垂直于弦的直徑

1、垂徑定理教學(xué)設(shè)計(jì)一、引言教師對(duì)教材深入開發(fā)和挖掘， 創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生的問題情境， 給學(xué)生輕松、 愉快、 平等、 有趣、 和諧的教學(xué)環(huán)境。 在教學(xué)中達(dá)到師生共同相互參與， 學(xué)生積極主動(dòng)地投身到教學(xué)過程 中來。教師充分關(guān)注學(xué)生的自我體驗(yàn)、自我發(fā)現(xiàn)、自我反思。讓學(xué)生達(dá)到自主學(xué)習(xí)、掌握知 識(shí)、發(fā)展能力、促進(jìn)自身主體性發(fā)展，方可推進(jìn)有效課堂教學(xué)。本文在初中數(shù)學(xué)“垂徑定理”課堂教學(xué)中使用參與式教學(xué)模式，通過創(chuàng)設(shè)問題情境， 改進(jìn)活動(dòng)探究問題，有效地完成了“垂徑定理”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生獲得記憶最深刻的知識(shí)。二、背景：人教版九年級(jí)上冊數(shù)學(xué)， 1.2 垂直于弦的直徑，新授課，酒泉市二中九年級(jí)（5）班學(xué) 生，共有 54

2、人，上課時(shí)間 2017年 3月 9日。教材設(shè)計(jì)是這樣的：共有 5 個(gè)部分。1、情境引入，提出問題37.4 米，拱高 7.2 米，以我國隋代建造的石拱橋趙州橋?yàn)楸尘?，已知它的跨度?你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？2、活動(dòng)探究，做好準(zhǔn)備用紙剪一個(gè)圓，把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由 此你能得到什么結(jié)論？3、展開思考，有所發(fā)現(xiàn) 如圖，AB是O0的一條弦，做直徑CD使CDLAB垂足為E.1）圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？4、分析歸納，得到定理 垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。5、應(yīng)用定理，解決問題 最

3、后利用垂徑定理、勾股定理求出趙州橋主橋拱的半徑是27.9m三、提出問題教材中的教學(xué)設(shè)計(jì)存在的問題：在第二個(gè)環(huán)節(jié) “活動(dòng)探究， 做好準(zhǔn)備” ，用紙剪一個(gè)圓的探究活動(dòng)，活動(dòng)還不夠深入。在第三個(gè)環(huán)節(jié)“展開思考，有所發(fā)現(xiàn)” ，應(yīng)更改設(shè)問，因?yàn)樵瓉碓O(shè)問的內(nèi)容太直接，且問題不夠開放。只有這樣更改，在第三個(gè)環(huán)節(jié)“分析歸納，得到定理”，才會(huì)產(chǎn)生有效的知識(shí)遷移，學(xué)生會(huì)獲得記憶最深刻的知識(shí)。四、解決問題理論依據(jù)：建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)生不是被動(dòng)的學(xué)習(xí)者，而是主動(dòng)地根據(jù)先前的經(jīng)驗(yàn)和已知的知識(shí)進(jìn)行主動(dòng)的建構(gòu)，知識(shí)不能被灌輸、強(qiáng)加。學(xué)生應(yīng)在體驗(yàn)、領(lǐng)悟和創(chuàng)造中學(xué)習(xí)。通過有目的的觀察、動(dòng)手實(shí)驗(yàn)由內(nèi)到外主動(dòng)建構(gòu)。教學(xué)過程是師生的雙

4、邊活動(dòng)，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，其范型為過程+結(jié)果；教師的主體性主要表現(xiàn)為設(shè)計(jì)利于學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的環(huán)境。教師所應(yīng)從事的活動(dòng)為：支持學(xué)生的自主性； 支持學(xué)生的反省行為； 設(shè)計(jì)反映學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)際和教師對(duì)學(xué)習(xí)材料理解的案例；以案例為基礎(chǔ)與學(xué)生共同商討一種可能的學(xué)習(xí)方案；回顧學(xué)習(xí)步驟。交互性、協(xié)商性、 合作性、反思性等特征，是建構(gòu)主義對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)過程的基本解釋。參與式參與式教學(xué)” 是一種較為復(fù)雜的教學(xué)方式， 它要求教師留出空間、 時(shí)間供學(xué)生思考，創(chuàng)造給他們相互學(xué)習(xí)的氛圍， 讓參與者發(fā)現(xiàn)他們的發(fā)言如何影響到了同伴的思考。教學(xué)”的目的就是讓學(xué)生在參加的過程中體驗(yàn)并學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，進(jìn)而成為一種能力。于是本堂課

5、的教學(xué)設(shè)計(jì)作出如下改變：1、教學(xué)設(shè)計(jì)成“參與式教學(xué)” 。2、探究” 沿任意直徑對(duì)折圓的問題，再增加一問：“沿任意弦對(duì)折呢，你發(fā)現(xiàn)了什么？”3、“思考”題改為： AB是O0的弦，請你尋找弦 AB的中點(diǎn)，有幾種方法?五、教學(xué)實(shí)錄11 個(gè)小組。課前準(zhǔn)備：學(xué)生備好要用的紙、剪刀、直尺等。教師用多媒體課件展示部分圖片。學(xué) 生前后排為一個(gè)學(xué)習(xí)小組，安排好組長、中心發(fā)言人，計(jì)時(shí)員等、全班共有教學(xué)過程：1、情境引入，提出問題2、活動(dòng)探究，做好準(zhǔn)備師：用圓規(guī)在紙上畫出一個(gè)圓 （大一些的），標(biāo)上圓心0。然后用剪刀把這個(gè)圓剪下來。生：畫出一個(gè)圓，標(biāo)上圓心 0，并剪下了圓。（大多數(shù)學(xué)生都認(rèn)真、仔細(xì)的做）師：在OO上畫

6、出幾條直徑，畫 1條、2條或3條都可以。（教師提示）生：有的畫出 1 條直徑， 有的畫出 2 條或 3條直徑， 有的把直徑畫成了弦 （有幾人） 。師：把OO沿著它的直徑對(duì)折，你發(fā)現(xiàn)了什么?生：沿著OO的直徑對(duì)折。（多數(shù)學(xué)生都可以完成）生 1 ：重合。生 2：對(duì)稱。生 3：是個(gè)半圓。生 4：圓是個(gè)軸對(duì)稱圖形 ? （學(xué)生們積極回答）生：圓是軸對(duì)稱圖形，直徑是它的對(duì)稱軸。師：萬洪彬同學(xué)，你對(duì)折的圓是這樣的嗎?生：一次重合，另一次不重合。（學(xué)生笑，教師示意并開始安靜）師：還有同學(xué)是這樣嗎?生：好像不重合、我的兩次都不重合 ?（教室安靜，學(xué)生精力集中）師：請萬洪彬等同學(xué)上來演示（共 3 位學(xué)生），看看有

7、什么問題。生 1 ：沒有對(duì)整齊生 2：畫的不是直徑、生 3：要折兩次 ?師：請同學(xué)們再補(bǔ)充歸納一下吧。生：圓是軸對(duì)稱圖形，直經(jīng)都是它的對(duì)稱軸，弦不是它的對(duì)稱軸。（教師表揚(yáng)）師：圓沿著它的直徑對(duì)折后是什么圖形？（轉(zhuǎn)而又問）生 1 ：半圓 .生 2 ：它是軸對(duì)稱圖形。（教師表揚(yáng)）師：圓沿著它的弦對(duì)折后是什么圖形？教師出示圖 1）生 1:帽子。 （教師出示圖 2，同學(xué)笑）生 2 ：是軸對(duì)稱圖形。師：是軸對(duì)稱圖形，為什么？對(duì)稱軸在那里？生:思考、開始作垂直、半徑、對(duì)折等 ? 圖 4師：配合學(xué)生在圖 1、圖 2 上演示。生 1:把“帽子”對(duì)折。 （圖 3）生2 :對(duì)稱軸是過 0作AB的垂線。生 3：對(duì)稱

8、軸只有 1 條。生4:作AB的垂線平分線。師:我們把這個(gè)“帽子”叫做弓形，它是由弦和弦所對(duì)的弧組成的圖形。弓形是軸對(duì)稱圖形，它有一條軸對(duì)軸。（教師出示圖4） 圖 1 圖 2 圖 33、展開思考，有所發(fā)現(xiàn)師：如圖5, AB是OO的直徑，那么 AB的中點(diǎn)是？生：AB的中點(diǎn)是點(diǎn) O因?yàn)锳O BO是半徑，且 AO= BO.（教師表揚(yáng)）師：如圖6，AB是OO的弦，那么AB的中點(diǎn)是？師：我們換一種提法？怎樣找到AB的中點(diǎn)？你能想出幾種辦法?師：同學(xué)們可以小組討論，也可以獨(dú)立思考？生：開始討論、思考。（積極性很高）圖5 圖6生：共歸納了 8 種方法（教師整理）。1、用刻度尺量出 AB的長度，算出 AB 一半

9、的長度，就可以找到它的中點(diǎn)。2、連接OA OB AOB是等腰三角形，過 O作OCLAB于C,則點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)。3、過O作OO的直徑CD!AB于E,則點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)。4、找到弧AB的中點(diǎn)C,連接OC與AB相交于D,則點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)。5、作線段AB的垂直平分線 MN垂足C是AB的中點(diǎn)。6、7、過O作CD/ AB連接 BC AD相交于E,作直線OE交于F,則點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)。重合），折痕與 AB的交點(diǎn)就是AB的中點(diǎn)。在紙上畫出OO和弦AB再用剪刀把OO剪下來，對(duì)折O O,使AB重合（點(diǎn)A、點(diǎn)B8、在紙上畫出O0和弦AB再用剪刀把O0剪下來，沿AB折疊，再對(duì)折“帽子”（弓形），使AB重合（點(diǎn)A、

10、點(diǎn)B重合），折痕與 AB的交點(diǎn)就是AB的中點(diǎn)。?4、分析歸納，得到定理5、應(yīng)用定理，解決問題六、自評(píng)與反思垂徑定理” 課堂教學(xué)并不困難，一般兩個(gè)課時(shí)便可完成教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生普遍能夠掌握，但隨后學(xué)生在使用“垂徑定理”時(shí)，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生總出現(xiàn)以下問題：1、未能記住平分弦。當(dāng)已知弦的長度，未能求出它的一半。2、未能記住平分弦所對(duì)的兩條弧。 兩段等弧所對(duì)的圓周角相等在很多題型中都會(huì)出現(xiàn)。3、未能構(gòu)造出直角三角形。連接半徑后將得到一個(gè)直角三角形，可用到勾股定理。4、未能理解“垂徑定理”中垂直于弦的直徑這一核心的條件。5、未能記住“垂徑定理”中所有結(jié)論。我在過去的教學(xué)設(shè)計(jì)中，主要圍繞解決第 4、第 5 這兩個(gè)問

11、題， 通過數(shù)學(xué)的三種語言互 相轉(zhuǎn)換使學(xué)生明白。按圖形語言7文字語言7符號(hào)語言反復(fù)進(jìn)行講解。文字語言 符號(hào)語言條件：垂直于弦的直徑。/ CDOO的直徑主要講清兩個(gè)對(duì)象（直徑和弦），且CDLAB 一種關(guān)系（直徑丄弦）。 AB BE結(jié)論：平分弦，并且平分弦弧AO弧BC所對(duì)的兩條弧?；D=弧BD主要講清E是 AB 的中點(diǎn)， C 是優(yōu)弧AB中點(diǎn)，D是劣弧AB中點(diǎn)。反思整個(gè)教學(xué)過程，我忽視了學(xué)生是教學(xué)活動(dòng)的主體，而教師卻扮演了“傳話筒”的功能， 把教材內(nèi)容通過講授教給學(xué)生， 很少讓學(xué)生活動(dòng)參與體驗(yàn)和探究問題。 這樣安排教學(xué)雖然加快了初三的教學(xué)進(jìn)度， 但實(shí)踐下來卻發(fā)現(xiàn)問題很多。 因?qū)W生未能親身參與問題的活

12、動(dòng)探究， 對(duì)知識(shí)的理解不可能深刻，不可能記得牢固。更糟糕的是沒有學(xué)生的主動(dòng)參與，課堂教學(xué)顯得很沉悶， 學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高， 長期如此的被動(dòng)學(xué)習(xí)方式勢必沖淡學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更談不上提高學(xué)生的分析解決問題能力、創(chuàng)新思維能力，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)能力。結(jié)合過去的教學(xué)得失，通過重新思考，重新設(shè)計(jì)，我把“參與式教學(xué)”用于本堂課的教學(xué)，深刻感受到了參與式教學(xué)給我?guī)淼南矏?。有幾點(diǎn)體會(huì)如下：1、營造出活躍、積極的學(xué)習(xí)氣氛。增大了學(xué)生的學(xué)習(xí)參與面。2、多數(shù)學(xué)生獲得了清楚的知識(shí)，牢固掌握“垂徑定理” 。3、開放式的問題設(shè)計(jì)，使學(xué)生主動(dòng)參與，積極思維，主動(dòng)探索。4、解決的問題方法多樣，啟發(fā)性強(qiáng)，學(xué)生自身體驗(yàn)價(jià)值和成功的喜悅。5、提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，濃厚學(xué)習(xí)興趣是使學(xué)習(xí)進(jìn)行下去的關(guān)鍵。七、結(jié)束語1、可以肯定“參與式”教學(xué)增強(qiáng)了學(xué)生主體的責(zé)任感與使命感，增強(qiáng)了合作意識(shí)、提 高了交往的能力， 有利于學(xué)生追求和實(shí)現(xiàn)自我價(jià)值。 對(duì)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣， 形成良好思考習(xí) 慣，主動(dòng)參與學(xué)習(xí)，提高解決問題能力有益。2、“參與式”教學(xué)要求教師要精心設(shè)計(jì)，做好充分的準(zhǔn)備，包括問題情景的創(chuàng)設(shè)，教 學(xué)過程的設(shè)計(jì)， 突發(fā)問題的應(yīng)對(duì)， 時(shí)間的控