性和小變形假定，這兩個條件同時也是這兩套方程的適用條件。儀）在導(dǎo)出平面問題的物

13、理方程時應(yīng)用的基本假定是：連續(xù)性，完全彈性，均勻性和各向同性假定，即理想彈性體假定。同樣，理想彈性體的四個假定也是物理方程的使用條件。【思考題】平面問題的三套基本方程推導(dǎo)過程屮都用到了哪個假定？yydxXdx士y2dyyyydxXdyydx1 xy+xy fdydy+1xy dx+xy f dyqdxdy fydxdy 02y2XyX以上二式分別展開并約簡，再分別除以dxdy ,就得到平面問題屮的平衡微分方程：【2弋】在工地上技術(shù)人員發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直徑和厚度相同的情況下，在自重作用下的鋼圓環(huán)（接近平面應(yīng)力問題）總比鋼圓筒（接近平面應(yīng)變問題）的變形大。試根據(jù)相應(yīng)的物理方程來解釋這種現(xiàn)象?！窘獯稹矿w力相

14、同情況下，兩類平面問題的平衡微分方程完全相同，故所求的應(yīng)力分量相同。由物理方程可以看出，兩類平面問題的物理方程主要的區(qū)別在于方程屮含彈性常數(shù)的系數(shù)。由于E為GPa級別的量，而泊松比取值一般在（0,）,故主要控制參數(shù)為含有彈性模量的系數(shù)項，比較兩類平面問題的系數(shù)項，不難看出平面應(yīng)力問題的系數(shù)1龍要大于平面應(yīng)變問題的系數(shù)12 /E -因此，平面應(yīng)力問題情況下應(yīng)變要大，故鋼圓環(huán)變形大?！?-7 1在常體力，全部為應(yīng)力邊界條件和單連體的條件下，對于不同材料的問題和兩類平面問題的應(yīng)力分量 x， y和xy均相同。試問其余的應(yīng)力，應(yīng)變和位移是否相同？【解答】（1）應(yīng)力分量：兩類平面問題的應(yīng)力分量y和xy均相

15、同，但平面應(yīng)力問題z yz xz 0 ,而平面應(yīng)變問題的xz yz 0, zx y o（2）應(yīng)變分量：已知應(yīng)力分量求應(yīng)變分量需要應(yīng)用物理方程，而兩類平面問題的物理方程不相同，故應(yīng)變分量xz yz 0, xy 相冋，而x , y , z不相同。（3） 位移分量：由于位移分量要靠應(yīng)變分量積分來求解，故位移分量對于兩類平面問題也不同?！?W】在圖2-16中，試導(dǎo)出無面力作用時AB邊界上的之間的關(guān)系式【解答】由題可得：1 cos , m cos90°sinfx AB0, fy AB0將以上條件代入公式（圖 2-16X AB cosyxs in0,ysin (xy ) AB cosOABAB)

16、(x ABtanyx AB0y ab tarr2T.5 )，得:2-9】試列出圖2-17，圖2-18所示問題的全部邊界條件。在其端部小邊界上，應(yīng)用圣維南原理 列出三個積分的應(yīng)力邊界條件。01k.亠.ni g.h.h2y h2bXyM圖 2-17圖 2-18【分析】有約束的邊界上可考慮采用位移邊界條件，若為小邊界也可寫成圣維南原理的三個積分形式，大邊界上應(yīng)精確滿足公式（2-15 ） o【解答】圖2-17 :上(y=0)左(x=0)右（x二b）10-11m-100fx S0g y hlg y hifySghi00代入公式（2-15 ）得 在主要邊界上x=0, x=b上精確滿足應(yīng)力邊界條件：x xo

17、g（y hi）, xy x 0 °；x xbg（y hl ）, xy X b 0; 在小邊界y 0上，能精確滿足下列應(yīng)力邊界條件：gh,oy y 0xy y 0 在小邊界y h2上，能精確滿足下列位移邊界條件：Uy h 0, V y h 02 2這兩個位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替，當(dāng)板厚時，可求得固定端約束反力分別為：Fs 0,Fn ghib, M 0由于y h2為正面，故應(yīng)力分量與面力分量同號，則有:Fx0,FnFn qilFnqil Fn0,Fsql 0qlFs1 qL -2由于x二1為正面，應(yīng)力分量與面力分量同號，故 h/2) dyF(x x

18、 1 Nh憶h/2(x ) x lydy Mh憶h/2; ay r(xy x 1SM a 0, M1Qlh2qilFnqih一 M2qhFsl 一2qlFsb0y y h2 dXghibbvxdx00y h2b0xy y h2dx0圖2-18 上下主要邊界y=4i/5 , y=h/2上，應(yīng)精確滿足公式(2-15 )1mfx (s)fy 6)hy -0-10q2 h y _01-Ql09y 了=2q, (yx ) y h /20,(y)yh/2°,( yx ) y h /2 Ql 在x二0的小邊界上，應(yīng)用圣維南原理，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件：負(fù)面上應(yīng)力與面力符號相反，有h Q(xy)

19、axx 0Fsh龍h R)axGx 0Fnh Rh憶(x)X o ydxMh龍 在x二1的小邊界上，可應(yīng)用位移邊界條件Ux 1 0,vx 10這兩個位移邊界條件也可改用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替。首先，求固定端約束反力,按面力正方向假設(shè)畫反力，如圖所示，列平衡方程求反力:h E【2-10】試應(yīng)用圣維南原理，列出圖 2-19所示的兩個問題中 0A邊上的三個積分的應(yīng)力邊界條件，并比較兩者的面力是否是是 靜力等效？【解答】由于h ? 1, OA為小邊界，故其上可用圣維南原理， 寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件：Q）上端面oa面上面力fx o, fvb由于0 A面為負(fù)面，故應(yīng)力主矢、主矩與面力主矢、主矩符

20、號 相反，有0qzvxo Fn|xAbhhAmmqbFn 72M qb122*yh b, 1于孑孑聲孑歹歹章"jTyab圖 2-19bb bXqbydXfy dxqdx0y 00ob2bb b xbyxdxfy xdxq x dx0y o0 “0 b2qb212 （對OA中點取矩）dx 0Oyxy oy向為（b）應(yīng)用圣維南原理，負(fù)面上的應(yīng)力主矢和主矩與面力主矢和主矩符號相反，面力主矢 正，主矩為負(fù)，則bydXFnqb0y o2bqb 20y y 0 xdxM12bxydx00y o綜上所述，在小邊界0A上，兩個問題的三個積分的應(yīng)力邊界條件相同，故這兩個問題是靜力等 效的。【2-11

21、檢驗平面問題屮的位移分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】（1）在區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程式（2-18 ）;（2）在S上用位移表示的應(yīng)力邊界條件式（2-19 ）；（3）在Su上的位移邊界條件式（2-14 ）；對于平面應(yīng)變問題，需將E、U作相應(yīng)的變換?！痉治觥看藛栴}同時也是按位移求解平面應(yīng)力問題時，位移分量必須滿足的條件?！?-12】檢驗平面問題屮的應(yīng)力分量是否為正確解答的條件是什么？ 【解答】（1）在區(qū)域A內(nèi)的平衡微分方程式（2-2 ）:（2）在區(qū)域A內(nèi)用應(yīng)力表示的相容方程式（221 ）或（2乜2 ）；（3）在邊界上的應(yīng)力邊界條件式（2-15 ）,其中假設(shè)只求解全部為應(yīng)力邊界條件的問題

22、;（4）對于多連體，還需滿足位移單值條件?！痉治觥看藛栴}同時也是按應(yīng)力求解平面問題時，應(yīng)力分量必須滿足的條件?！狙a題】檢驗平面問題屮的應(yīng)變分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】用應(yīng)變表示的相容方程式（2-20 ）【2-13 檢驗平面問題屮的應(yīng)力函數(shù)是否為正確解答的條件是什么？【解答】（1）在區(qū)域A內(nèi)用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程式（2-25 ）:（2）在邊界S上的應(yīng)力邊界條件式（2-15 ）,假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件；（3）若為多連體，還需滿足位移單值條件?！痉治觥看藛栴}同時也是求解應(yīng)力函數(shù)的條件。圖 2-21qaa qbkb!° kq q【2-14 檢驗下列應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答：

23、圖 2-202(a)圖 2乜o , sx =, yb必須滿足：（1）平衡微分方程（2乜）；【解答】在單連體中檢驗應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答,（2）用應(yīng)力表示的相容方程（2-21 ）:（3）應(yīng)力邊界條件（2-15 ） oyxy o顯然滿足yXfx fy 02-21 ),有（b）圖2-21 ,由材料力學(xué)公式,三勿0二右b2（1）將應(yīng)力分量代入平衡微分方程式，且（2）將應(yīng)力分量代入用應(yīng)力表示的相容方程式（2 2 等式左二2 2Xx y 應(yīng)力分量不滿足相容方程。因此，該組應(yīng)力分量不是圖示問題的解答。-M-Ess2I y, xy bI （取梁的厚度b二1）,得出所示問題的解答：X. 2竺蘭3 （h?

24、4 y 2 ）。又根據(jù)平衡微分方4 h3q xyyxy32qh 3q x。試導(dǎo)出上述公式，并檢驗解答的正確性。2 1【解答】1）推導(dǎo)公式在分布荷載作用下,梁發(fā)生彎曲形變， 梁橫截面是寬度為1,高為h的矩形,I,h3 麻用截面法可求出任意截面的彎矩方程和剪和邊界條件得出:其對屮性軸（Z軸）方程12M (x),F x61所以截面內(nèi)任意點的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為:得:根據(jù)平衡微分方程第二式根據(jù)邊界條件x3y2qh33FS x12bh（體力不計）h /2將應(yīng)力分量代入平衡微分方程第一式:第二式自然滿足將應(yīng)力分量代入相容方程（2T3 ）xyX5L 2q xy3h h2q3h 32-2 )6q.h36q厶

25、0 右 h34y 2滿足wxywxy2 2左 一 一x 2 y2應(yīng)力分量不滿足相容方程。故，該分量組分量不是圖示問題的解答。2-15 試證明：在發(fā)生最大與最小切應(yīng)力的面上，正應(yīng)力的數(shù)值都等于兩個主應(yīng)力的平均值。【解答】（1）確定最大最小切應(yīng)力發(fā)生位置1nl 11/2】VFI42 1 、/1/41/2 I2 2由上式可見當(dāng)1 12 丄0時，即1F時,n為最大或最小,為 n m ax2 1”2m h切應(yīng)力的最大，最小值發(fā)生在與x軸及y軸（即應(yīng)力主向）成45°的斜面上。任意斜面上的切應(yīng)力為n h 2 1，用關(guān)系式M m 2 1消去m,得22I2O因此,（2）求最大，最小切應(yīng)力作用面上，正應(yīng)

26、力n的值任一斜面上的正應(yīng)力為n 2122最大、最小切應(yīng)力作用面上1JT方，帶入上式，得11n _1221222證畢。【2-16 設(shè)已求得一點處的應(yīng)力分量，試求i,2,iG)x 100, y 50, xy10V50；(b)X 200,y0, xy400;(c)x2000,y1000, xy400;(d) X1000, y1500, xy500.【解答】由公式（,12-6 )29及ten11X,得 1arc tan-2八J2 V2xy丄xy110050100 5022150fe)J1022V20150 10010V5035 16,(b)(c)(d)200 02 2 512arc tan 2W400

27、I2000100021052arctan羽陽400200 0400512312arctan0.7837 572000 1000 2awtan 7.3882 32400105220521000 15001000 150025006911809a詭/91 1000 a說込68 3】43'5。【2-17 1設(shè)有任意形狀的等候厚度薄板，體力可以不計,在全部邊界上（包括孔口邊界上）受有均勻壓力q。試證Sx二Sy二P及xy能滿足平衡微分方程、相容方程和應(yīng)力邊界條件，也能滿足位移單值條件,因而就是正確的解答。【解答】（1）將應(yīng)力分量xy和體力分量0fy 0分別帶入平衡微分方程、相容方程fx(a)fy

28、(b)顯然滿足（a） （ b）（2）對于微小的三角板 A, dx，dy都為正值,斜邊上的方向余弦cos n, x , m cos n, y ,0 ,代入平面問題的應(yīng)力邊界條件的表達式（2T5 ）,且-q cos n, x ,毎Q cos n, y ,貝ij有coscoscoscosq，y所以對于單連體，上述條件就是確定應(yīng)力的全部條件。（3）對于多連體，應(yīng)校核位移單值條件是否滿足。Xy-4xyO(d)EE將（d）式中形變分量代入幾何方程（2-8),得U(-1)V (n二-1)Vq,-u0(e)XEyEXy前兩式積分得到(u=1)(-1)n vfi (x)(f)qx-LI y h vqyEE其中f

29、i y , fe x分別任意的待定函數(shù)，可以通過幾何方程的第二式求岀，將式（f ）代入式（e）該題為平而應(yīng)力情況，首先，將應(yīng)力分量代入物理方程（2-12 ）,得形變分量,的第三式，得d£ (y) df2 仗)dydx等式左邊只是y的函數(shù)，而等式右邊只是x的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一個常數(shù)于是有dfi (y)dy,df2 (x)dx積分后得f yy u, f1 0代入式（f）得位移分量u ( qx y uo(g)Ev <qy x voE其屮uo , vo ,為表示剛體位移量的常數(shù)，需由約束條件求得從式（g）可見，位移是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，滿足位移單值條件。因而，應(yīng)力分量是正

30、確的解【2-18】設(shè)有矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載F （圖2-22 ）,體力可以不計。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力 y 0 ,然后證明這些表達式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明這些表達式是否就表示正確的解答?！窘獯稹浚?）矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的彎矩方程M （x）Fx ,橫截面對中性軸的慣性矩為3厶Iz h 42 ,根據(jù)材料力學(xué)公式12F彎應(yīng)力 XM (X)y3 xy ；Izh該截面上的剪力為Fs xFs(x)S*biz1 h3 42職 h y2h3 40取擠壓應(yīng)力y(2)將應(yīng)力分量代入平衡微分方程檢驗F F第一式：左毘4 y掄j y °hh第二式：左二0

31、+0二0二右該應(yīng)力分量滿足平衡微分方程。(3)將應(yīng)力分量代入應(yīng)力表示的相容方程y)滿足相容方程(4) 考察邊界條件在主要邊界yh /2 上,應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件(2-15)fxh _上2y h上2代入公式(2-15 ),得0,0,yxy h/2在次要邊界x二0上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件,0y h/2代入應(yīng)力分量主矢主矩y h/2h/2)dy(x x 00 2f向面力主矢h/2h/2(x) xo ydy0面力主矩h/2h/2h/2h 2(丿 dyxy x 0資7( y2 )dyF y向面力主矢h/2h/2ha滿足應(yīng)力邊界條件在次要邊界上，首先求出固定邊面力約朿反力，按正方向假設(shè)，即面力的主

32、矢、主矩，F(xiàn)n 0, Fs F , M F1其次，將應(yīng)力分量代入應(yīng)力主矢、主矩表達式，判斷是否與面力主矢與主矩等效:h/2h/2 12F(x)x idybdy 0 Fnh憶h/2 hh/2h/2 12 F 2(x ) x lydyr b dyF1h憶h/2 hh/2)dyh /2 6F h22(xy x 1qy dyh 2h/2 h 4MF Fs滿足應(yīng)力邊界條件，因此，它們是該問題的正確解答。VV拄,百X,其中V是勢函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示成為 y2廣V , y22 2廣 V , xy，試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。2xx y【2-19 試證明，如果體力雖然不是常量，但卻是有勢的力，即體力分

33、量可以表示為【解答】（）將 ，1 fx fy帶入平衡微分方程（2-2 ）XyxXyxVfx 0XyXyXyxyfy 0yxyVyXyXy將（a）式變換為yx(XV )0Xyzxy(yV )0yy(b)（2）對體力、應(yīng)力分量X2 x2，xy4丹2V2 y2 x42V22 2 2 、242XX yxyyy22y求偏導(dǎo)數(shù)，得理2V5- 1, 卞 1 一亠(c)為了滿足式（b）,可以取V _222Xy2 'y VX 2，xyX y2即Xy 22V , y V ,x22xyx y將（c）式代入公式（21 ）得平面應(yīng)力情況下應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程(1(2-21 )4X 4X 42Vx yxyyxX

34、整理得：442“47 “2Xx y即平面應(yīng)力問題屮的相容方程為y42V2V(1 )x 22V22xz yzy2y242V 2Vy4(1)x2y2(d)(1 ) 2V將（c）式代入公式（2-22 ）或?qū)）式中的替換為的平面應(yīng)變情況下的相容方程:44 一42424x1X- y 2 y1 2 2V _2V1x2 y2(e)即 41 2 2v o1證畢。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答【3-1 1為什么在主要邊界（大邊界）上必須滿足精確的應(yīng)力邊界條件式（2-15 ）,而在小邊界上可以應(yīng)用圣維南原理， 用三個積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來代替？如果在主要邊界上用三個積分的應(yīng)力邊界條件代替式

35、（2-15 ）,將會發(fā)生什么問題？【解答】彈性力學(xué)問題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問題，而要使邊界條件完全得到滿足，往往比較困難。這時，圣維南原理可為簡化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影響近處的應(yīng)力分布，對遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以忽略不計。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替精確的應(yīng)力邊界條件（公式2-15 ）,就會影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布，會使問題的解答精度不足?！?-2】如果在某一應(yīng)力邊界問題中，除了一個小邊界條件，平衡微分方程和其它的應(yīng)力邊界條件都已滿足，試證：在最后的這個小邊界上，

36、三個積分的應(yīng)力邊界條件必然是自然滿 足的，固而可以不必校核?！窘獯稹繀^(qū)域內(nèi)的每一微小單元均滿足平衡條件，應(yīng)力邊界條件實質(zhì)上是邊界上微分體的平衡條件，即外力（面力）與內(nèi)力（應(yīng)力）的平衡條件。研究對象整體的外力是滿足平衡 條件的，其它應(yīng)力邊界條件也都滿足，那么在最后的這個次要邊界上，三個積分的應(yīng)力邊界條件是自然滿足的，因而可以不必校核?！?-3】如果某一應(yīng)力邊界問題中有m個主要邊界和n個小邊界，試問在主要邊界和小邊界 上各應(yīng)滿足什么類型的應(yīng)力邊界條件，各有幾個條件？【解答】在m個主要邊界上，每個邊界應(yīng)有 2個精確的應(yīng)力邊界條件，公式（2-15 ）, 共2m個；在n個次要邊界上，如果能滿足精確應(yīng)力邊

37、界條件，則有2n個；如果不能滿足公式（2-15 ）的精確應(yīng)力邊界條件，則可以用三個靜力等效的積分邊界條件來代替2個精確應(yīng)力邊界條件，共3n個?！?T 試考察應(yīng)力函數(shù)ay3在圖3W所示的矩形板°和坐標(biāo)系屮能解決什么問題（體力不計）?Th1【解答】相容條件圖3-8 不論系數(shù)a取何值，應(yīng)力函數(shù)ay 3總能滿足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，式G-25）.求應(yīng)力分量當(dāng)體力不計時，將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24）,得x 6ay, y 0, xy yx 0考察邊界條件上下邊界上應(yīng)力分量均為零，故上下邊界上無面力.左右邊界上；當(dāng)a>0時，考察x分布情況，注意到故y向無面力左端：艮（x）x6ayfyxy

38、x 0右端X 1應(yīng)力分布如圖所示，6ay 當(dāng)1?()xy x 10（0 y h）h時應(yīng)用圣維南原理可以將分布的面力，等效為主矢，主矩主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問題。偏心距e：因為在A點的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為b,集屮荷載p的偏心距e：p pe（x ）a 0 e h /6bh bh2/6同理可知，當(dāng)a <0時，可以解決偏心壓縮問題?！?搐取滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)為：（1）ax2 y, （2） bxy2 , （3） cxy3 ,試求岀應(yīng)力 分量（不計體力），畫出圖37 所示彈性體邊界上 的面力分布，并在小邊界上表示出面力的主矢量 和主矩。A,h/2XJ,h/2(1

39、? h)i1r1圖3-9【解答】（1）由應(yīng)力函數(shù) ax2y，得應(yīng)力分量表達式2 ax(1 x myx ) s£（5）考察邊界條件，由公式（2-15 ）1(m y 1xy sfy（S）主要邊界，上邊界y上，向力為2_hwhfx (y)2axfy(y )0, y 2ay, xy2 2ahh主要邊界，下邊界 y ，面力為2fx (y h) 2ax,2ah- hfy (y )2次要邊界，左邊界X二0上，面力的主矢，主矩為X向主矢：Fxh広(丿x o dy0y向主矢：Fyh Qh/2)(xy x 0 dy0主矩：Mh/2h/2h R(x )x o ydy 0次要邊界，右邊界x二1上，面力的主矢

40、，主矩為X向主矢：Fxh/2)dy(X X 10h /2h /2h/2y向主矢:(2al)dyh/2Fy(xy；x ldyh憶2ab主矩：Miydy 0ah0ah 2aly2ah/2彈性體邊界上面力分布及次要邊界面上面力的主矢，主矩如圖所示 bxy2將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24 ）,得應(yīng)力分量表達式y(tǒng)x 2by考察應(yīng)力邊界條件，主要邊界 ，由公式（2-15h一主要邊界，上邊界上，面力為 fx2bh, fy yh-h一,下邊界上，面力為£y-22bh, fy y在次要邊界上，分布面力可按G-15）計算，面里的主矢、主矩可通過三個積分邊界條件求得:在左邊界X=0,面力分布為 fx00,

41、fy x 0 2by面力的主矢、主矩為X向主矢:Fxh2h2x x o dy0hhy向主矢:Fy7hxydy2h 2bydy 02x 02 x 0h/2)主矩；M( 5【x o ydy0在右邊界X二 1上,面力分布為yfx x 1 2bl, fy x 1 2by面力的主矢、主矩為h /2h/2X向主矢：Fxh /2x x i dyh 疙 2bldy 2bhh /2h /2y向主矢：Fy'xydy2by dy 0h /2x 1h /2h/2h/2主矩：M 'Xydy2bydy0h/2x 1h/2彈性體邊界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如圖所示-h/20(3) cxy3將應(yīng)

42、力函數(shù)代入公式（2-24 ）,得應(yīng)力分量表達式x 6cxy, y 0，xyyx 3cy22T5 )考察應(yīng)力邊界條件，在主要邊界上應(yīng)精確滿足式（上邊界y吐，面力為2fx y2 ch2 a4下邊界y二h r . r r上，面力為次要邊界上，分布面力可按(245計算,面力的主矢、主矩可通過三個積分邊界求得:左邊界x=0上，面力分布為£ X 00, fyx 03cy面力的主矢、主矩為h/2X向主矢：Fxh/2x X。 dy oh憶h龍y向主矢：Fyxydy3cy2 dy 丄 chh憶x 0h龍4h/2主矩：Mydy0刖4右邊界x1上，面力分布為fx x 16cly, fy x13cy2面力的主矢、主矩為h/2h/2X向主矢Fxh/2x x I dyh/2 6c®dy0h/2dyy * 1h/2y向主矢：Fyh/2h/2 3cy2 dy1 ch34主矩：Mh /2Xydyh/2“ .6cdy1_ ch3h/2X 1h憶2彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界上面力的主矢和主矩，如圖所示/ 巾6cly 亦z【3-6】試考察應(yīng)力函數(shù)22h3 xy (3h能滿足相容方程， 并求出應(yīng)力分量（不計體力），畫岀圖3-9所示矩形體邊界上的面力分布（在小邊界上畫出面 力的主矢量和主矩），指出該應(yīng)力函數(shù)能解決的問題。