湘大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)題

1、一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè) A ，B 是兩個(gè)互不相容的事件，P A0，P B0, 則一定成立。A：P A1PB.B:P A|B0.C：PA|B1.D:PAB0.2. 隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)一定為。A ：不減函數(shù)，B : 不增函數(shù)，C：嚴(yán)格減函數(shù)，D ：嚴(yán)格增函數(shù).3.設(shè)隨機(jī)變量X t n，則X 2 服從的分布為。A : t n ；B： t 1/ n ；C：F 1，n ；D：F n,1 ;4、設(shè)隨機(jī)變量X 與 X 2 的期望都存在，則一定有。A：EX 2EX ;B:EX2EX2；C:EX2EX ；D :EX2EX25、設(shè)隨機(jī)變量X 服從指數(shù)分布e 0.01，則EX等于。A：0.01B:0.1C:10D

2、 :1001、設(shè) A ， B 是兩個(gè)互不相容的事件， P A0，P B0, 則一定成立。A：PA 1 PB.B:P A|B 0.C：PA|B 1.D:PAB 0.答案： B解析：互不相容互斥即有：互斥互不相容；反之不成立。例子 : 若事件總體集合為A ， B， C ，那么 A 與 B 為互不相容事件，但不是互斥事件。若事件總體集合為A, B ，那么 A 與 B 為互不相容事件， 又是互斥事件。則很顯然 A 選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，（原因是：題中沒有說A ， B 構(gòu)成整個(gè)樣本空間）。由 A ， B 是兩個(gè)互不相容的事件，則有以下式子成立：P ABP AP BP AB0有條件概率公式得：P AB0p A |

3、 B0P BP B即 B 選項(xiàng)正確。P ABPA -PABP AC選項(xiàng)錯(cuò)誤p A | BP B1P BP BPAB 1-PAB1 所以 D 選項(xiàng)錯(cuò)誤。2. 隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)一定為。A ：不減函數(shù)，B : 不增函數(shù)，C：嚴(yán)格減函數(shù)，D ：嚴(yán)格增函數(shù).答案 :A解析 :分布函數(shù)的性質(zhì)；0F x 1且 FlimF x 1； F -lim F x0 。xx -F x是 x 的單調(diào)不減函數(shù)，即若 x1 x2 ，則 F x1F x2 。3、 設(shè)隨機(jī)變量 X t n，則 X2服從的分布為。A : t n ；B： t 1/ n ；C：F 1，n ；D：F n,1 ;答案： C解析： X t n ，根據(jù)

4、t n 的定義有：設(shè) Xx!其中x1 N 0,1 ， x22n；x2n又因?yàn)閤1221，所以根據(jù)F分布的定義知2 F 1， n，故選C 。知識(shí)點(diǎn)：1、2n分布設(shè)x1 , x2,xn 相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N 0,1 ，則稱隨機(jī)變量nX2xi2所服從的分布為自由度為n 的2 分布，記為2n。i 12、 t n分布設(shè)XN0,1， Y 2n，且X 與 Y獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量TX，所Yn服從的分布為自由度為n 的 t 分布，記為 t t n 。3、 F分布設(shè)：X 2 n ，Y 2 m ，且 X 與 Y 獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量 FX / n 所Y / m服從的分布為第一自由度為n ，第二自由度為 m

5、的 F 分布，記為F F n， m 。4、設(shè)隨機(jī)變量X 與 X 2 的期望都存在，則一定有。A：EX 2EX ;B:EX2EX2；C:EX2EX ；D :EX2EX2答案：B考點(diǎn)：方差的計(jì)算公式：D xEX2EX2由于X與 X 2 的期望都存在，知D x存在，并且D x0則有：EX2EX20EX 2EX2故選 B 選項(xiàng)。5、設(shè)隨機(jī)變量X 服從指數(shù)分布 e 0.01，則EX等于 。A：0.01B:0.1C:10D :100答案： D解析：由 e 0.01，知0.01，11100 。所以 E x0.01知識(shí)點(diǎn)： 1、兩點(diǎn)分布E xp ，D xp 1 p ；2、X B n, pE xnp ，D xn

6、p 1p ；3、X PE x，D x4、 X U a, bE xa b ，D xba 22125、 指數(shù)分布，參數(shù)為E x1，D x126、 XN，2E x，D x2二 、填空題1、 袋子中有 5 白球 3 黑球，一次無放回取球，每一次取1 球，則第 6 次取白球的概率為。2、 已知隨機(jī)變量X 滿足EX， DX2 ，則由切比雪夫不等式，有P X -53、 設(shè) ?1 ， ?2 ， ?3 是總體未知參數(shù)的無偏估計(jì)， ? a ?16?2 2?3，如果 ?也是 的無偏估計(jì)，則 a。4、 已知相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 X N 2,32，2 ，則ZX -2Y的YN1,2概率分布密度函數(shù) fz z。5、 設(shè)總體

7、X 的方差為 50， x1 , x2x10 為樣本，則樣本均值 x 的方差= 。解析：1、解：C54C13 A 551C53C32 A552C52C33 A3335 。A 853A853A 853822、考察：切比雪夫不等式 P X2，本題中的5 ，代入公式，得：21P X52253、該題屬于無偏估計(jì)問題有定義知如果?的數(shù)學(xué)期望等于未知參數(shù)，即 E ?,則稱 ?為的無偏估計(jì)。由 ?1 ， ?2 ， ?3 是總體未知參數(shù)的無偏估計(jì)，則有E ?1， E ?2，E ?3設(shè) ?是的無偏估計(jì)，則有 E ?，即有 E ?aE ?1 - 6E ?22E ?3，推出 a 5 。4、解 : E x2D x32E

8、 y1D y22E z E x 2E y 2 2 0D z D x 4E y 324 22521x 2ZN0,5,有正態(tài)分布的密度函數(shù)知 fz z50 。e10考點(diǎn)：x正態(tài)分布具有可加性，正態(tài)分布的密度函數(shù)f x1e 2222數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)： E XYEX EY。方差的線性性質(zhì)： D cxc2 D x， D x y D x D y5、解： 有X N， 2N，50250x N ,N,N,5n10考點(diǎn)：定理 : 設(shè) x1 , x2xn 是來自某個(gè)總體的樣本，x 為樣本均值，（ ）若總體分布為 N ，2,則的精確分布為2xN，1n（2）若總體分布未知或不是正態(tài)分布，E x, var2 存在，則

9、n 較大時(shí) x 的漸進(jìn)正態(tài)分布為 N22， ，常記 x N，（這里的nn漸近分布是指 n 較大的近似分布）。三、袋子中共有 a b 個(gè)球，其中 a 個(gè)白球， b 個(gè)黑球。甲先取一球，不再放回，乙再取一球。（ 1）求乙取得白球的概率；（ 2）求在已知已取得白球的條件下甲取得白球的概率。解：（1）P 乙白球aa1baabab 1a ba b 1aab（ 2）P甲 白|乙 白p 甲 白，乙白p 乙 白aa 1a 2baa 1abab1ab2abab1ab2aaba1ab1四、袋中有 6 個(gè)產(chǎn)品，其中有 4 個(gè)正品 2 個(gè)次品，每次從中隨機(jī)抽取1 個(gè)產(chǎn)品，如果取到正品不放回，直到取到次品為止。求：（1

10、）取到產(chǎn)品數(shù) X 的概率分布；（ 2）D 2X-3 ；（ 3） Y 3X 2 -1 的概率分布。解：X可取1,2,3,4,5；p x113p x24246515p x343216545p x432224543156p x54321 11654315X12345P1412131551515(2) E x1 1243142517315515153E x221321-4914D xE x2Ex 2399(3) Y3X2-1x12345Y3X2-1211264774p y1412131551515五、已知二維隨機(jī)變量X, Y 的聯(lián)合概率密度為A xy2 ,0yx 1f x, y0,其他求（ 1）常數(shù)

11、A（2）X 的邊緣密度函數(shù)；（3）E3X7 ；（4） X 與 Y 是否獨(dú)立？為什么？（5）已知 X0.5 條件下 Y 的條件分布密度函數(shù)fY|Xy | 0.5 。解（ 1）Axy 2dxdy1x2dydx1A10axy015得： A15。（2）f x xfx, y dyx2dy5x415xy0（3） E 3x73Ex7xf xx 5x4 dx15dx5E xx dx5x06E 3x73Ex7 - 92(4 )不獨(dú)立f Yyfx, y dx15xy 2dx15y 215 y 41y2fxxf x, y dy5x4fx, yfxx f yy不獨(dú)立。（5）： f Y|xf x, y15xy224y2

12、f X x5x4六、 設(shè)總體 X 的分布密度函數(shù)為21 x2 ,0x 1f x,0,其他其中- 12為未知數(shù)，設(shè)x1 , x2 , xn 為其樣本。求（ 1）參數(shù)（2）參數(shù)的矩法估計(jì)；的極大似然法估計(jì)。解（ 1） Ef x;E xx 21 x2 dx211022得： x21221- 2 x 。2 x1nn（2） L(21)xi 221 nxi 2i1i1nnln Lln 2 1xi 2nln 21 2nln xii 1i1d ln L2nnln xi.2n0d21i 1求參數(shù)的矩法估計(jì)的步驟：（1）判斷未知參數(shù)的個(gè)數(shù)， 選著等式建立方程， 若一個(gè)未知參數(shù)選：XE X若兩個(gè)未知參數(shù)選著：XEX，

13、B2DX（2）建立參數(shù)與 X 的等是關(guān)系，反推參數(shù) 關(guān)于 X 的式子求參數(shù)的極大似然估計(jì)的步驟：a:寫出似然函數(shù)b:將似然函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)c:對(duì)參數(shù)求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)等于零d:求解方程得極大值點(diǎn)， 該極大值點(diǎn)就是所求的參數(shù)的極大似然估計(jì)。（求參數(shù)的極大似然估計(jì)就是求似然函數(shù)的極大值點(diǎn)的問題。）七、設(shè)某產(chǎn)品的某向質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布， 已知它的標(biāo)準(zhǔn)差150 ，先從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了 25 個(gè)，測(cè)得該項(xiàng)指標(biāo)的平均值為1637，（1）求總體均值的置信水平為 0.95 的區(qū)間估計(jì)；（2）在顯著性水平0.05下檢驗(yàn)假設(shè) H 0：1600， H 1：1600 。（已知0,051.64， 0 .025 1.96

14、 ）解：（1）150 ，1 -0.950.05x/n, x/n121-2代入公式16371.96150/ 5,16371.96150/ 51578.2,1695.8（2） H 0：1600， H 1：16000.05拒絕區(qū)1-2由于 x1637，x01.23n1.96 ，落入接受域，則接受原假設(shè)。知識(shí)點(diǎn)：一、單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)1、正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)（1）設(shè)正態(tài)總體 X N ，2 ，0 已知，求 的區(qū)間估計(jì)，樣本函數(shù)XN0,1；0n對(duì)于置信概率為1-，總體均值的置信區(qū)間為X -0, X02n2n（ 2）設(shè)正態(tài)總體 X N，2 ，未知，求的區(qū)間估計(jì)，樣本函數(shù) tX t n1sn2、正態(tài)

15、總體方差2 的區(qū)間估計(jì)（1）設(shè)正態(tài)總體 X N，2 ，已知，求2 的區(qū)間估計(jì)1 n2x12n樣本函數(shù) 2i1對(duì)于置信概率為 1-，總體方差2 的置信區(qū)間為n2n2xixii 1, i 12n2n122（2）設(shè)正態(tài)總體 X N，2，未知，求2 的區(qū)間估計(jì)樣本函數(shù)n - 1 s22n12對(duì)于置信概率為 1-，總體方差2 的置信區(qū)間為n1 s2,n1 s22n 12n 1212二、兩個(gè)正態(tài)總體均值與方差比的區(qū)間估計(jì)省略課后習(xí)題：1：設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為e xx0;f ( x)x0.0,（1）求 p X - E(X) 1.5 ；（2）利用切比雪夫不等式求 p X E( X )1.5 的近似值。

16、解：E(X)xf (x)dxxe xdxxe x00e xdxe x1 ，00（x2）x2f ( x)dx2exdx2dex2exexdx22xexdx 2Exxx00000所以 D ( x)E( x2 ) E 2 ( x) 1(1)p xE(x) 1.5 p x 1 1.5 p( x 2.5) (x 0.5) e xdx e2.5 2.5D ( x)14（2） p x E (x) 1.51.591.522：設(shè) X i (i 1,2,.,50) 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量， 且他們都服從參數(shù)0.03為的泊松分布， 記 Z X1X 2.X 50 ，試?yán)弥行臉O限定理求p(Z 3)的近似值。解：因?yàn)槭欠?/p>

17、從參數(shù)為0.03的泊松分布， X i 相互獨(dú)立，且 Xi p(0.03)所以 E( X i ) D ( X i ) 0.03, E(5050X i)E( X i ) 50 * 0.03 1.5i 1i 150D(Z)D ( X i ) 50 * 0.03 1.5i 1有中心極限定理得 :p( Z 3) 1p(Z3)501p(X i3)i1505050X iE( X i ) 3 E(X i )1p( i1i 1i1)5050D (X i )D (X i )i 1i 150X i1.51p( i131.5) 1(1.5) 1 (1.22)1.51.53，某工廠生產(chǎn)的一批手表其走時(shí)誤差（單位：秒/ 日）副總正太分布，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取9 只進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果如下：-4.03.12.5-2.90.91.12.0-3