電磁場與電磁波課后問題詳解

1、第二章習(xí)題解答2.1 一個平行板真空二極管內(nèi)的電荷體密度為：-=_4 ；oUod3x3，式中陰極板位9 0 0U。Q ；于x = 0，陽極板位于 S =10 cm2，求：（1） 的總電荷量Q '。x = d，極間電壓為U0。如果x = o和x = d區(qū)域內(nèi)的總電荷量=40 V、d =1cm、橫截面（2）x = d;2和x = d區(qū)域內(nèi)；0U0S = -4.72 10J1 C3dd 4Q = J Pd i = J(_ E0U0d*3x' 3)Sdx =709電量 q=1.6 1019C。由dQ 二 2 .二（一4 ；0U0d 43x，3）Sdx =-r9才d292.2 個體密度為

2、2.32 10JC m3速的質(zhì)子束，質(zhì)子束內(nèi)的電荷均勻分布，束直徑為度和電流。解質(zhì)子的質(zhì)量m=1.7x107kg、1 2 mv241.1盞（1一 3? MS0.97 10J1C的質(zhì)子束，通過1000V的電壓加速后形成等2mm，束外沒有電荷分布，試求電流密v f：2mqU =1.37 106 m s J v = 0.318 Am2I = Jx（d/2）2 =10A2.3 一個半徑為a的球體內(nèi)均勻分布總電荷量為 q的電荷，球體以勻角速度，繞一個 直徑旋轉(zhuǎn)，求球內(nèi)的電流密度。二 e.-產(chǎn) r sin v解 以球心為坐標(biāo)原點，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為 z軸。設(shè)球內(nèi)任一點 p的位置矢量為r，且 r與Z軸的夾角為

3、二，則p點的線速度為球內(nèi)的電荷體密度為Q4 - a3 3,°Q. 口3QC0. 口J v =e3r sin=e 3 r sin，屮4兀a3/3屮4兀a32.4一個半徑為a的導(dǎo)體球帶總電荷量為 Q，同樣以勻角速度 灼繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，求球表面的面電流密度。解 以球心為坐標(biāo)原點，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為z軸。設(shè)球面上任一點 p的位置矢量為r，且r與z軸的夾角為二，則p點的線速度為v - r = e*； a sin球面的上電荷面密度為CF =4兀aQQ JS = ； v = e 2 asin J - e sin 二4兀a4兀a2.5 兩點電荷 q =8C位于z軸上z = 4處，q2 - -4C位于

4、目軸上y = 4處，求 （4, 0, 0處的電場強度。解 電荷q1在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場為2 ex4 - ez445電荷q2在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場為二；0 (42)3故(4,0,0)處的電場為E 2q21 ex4_ey44二；03rr2二；0 (4、2)3ex ey -ez232、. 2二；02.6一個半圓環(huán)上均勻分布線電荷|，求垂直于圓平面的軸線上z = a處的電場強度E (0,0, a)，設(shè)半圓環(huán)的半徑也為a，如題2. 6圖所示。解 半圓環(huán)上的電荷元；?i dl = ”ad “在軸線上z = a處的電場強度為Ra r-r 冷=dE 二4二；0 ( . 2a)1ez _ (exc

5、os ey sin )尸d申8、2二；0在半圓環(huán)上對上式積分，得到軸線上z = a處的電場強度為E (0,0, a d E -冗2Pl (e z 兀ex 2).ez-(ex coseySin )d=' z x282 ；°a2.7三根長度均為L，均勻帶電荷密度分別為訃、：|2和:?l3地線電荷構(gòu)成等邊三角形。設(shè)訃=212 = 213，計算三角形中心38 2；0a處的電場強度。解 建立題2. 7圖所示的坐標(biāo)系。三角形中心到各邊的距離為d=Lta n303L2 6則題2.7圖E廠 ey ' J(cos30 -cos150) = ey4二;0d2二;0LE-(excos30

6、eysin3d)2(e/.3 ey)仏2 x円2二；0Ly 8；0LE3 =(excos30 -eysi門30)2土止2耽°L故等邊三角形中心處的電場強度為E 立1 E 2 E3 =(ex3 ' ey) 3-1 -(氓 I 3 - ey) 3d!二2 二;0L8：；0L8 二;0Le 3|1y45L2.8點電荷+q位于(a,0,0)處，另一點電荷 -2q位于(a,0,0)處，空間有沒有電場強度e =0的點？解 電荷+q在(x,y,z)處產(chǎn)生的電場為q ex(x a) ey ezZ4兀s (x + a)2 + y? + z232電荷-2q在（x,y,z）處產(chǎn)生的電場為2q ex

7、(xa) ey ezZ4腮0 (xa)2 +y2 +z232（x, y,z）處的電場則為E 二 E1 - E 2。令 E = 0，則有ex(x a) eyy pz2ex(a) eyy ezZ2223222232(x+a) +y +z (x_a) + y + z 由上式兩端對應(yīng)分量相等，可得到222、3 2222.3 2(x a)(x -a) y z 2(x -a)(x a) y z y(x-a) +y +z ' =2y(x+a) + y + z z(xa) + y +z =2z(x+a)十y +z當(dāng)y = 0或z = 0時，將式或式代入式，得a = 0。所以，當(dāng)y = 0或z = 0時

8、無解；當(dāng)y = 0且z = 0時，由式，有33(x+a)(xa) =2(x_a)(x+a)解得x =（-3 _22）a但x=-3a 2 2a不合題意，故僅在（-3a-2、2a,0,0）處電場強度 E 0 °2.9 個很薄的無限大導(dǎo)電帶電面，電荷面密度為 二。證明：垂直于平面的z軸上z = zo處的電場強度E中，有一半是有平面上半徑為.3z0的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生的。解 半徑為r、電荷線密度為 R -；dr的帶電細(xì)圓環(huán)在 z軸上z二z0處的電場強度為rqd rd E- ez22 3 22 気（r +z°）故整個導(dǎo)電帶電面在z軸上z處的電場強度為題2.10圖rqd r；gdr _口

9、z01E,2；0(r2 z2)32 一 弋 2；0 (r2 z2)12而半徑為.3z0的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生在 z軸上z=z0處的電場強度為- 3z）r%dr _E _ez0 2；02 &）32弋2；0（2 吃）122.10一個半徑為a的導(dǎo)體球帶電荷量為q，當(dāng)球體以均勻角速度繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，如題2.10圖所示。求球心處的磁感應(yīng)強度解 球面上的電荷面密度為1匚=ezE04；02QCF =當(dāng)球體以均勻角速度4兀a2繞一個直徑旋轉(zhuǎn)時，球面上位置矢量r =era點處的電流面密度為J s =打 v =二 3 r =；ez era =“e 4二 asin圓環(huán)的電流為dl =Jsdl Qsin "

10、;dr4兀細(xì)圓環(huán)的半徑為 b = asinr，圓環(huán)平面到球心的距離 的磁場公式，則該細(xì)圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場為d二acosr，禾U用電流圓環(huán)的軸線上3,% Qsinezd B _eP0b2dl _ed B 二 ez2- ez2:22 3 22(b d )8二(a sina cos 旳3二 Qsin o Qd v - ez0%，Qa2 sin J d v故整個球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場為8兀a6兀a2.11 兩個半徑為b、同軸的相同線圈，各有 n匝，相互隔開距離為 d，如題2.11 圖所示。電流以相同的方向流過這兩個線圈。(1) 求這兩個線圈中心點處的磁感應(yīng)強度B = exBx ；(2) 證

11、明：在中點處d B dx等于零；(3) 求出b與d之間的關(guān)系，使中點處 d2Bx/dx2也等于零。解(1)由細(xì)圓環(huán)電流在其軸線上的磁感應(yīng)強度得到兩個線圈中心點處的磁感應(yīng)強度為%la2B=ez2 02322(a +z )3%Nlb2(2)兩線圈的電流在其軸線上所以故在中點dBxdx(3)B7(b2 d2 4)32(0 ： x ： d)處的磁感應(yīng)強度為B e ；%Nlb2 十 %Nlb2；ex 2(b2 x2)322b2 (dx)2323%Nlb2x3%Nlb2(d -x)22 5 222dx 2(b2 x2)5 22b2 (d-x)2x二d. 2處，有2 23%Nlb d 23%Nlb d 2_

12、2b2 d2 4522b2 d2 45222 2d Bx _ 15%Nlb x _3%NlbdBx2、5 2252=°dx22 +22、7222、522(b - x )2(b x )15%Nlb2(d x)230Nlb2令 d2Bxdx2即故解得與zx=d 2=0，有5d2 4b2 d2 4725d2 4 b2 d2 4d = b2b2 (d -x)27 22b2 (d -x)2521225b d 4=0中、r1和r2如題2.12圖所示。的直導(dǎo)體帶，寬為2a，中心線 流為I。證明在第一象限內(nèi)的磁匕U4- a分為無數(shù)個寬度為d x的細(xì)條題2.12圖感By2.12 一條扁平Bx帶，每一細(xì)

13、條帶的電流dl2aLdx。由安培環(huán)路定理，可得位于x處的細(xì)條帶的電流 di在點P(x, y)處的磁場為Modid B2jtR4naR%l d x2 24二a(x_x)y %ly d xd Bx = -d Bsin =224二 a(x -x )2 y2_卩0I (x x")d x"d By = d Bcos-22 -4二a(x _x) y 所以%lydx24：a(x-x) y %l arcta n4 - a |Larcta n%l (、C 2 - ： 1)二a - x arcta n 丿卩ol (x -x")d x" /：a(x-x)2y2匕Lin些鼻衛(wèi)沁

14、8二 a (x-a) y4二 a»2.13 如題2.13圖所示，有一個電矩為p的電偶極子，位于坐標(biāo)原點上，另一個電矩By%l ln(x-x)2 y2為的電偶極子，位于矢徑為r的某一點上。試證明兩偶極子之間相互作用力為Fr = 3p1 p4 (sin 刁 sin cos - 2cos弓 cos=2)4二；-r式中弓=：r, p -，二2 =： r, p2 ， '是兩個平面(r, p)和(r, p2)間的夾角。并 問兩個偶極子在怎樣的相對取向下這個力值最大？解 電偶極子p在矢徑為r的點上產(chǎn)生的電場為巳二+沖-切4二；0 r r所以p與p2之間的相互作用能為叫一叢J丄3(山片叢)_

15、呼4二；- r5r3因為弓=：r, p -，二2 =： r, p, ，貝UpL r = pTr cos千山二 p2r cos又因為 '是兩個平面(r, pi)和(r, pO間的夾角，所以有(r 漢 p)U(r 漢 p2)=r2piP2SinQ sinQcos©4二；另一方面，利用矢量恒等式可得題2.13圖(rPi)LrP2)=(rpi)門_P2二r2Pi-(rpi)rP2=(pg) -()(g)因此1(Pil_P2)2【(rP)L(rP2)- (Hpi)(心2)=PiPzSin*sigeospcoBiCOSRrPi P2于是得至 UWj (sin 耳 sin Rcos 2co

16、s*cosd2)4兀時故兩偶極子之間的相互作用力為p p2d 13口卩24二；0rq 香7-(曲1 g co2叱海2) dr (嚴(yán)(sin 3 sin 匕 cos 2cosr cos2)相距為d，求每根導(dǎo)線單位長度受到的安培力由上式可見，當(dāng)*= 0時，即兩個偶極子共線時，相互作用力值最大。2.14 兩平行無限長直線電流 h和I 2，解 無限長直線電流I1產(chǎn)生的磁場為直線電流12每單位長度受到的安培力為B M1B<| ：F m12 = I 2ez B1 d Z = -020式中©2是由電流Ii指向電流*的單位矢量。F - _f - e '0I1I2 F m21 一 F m

17、12 一2兀d2.15一根通電流h的無限長直導(dǎo)線和一個通電流丨2的圓環(huán)在同一平面上，圓心與導(dǎo)線的距離為d，如題2.15圖所示。證明：兩電流間相互作用的安培力為Fm = %l1l2（sec： -1）這里是圓環(huán)在直線最接近圓環(huán)的點所張的角。解 無限長直線電流11產(chǎn)生的磁場為0I1B1 - e：.i同理可得，直線電流 h每單位長度受到的安培力為2二 r圓環(huán)上的電流元 J d 12受到的安培力為d Fm12 B1 二d I2 ey f由題2. 15圖可知22兀x d 12 =(-exsinezco)a dx = d a cost所以(ezs in 日excosB)de =0 2- (d acos je

18、x%aI1I2cos-2!0aI1I22 二d 2 二|-ex °（一 d 22）= -ex%l1l2（sec> -1）2 a a Jd -a2.16 證明在不均勻的電場中，某一電偶極子p繞坐標(biāo)原點所受到的力矩為0 (d acos)r (p-) E p E。解 如題2.16圖所示，設(shè)p二qd l(dl： 1)，則電偶極子p繞坐標(biāo)原點所受到的力矩為T 仝2 qE(E)-r1 qE(日)=d ld l d ld l(r ) qE(r)-(r ) qE(r)=2 2 2 2 qr E (r £) -E(r-斗)qdl E(r £) E(r) 2 2 2 2 2當(dāng)d

19、l： 1時，有故得到E (r) : E (r) () E (r)22-J I-JIE (r-=) E (r)-(訂)E (r)22題2.16 圖T r (qdl ')E(r) qdl E(r)= r (廿)E p E赤道平面題3.1圖q err ez(za)er ez(z a) 4兀r2+(z_a)232 r2+(z+a)232則球赤道平面上電通密度的通量：=DLdS= D上zz蘭dS 二SSqa(a)aq (/ 2 2、32-/ 2亠 2、320rdr =0 (r +aY(r+a )a1=(=1)q=-0.293qo過實驗得到球體內(nèi)的電通量密度表達(dá)式為D°=編翕片1rra丿

20、，試證明之。解 位于球心的正電荷 Ze球體內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度為原子內(nèi)電子云的電荷體密度為電子云在原子內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度則為4二 r3 3 Ze rD 2 二 er2er34兀ra4 r2故原子內(nèi)總的電通量密度為4 - rZe 3Ze4- r； 34- ra3D 二 DrD2 二 erZeSir第二章習(xí)題解答3.1真空中半徑為a的一個球面，球的兩極點處分別設(shè)置點電荷q和-q，試計算球赤道平面上電通密度的通量G (如題3.1圖所示)。解 由點電荷q和- q共同產(chǎn)生的電通密度為qa2 21 2(r a )3.21911年盧瑟福在實驗中使用的是半徑為ra的球體原子模型，其球體內(nèi)均勻分布有總電荷量為-Z

21、e的電子云，在球心有一正電荷Ze( Z是原子序數(shù)，e是質(zhì)子電荷量)，通訂 C. m3 ,求空間各部3.3 電荷均勻分布于兩圓柱面間的區(qū)域中，體密度為兩圓柱面半徑分別為 a和b，軸線相距為C (c ： b - a)，如題3.3圖(a)所示。 分的電場。解 由于兩圓柱面間的電荷不是軸對稱分布，不能直接用高斯定律求解。 但可把半徑為a的小圓柱面內(nèi)看作同時具有體密度分別為一 J的兩種電荷分布，這樣在半徑為b的整個圓柱體內(nèi)具有體密度為 :?0的均勻電荷分布，而在半徑為 a的整個圓柱體內(nèi)則具有體密度為的均勻電荷分布，如題 3.3圖(b)所示。空間任一點的電場是這兩種電荷所產(chǎn)生的電場 的疊加。在r b區(qū)域中

22、，由高斯定律產(chǎn)生的電場分別為.ELdS二，可求得大、小圓柱中的正、負(fù)電荷在點P言E -二 b2 訂一 Gb2r1 r 2二;°r 2；°r2巳二耳加一尹*2二；。2 or2題3. 3圖（b）點P處總的電場為在r : b且a區(qū)域中，同理可求得大、2二 r M點P處總的電場為2 2E=EiE-廠耳一雪）2% r r小圓柱中的正、負(fù)電荷在點.- a2"=err 2二；0r'a2r）P產(chǎn)生的電場分別為 肯r在r ： a的空腔區(qū)域中，大、二r2訂厶（r2先小圓柱中的正、負(fù)電荷在點點P處總的電場為=er2二；0rL e=r， °E 3 = er2 二;0r?

23、 oo(r _ r )- c2®P產(chǎn)生的電場分別為2；。3.4 半徑為a的球中充滿密度;?（r）的體電荷，已知電位移分布為 32r Ar （r 乞 a）Dr = a5 Aa4其中A為常數(shù)，試求電荷密度'（r）。（r -a）L r1 d解：由 l，有 r（r）、Ld = 一 （r2Dr）r d r1 d 2322故在 r : a 區(qū)域'（r） - p 2r （r Ar ） - ；0（5r4Ar）r d r在 r a 區(qū)域 r（r） = ；0 r2（a 2嚴(yán)。r d rr3.5 一個半徑為a薄導(dǎo)體球殼內(nèi)表面涂覆了一薄層絕緣膜，球內(nèi)充滿總電荷量為Q為的體電荷，球殼上又另充有

24、電荷量Q。已知球內(nèi)部的電場為 E =er（r：a）4，設(shè)球內(nèi)介質(zhì)為真空。計算：（1）球內(nèi)的電荷分布；（2）球殼外表面的電荷面密度。解（1）由高斯定律的微分形式可求得球內(nèi)的電荷體密度為:二沁Le = ；。 2 月(r2E)二；° 12 d (r2r4)=6；°r4r drr draaa3（2）球體內(nèi)的總電量 Q為 Q二.小=.6 ；。一 4二r2dr =4二；0a2 T0 a球內(nèi)電荷不僅在球殼內(nèi)表面上感應(yīng)電荷-Q,而且在球殼外表面上還要感應(yīng)電荷Q，所以球殼外表面上的總電何為2Q2Q ,故球殼外表面上的電荷面密度為2 = 2 ；。4兀a3.6兩個無限長的同軸圓柱半徑分別為r =

25、 a和r = b （b a），圓柱表面分別帶有密度為二i和匚2的面電荷。（1）計算各處的電位移 D0 ； （2）欲使r . b區(qū)域內(nèi)Do = 0，則二i和 二2應(yīng)具有什么關(guān)系？解（1）由高斯定理D°Ld S= q，當(dāng)r : a時，有Doi = 0當(dāng)a r : b時，有2 二 rD02 = 2二 a；，則D 02a；當(dāng)b ： r ：:時，有2 二 rD03 = 2二 a；2 二 b；2，則D 03a；- i b 2 =er -(2)令 D03 = eraGb；212 = 0，則得到3.7 計算在電場強度 E =exy eyx的電場中把帶電量為-2C的點電荷從點R（2,1, 1移到點F2

26、（8,2, 1）時電場所做的功：（1）沿曲線x=2y2 ；（ 2）沿連接該兩點 的直線。解(1)W = F|_dI =q E_dI =q Exdx Eydy =CCC22 2q ydxxdy 二 q yd(2y) 2ydy 二C12q 6y2dy =14q - -28 10 (J)1(2)連接點R(2,1,-1)到點P2(8,2,-1)直線方程為x-2 x-8即x6y 4 = 0y -1y -2故2W 二q ydx xdy 二q yd(6y-4) (6y-4)d y 二C12q (12y-4)d y =14-28 10”(J)13.8 長度為L的細(xì)導(dǎo)線帶有均勻電荷，其電荷線密度為|0。（ 1）

27、計算線電荷平分面上任意點的電位 -；（2）利用直接積分法計算線電荷平分面上任意點的電場E，并用E核對。解（1 ）建立如題3.8圖所示坐標(biāo)系。根據(jù)電位的積分表達(dá)式，線電荷平分面上任意點P的電位為r：(r,0)L2?l0dz'?l04 二；。ln(zz2)L 2-L 2譏 r2 (血)2 L 2 In4二;0, r2 (L 2)2 -L 2, . r2 (L 2)2 L 2 In2二；0r(2)根據(jù)對稱性，可得兩個對稱線電荷元?i0dz 在點p的電場為dE-adE -a_HodZ_co曲-el0rdzd '匚2z2r .(r2 z2)32故長為L的線電荷在點P的電場為l0rdz&#

28、39;E dE - er22 3 2 二0 2g(r +z)3L10L20:104二;0r .；r2 (L 2)2由E -；求E，有E 二一 =2 二；0幾02二；。L 2 .r2 (L 2)2 (L 2)24二；0r . r2 - (L 2)23.9已知無限長均勻線電荷的電場E二er J，試用定義式rp2 二；or(r)二ELd l 求其電位函數(shù)。其中rP為電位參考點。rp8 Pp解(r)二 ELdIdr；2m°rln2二；。由于是無限長的線電荷，不能將rP選為無窮遠(yuǎn)點。3.10 一點電荷位于(-a,0,0)，另一點電荷-2q 位于(a,0,0)，求空間的零電位面。解 兩個點電荷q

29、和-2q在空間產(chǎn)生的電位(x,y,z)- q4“。J(x+a)2 + y2 + z212q令(x,y,z) =0，則有(x a)2 y2 z，2 -.(x a)2 y2 z2. (x_a)2 y24(x a)2 y2 z2 = (x-a)2 y2 z25 22242(x a) y z =( a)3354故得由此可見，零電位面是一個以點a,0,0)為球心、a為半徑的球面。332£)十(丄r 34叭r3.11 證明習(xí)題3.2的電位表達(dá)式為解位于球心的正電荷Ze在原子外產(chǎn)生的電通量密度為電子云在原子外產(chǎn)生的電通量密度則為D2 二 e/434 r22ra 2ra)ZeD1 - er24rZe

30、一巳 24 r2所以原子外的電場為零。故原子內(nèi)電位為.1 raZe ra 1心一Ddr(二®0 r4陽 0 ； r3.12電場中有一半徑為 a的圓柱體,(r) =0(1)(2)(3)(4)(5)rcos(n ) r cos 'r 2 cos(1)在直角坐標(biāo)系中,2-二上.二 衣 矽2 czrZe / 1 r23、3)d r()ra4二；0 r 2ra 2ra已知柱內(nèi)外的電位函數(shù)分別為r乞a2(r)二 A(r)cos.r(1) 求圓柱內(nèi)、外的電場強度；(2) 這個圓柱是什么材料制成的？表面有電荷分布嗎？試求之。解(1 )由E八 ，可得到r : a時，E0.Ia2:a2r a 時

31、，E -I - er ' A(r ) cos -e ' A(r ) cos = 冴r屮r刖r2 2erA(1 -y)cos 亠 e A(1 )sinrr(2)該圓柱體為等位體，所以是由導(dǎo)體制成的，其表面有電荷分布，電荷面密度為；0n|_E y = peE衛(wèi)-2；°Acos3.13驗證下列標(biāo)量函數(shù)在它們各自的坐標(biāo)系中滿足v 2 =0sin(kx)sin(ly)ez其中 h2 k2 j2 ；r ncos( n ) Asin(n )圓柱坐標(biāo)；圓柱坐標(biāo)；球坐標(biāo)；球坐標(biāo)。-hzC_hz2=sin(kx)sin(ly)e = k sin(kx)sin(ly)e :x :xhz2_

32、hz =sin(kx)sin(ly)e = -l sin(kx)sin(ly)e .y ；:yhz2_hz =sin(kx)sin(ly)e = h sin(kx)sin(ly)e :z :z(2)在圓柱坐標(biāo)系中2= (-k2 -12 h2)sin( kx)sin( ly)e'z = 0+ r2 一： 2： z二一(r)二二一r 一 r ncos(n ) Asin(n )二 r :rn2rncos(n ) Asin(n )評、1c*. dT ' r :r: r= -n2rncos(n ) Asin(n )c一 二2 r 占cos(n ) Asin(n ) = 0 z:z(3)1

33、/ 廠、(r )= r:：r；:r1 ：2.：1 -_ r rcos(n ) = n2r/cos(n )r ；:r ；:r = _n2rcos(n ) r : ：z2 -22rcos(n )二 0.:z'、2 =0(4)_ 12r在球坐標(biāo)系中©2 :-：(r )2&rr sin日胡1 2 廠、12 (r )2r ：r 印 r ：r1(sin ) r si n r 丁1乎.：1 打 .(sin甘石)+ 2. 2口r sin ：-丄r2 (rcos R =_cosv' 療r1 :(5)2sin ' (rcos j二r2sin'2(_rsin2 J

34、_ - - cosr2si n 一-r-22 . 22(rcosR=°r sin :i2 01 :2 -r ；r2(sin )r sin 二1；：2.：r2 sin221? , 2(r )= r : r : r1 ；1 r2;r2sin v ： 22 .： 二 2r (r cos"；coscrr1 - - sin (廠 cos 訃r sin -:1 _(-r sin 旳 4 costr sin r-2(r'cosR =0故3.14(1)(2)(3)(4)r sin :2 =0已知y0的空間中沒有電荷，下列幾個函數(shù)中哪些是可能的電位的解？e coshx ；e今 cos

35、x ；y.e cosx si nxsinxsinysin z。c2c2c2'(e coshx) + 2 (e coshx) + r (e今 coshx) = 2e_y coshx 式 0cz解(1)2、，&2 '矽所以函數(shù)e今coshx不是y0空間中的電位的解；(2c2c2(2) (ecosx) ' 2 (e cosx) 2 (e cosx)二e cosxcosx =0_Zcosx是y 0空間中可能的電位的解；：2 _ ：2 _-2_= (e2ycosxsinx) 2(e 2ycosxsinx)' 2 ( 2y cosxsin x)-x: yz.-2x所

36、以函數(shù)(3). 2y2y-4e cosxsin x 2e_ cosxsin x = 0所以函數(shù)e-cosxsinx不是丫空間中的電位的解；占總內(nèi)2（4） （sinxsin ysin z） +（sin xsin ysin z） +（sin xsin sin Z =dxdydz-3sin xsin ysinz = 0所以函數(shù)sinxsinysinz不是y .0空間中的電位的解。3.15 中心位于原點，邊長為L的電介質(zhì)立方體的極化強度矢量為 P = P）（exX eyy eZz）。（ 1）計算面束縛電荷密度和體束縛電荷密度；（2）證明總的束縛電荷為零。解（1）訂=_廿=：-3P0二。(x = *)

37、= n|_P x2 = ex_P| xa 2 =Po二 P(X _ - 2)= n|_P x_丄 2 -P x_L 2 = 2 F0同理32 L(2)= -3P0L3 6L2F0=023.16一半徑為Ro的介質(zhì)球，介電常數(shù)為；o，其內(nèi)均勻分布自由電荷點的電位為2 ；r12；r（3）龍3p解由/D出S=q，可得到Sr : R 時,即r R時,即故中心點的電位為4rb *3D1盲，4十D2七，3PR?D2寸E1。D1-r3 r ；0=2rj33；°r2 dr+rdr %p £_r3工dr =玉(丄3 0r603；02；r 3 0解 （1）介質(zhì)球內(nèi)的束縛電荷體密度為在r = R的

38、球面上，束縛電荷面密度為tj=nLPr =R二 e_Pr =RRj二Rj(0) = EjdrE2dr 二0Ro03.17 一個半徑為R的介質(zhì)球，介電常數(shù)為 ；，球內(nèi)的極化強度 P K r，其中K 為一常數(shù)。（1）計算束縛電荷體密度和面密度；（2）計算自由電荷密度；（3）計算球內(nèi)、外的電場和電位分布。（2）由于D = 0E P，所以I |_D二；八_E八_P二上ID lP(1SLD »LP由此可得到介質(zhì)球內(nèi)的自由電荷體密度為- =D = 一一 P0總的自由電荷量名K（；-；o）rR二 Qd.二一12 4二 r2dr弋名-®or二:?p；-；04二；RK(3)介質(zhì)球內(nèi)、外的電場

39、強度分別為PK介質(zhì)球內(nèi)、_e q-er4 二；0 r外的電位分別為r；o (二 .o)r；RK；o(：. -o)r2(r :：: R)(r R)3.18oO二 ELdl = EprE2dr 二rRRoOdr _2r ；o( ； - ；o)rs K；RKr C - ；o）rK . RIn（；-；0）r；0（ ； - ；o）00°°sRK名 RK二 E2drdr :rr ；0（； - pF；0（；0）r(亡R)(r -R)（1）證明不均勻電介質(zhì)在沒有自由電荷密度時可能存在束縛電荷體密度;(2)導(dǎo)出束縛電荷密度的表達(dá)式。解（1）由D = oE P，得束縛電荷體密度為訂=、|_P

40、=_D ；o' _E在介質(zhì)內(nèi)沒有自由電荷密度時，；|_D= 0,則有訂二；八LE由于 D = E，有LD（ ；E） - /' E=0所以-z由此可見，當(dāng)電介質(zhì)不均勻時，、Le可能不為零，故在不均勻電介質(zhì)中可能存在束縛電荷體密度。（2）束縛電荷密度訂的表達(dá)式為p o'Le 二 eJ .；3.19兩種電介質(zhì)的相對介電常數(shù)分別為；r1=2和；r2=3，其分界面為z=0平面。如果已知介質(zhì)1中的電場的E1 = ex2y -ey3x ez（5 z）那么對于介質(zhì)2中的E2和D2，我們可得到什么結(jié)果？能否求出介質(zhì)2中任意點的E2和D 2 ？解設(shè)在介質(zhì)2中E2(x,y,0)二exE2x(

41、x,y,0)eyE2y(x,y,0) ezE2z(x, y,0)D 2 - ;0 - r2 E 2 = 3 >0 E 2在 z = 0 處，由 ez ( E E2) = 0 和 ezL(D1 - D?) = 0，可得 ex2y -ey3x = exE2x(x, y,0) eyE2y(x,y,0) 2 5 g = 3 ；oE2z(x, y,0)于是得到 E2x(x,y,0) =2yE2y(x, y,0) = 3xE2z(x, y,0) =10/3故得到介質(zhì)2中的E2和D2在z二0處的表達(dá)式分別為E2(x, y,0)二ex2y -ey3x ez(10 3)D2(x, y,0) = ；0(ex

42、6y -ey9x ez10)不能求出介質(zhì)2中任意點的E2和D2。由于是非均勻場，介質(zhì)中任意點的電場與邊界 面上的電場是不相同的。3.20 電場中一半徑為a、介電常數(shù)為名的介質(zhì)球，已知球內(nèi)、外的電位函數(shù)分別為.-03COST1- E°r cosa E°27.亠 2 ；orr _a2 =Eorcos；2。r空a驗證球表面的邊界條件，并計算球表面的束縛電何密度。解在球表面上(a,旳 =-E0acos aE0 cos二-g + 2 名0« E0a cos r ；2。2(a, v) = 一 3 " E0ac0S)； 2 ；。一1 y -E0cos 彳“E0cos八

43、3E0cosv.:r -； 20； 2 ；012.:rr -a3 ；0；2。E0 cost故有®1(a 月)=®2(a,日)，0 |r=a = E |r=acrcr可見；1和；2滿足球表面上的邊界條件。球表面的束縛電荷密度為r九汐23名0徑一 )八斥=nf =(名-名 °) er 12 = -( )百名+2訃 E0COS 日3.21平行板電容器的長、寬分別為a和b，極板間距離為 d。電容器的一半厚度(0 -)用介電常數(shù)為；的電介質(zhì)填充，如題 3.21圖所示。2(1) (1)板上外加電壓Uq，求板上的自由電荷面密度、束縛電荷；(2) (2)若已知板上的自由電荷總量為

44、Q，求此時極板間電壓和束縛電荷；(3) (3)求電容器的電容量。解(1)設(shè)介質(zhì)中的電場為E =ezE，空氣中的電場為E°二ezE°。由D = D°，有又由于由以上兩式解得E = ；oEod d E- E2上極板的自由電荷面密度為電介質(zhì)中的極化強度故下表面上的束縛電荷面密度為上表面上的束縛電荷面密度為0題3.22圖成角哥，密度。2 0U 0E 二仁亠c-o )d故下極板的自由電荷面密度為2 ；o ；UoEo2；U。（:亠 5）d“下=；E =（g + %）d2 Sq eU o（；o）d2%（名奄）Uo=_ez_（；o）d_ 2 ；o（ ； - ；o）UoG + Sg

45、）d2 ；o（ ； - ；o ）U o（；o）dQ 2 ；0 ；UJ =ab （名+気）d （；o）dQ2 ；0 ；abC - ；o）Q（2）由得到Eab2£o）Q、p上一(3)電容器的電容為C；abQ _-U 一( ；o)d放置于均勻電場e0中，板與E02 p ；ab3.22 厚度為t、介電常數(shù)為g =4Sq的無限大介質(zhì)板，如題3.22圖所示。求：(1 )使=庶4的羽值；(2)介質(zhì)板兩表面的極化電荷(1 )根據(jù)靜電場的邊界條件，在介質(zhì)板的表面上有tan 齊；0tan 1；由此得到（2）所以弓二tanJ2 =tan' "an4丄=l44 設(shè)介質(zhì)板中的電場為 E，根據(jù)

46、分界面上的邊界條件， pEoCOSS - ；EnJ1foEocosmEo cos14&4En介質(zhì)板左表面的束縛電荷面密度3 c-p = ( - o) EnoEo cos14 =-0.728 p Eo49 Eon 二；En，即3 ,介質(zhì)板右表面的束縛電荷面密度二p =（； - p）En0E0cosl4 = 0.728；0E043.23 在介電常數(shù)為；的無限大均勻介質(zhì)中，開有如下的空腔，求各腔中的E0和D0 :（1）平行于E的針形空腔；（2）底面垂直于 E的薄盤形空腔；（3）小球形空腔（見第四章 4.14題）。解（1）對于平行于E的針形空腔，根據(jù)邊界條件，在空腔的側(cè)面上，有E°二

47、E。故在針形空腔中D0 = ；0E 0 = ；0E（2）對于底面垂直于 E的薄盤形空腔，根據(jù)邊界條件，在空腔的底面上，有D0 = D。故在薄盤形空腔中Dq= D = ；E ， E0D。E>0>03.24 在面積為S的平行板電容器內(nèi)填充介電常數(shù)作線性變化的介質(zhì)，從一極板（y =0）處的1 一直變化到另一極板（y=d）處的；2，試求電容量。 解 由題意可知，介質(zhì)的介電常數(shù)為；=；1 y（ ；2 - ；i）.'d設(shè)平行板電容器的極板上帶電量分別為_q，由高斯定理可得DyEyDyq；1 y（ ；2 - ；1）dSq；1 y（ ；2 -dSdy 匚S（客2 -故電容量為C q s（煜

48、 -_U _dln（ ；2 ；J3.25一體密度為:-2.32 10 C m 的質(zhì)子束，束內(nèi)的電何均勻分布，束直徑為所以，兩極板的電位差ddU =.Eydy002mm，束外沒有電荷分布，試計算質(zhì)子束內(nèi)部和外部的徑向電場強度。1 2“解 在質(zhì)子束內(nèi)部，由高斯定理可得2二rErr :r 2.32 10J7r4 、八a故Er12 =1.31 10 r V. m（r : 10 m）2軋 2漢8.854漢101 2在質(zhì)子束外部，有2二rEra ；%Pa22.32匯10二 W1故Er礦=1.31 10 V m （r 10“m）2%r2 漢 8.854X0 rr3.26 考慮一塊電導(dǎo)率不為零的電介質(zhì) （，；），設(shè)其介質(zhì)特性和導(dǎo)電特性都是不均勻的。證明當(dāng)介質(zhì)中有恒定電流j時，體積內(nèi)將出現(xiàn)自由電荷，體密度為二jL c ）。試問有沒有束縛體電荷： ?若有則進(jìn)一步求出：。解=D = ' k E ） J _（_ J ）=止（_）._、_J對于恒定電流，有I J二0，故得到卜=jL，（；）介質(zhì)中有束縛體電荷，且汁一l|_P -八 D