與直線和圓有關(guān)的最值問(wèn)題理詳解

1、圓錐曲線專題突破一：與直線和圓有關(guān)的最值問(wèn)題典例剖祈題型一 有關(guān)定直線、定圓的最值問(wèn)題2 2例1 已知x, y滿足x + 2y 5 = 0，則(x 1) + (y 1)的最小值為 .破題切入點(diǎn) 直接用幾何意義一一距離的平方來(lái)解決，另外還可以將x+ 2y5= 0改寫成x= 5 2y,利用二次函數(shù)法來(lái)解決.解析 方法一 (x 1)2+ (y 1)2表示點(diǎn)P(x, y)到點(diǎn)Q1,1)的距離的平方.由已知可知點(diǎn) P在直線I : x + 2y 5 = 0上，所以PQ的最小值為點(diǎn) Q到直線I的距離，即d=2 6 = ，所以(x 1)2+ (y 1) 2的最小值為 d=：.寸 1 + 225方法二 由x+

2、2y 5= 0,得x = 5 2y，代入(x 1)2+ (y 1)2并整理可得222229 2 44(5 2y 1) + (y 1) = 4(y 2) + (y 1) = 5y 18y+ 17 = 5(y-) +，所以可得最小值為 -.555題型二 有關(guān)動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線、動(dòng)圓的最值問(wèn)題例2直線I過(guò)點(diǎn)F(1,4)，分別交x軸的正方向和y軸的正方向于 A、B兩點(diǎn).當(dāng)OAF 0B最小時(shí)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，求I 的方程.破題切入點(diǎn) 設(shè)出直線方程，將 0A+0B表示出來(lái)，利用基本不等式求最值.解 依題意，l的斜率存在，且斜率為負(fù)，設(shè)直線l的斜率為k，則y4 = k(x 1)( k<0).4令 y=0,可得

3、 A(1 k，0)；令 x = 0，可得耳0,4 k).(k+ r) = 5+ ( k + k)5+ 4= 9.4 44OA OB= (1 匚)+ (4 k) = 5 4所以，當(dāng)且僅當(dāng)一k=L且k<0,即k= 2時(shí)，OAF OB取最小值.這時(shí)I的方程為2x + y 6= 0.題型三綜合性問(wèn)題(1) 圓中有關(guān)元素的最值問(wèn)題例3由直線y = x + 2上的點(diǎn)P向圓C: (x 4)2+ (y + 2)2= 1引切線PT(T為切點(diǎn))，當(dāng)PT的長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn) P的坐標(biāo)是破題切入點(diǎn) 將PT的長(zhǎng)表示岀來(lái)，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.解析 根據(jù)切線段長(zhǎng)、圓的半徑和圓心到點(diǎn)P的距離的關(guān)系，可知 PT= 7PC

4、- 1，故PT最小時(shí)，即PC最小，此時(shí)PC,._ ,、，.，,、，、“、，r _“、，、_' = X + 2 ,卄，垂直于直線y=x + 2,則直線PC的方程為y+ 2 = (x 4),即y= x + 2,聯(lián)立方程解得點(diǎn)P的坐標(biāo)y = x+ 2,為(0,2).(2) 與其他知識(shí)相結(jié)合的范圍問(wèn)題例4已知直線x+ y k= 0( k>0)與圓x2 +y2 = 4交于不同的兩點(diǎn)A,B,O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|6AbOB有AB|，那么3k的取值范圍是.破題切入點(diǎn)結(jié)合圖形分類討論.解析O a B三點(diǎn)為等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，其中OA= OB / AOB= 120°,從而圓心 0到直線x

5、+ y k= 0（k>0）的距離為1,此時(shí)k = ）2；當(dāng)k> :2時(shí),ioAf 6b>3| Ab，又直線與圓X2 + y2 = 4存在兩交點(diǎn),故k<2 _：'2,綜上,k的取值范圍是_.;2, 2.【總結(jié)提高】（1）主要類型： 圓外一點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)間距離的最值. 直線與圓相離，圓上的點(diǎn)到直線的距離的最值. 過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最值. 直線與圓相離，過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的切線，切線段長(zhǎng)的最小值問(wèn)題.ax+ byax + by, cxX等的最值，轉(zhuǎn)化為直線與圓的 兩圓相離，兩圓上點(diǎn)的距離的最值. 已知圓上的動(dòng)點(diǎn) Qx, y），求與點(diǎn)Q的坐標(biāo)有關(guān)的式子的最

6、值，如求/亠護(hù)¥方位置關(guān)糸.解題思路：數(shù)形結(jié)合法：一般結(jié)合待求距離或式子的幾何意義，數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為直線與直線或直線與圓的位置關(guān)系求解.函數(shù)法：引入變量構(gòu)建函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解.（3）注意事項(xiàng)：準(zhǔn)確理解待求量的幾何意義，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為直線與直線或直線與圓的相應(yīng)的位置關(guān)系;涉及切線段長(zhǎng)的最值時(shí)，要注意切線，圓心與切點(diǎn)的連線及圓心與切線段另一端點(diǎn)的連線組成一個(gè)直角三角形.精題狂練1. 若動(dòng)點(diǎn)A,B分別在直線li：x + y 7= 0和l2：x + y 5 = 0上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為 離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離.設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為l : x + y+ m=

7、0，根據(jù)平行線間的距離公式得1訐7| =| mF 5|2? I mF 7| = | mF 5| ? m= 6,V即1 : x+ y 6= 0,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，解析 依題意知，AB的中點(diǎn)M的集合是與直線l 1： x+ y 7= 0和I2： x + y 5= 0距離都相等的直線， 則M到原點(diǎn)的距得M到原點(diǎn)的距離的最小值為I 6|=3 2.2. 已知點(diǎn) M是直線3x + 4y 2 = 0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) N為圓（x+ 1）2 + （y+ 1）2= 1上的動(dòng)點(diǎn)，貝U MN的最小值是 .I 一 3 4一 2I 9 解析 圓心（一1, 1）到點(diǎn)M的距離的最小值為點(diǎn)（一1, 1）到直線的距離d=-,故點(diǎn)

8、N到點(diǎn)M的距離5 5的最小值為d 1 =53. 已知P是直線I : 3x 4y + 11 = 0上的動(dòng)點(diǎn)，PA PB是圓x2+ y2 2x 2y + 1= 0的兩條切線，C是圓心，那么四邊形PACBT積的最小值是.答案護(hù)解析 如圖所示，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (x 1)2+ (y 1)2= 1,圓心為C(1,1)，半徑為r = 1.1根據(jù)對(duì)稱性可知四邊形 PACBM積等于2S°ap= 2X qPAr = PA故PA最小時(shí)，四邊形 PACB勺面積最小，由于 PA= 'PC 1,故PC最小時(shí)，PA最小，此時(shí)，直線 CP垂直于直線I : 3x 4y + 11 = 0,故PC的最小值為圓心

9、C到直線I : 3x 4y +11 = 0的距離d =|3 4+ 11| =,'32 + 42 =105=2，所以PA= .'PC 1 = ;22 1 = '3.故四邊形PACBT積的最小值為；'3.I與曲線y= ； 1 x2相交于A B兩點(diǎn),3O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng) AOB勺面積取最4. (2013 江西改編)過(guò)點(diǎn)(：2 , 0)引直線大值時(shí)，直線I的斜率為.答案 解析 / Saob= 2qa- OB- sin / AOB= jsin / AO& 2.當(dāng)/AOB=-2時(shí)，Sob面積最大此時(shí) O到AB的距離d = #.設(shè) AB方程為 y k( x ：2)( k

10、<0)，即 kx y ：2k= 0. 由d='善冷，得 k=5. 過(guò)點(diǎn)P(1,1)的直線，將圓形區(qū)域( x, y)| x2+ y2w4分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為答案 x+ y 2 0解析 由題意知，當(dāng)圓心與 P的連線和過(guò)點(diǎn) P的直線垂直時(shí)，符合條件.圓心O與P點(diǎn)連線的斜率k 1,所以直線OP垂直于x+ y 2 0.y > 0,»26. 已知Q x, y2，直線y= m灶2m和曲線y= ：4 x2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，它們圍成的平面區(qū)y w 寸 4 xn 2域?yàn)镸向區(qū)域上隨機(jī)投一點(diǎn) A,點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為P(M，若RM , 1 ,則實(shí)

11、數(shù)m的取值范圍是2 n.答案 0,11j5解析 畫出圖形，不難發(fā)現(xiàn)直線恒過(guò)定點(diǎn)(一2,0)，圓是上半圓，4/直線過(guò)(一2,0) , (0,2)時(shí)，向區(qū)域 Q上隨機(jī)投一點(diǎn) A,點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為RM ,n 2此時(shí)RM= o,2 nPl 2 3 4 5 x-2當(dāng)直線與x軸重合時(shí)，P(M 1,-3故直線的斜率范圍是0,1._4-57.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，圓C的方程為x2 + y2 8x + 15 0,若直線ykx 2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓 C有公共點(diǎn)，貝U k的最大值是 4答案3解析可轉(zhuǎn)化為圓C的圓心到直線y = kx 2的距離不大于2.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x

12、 4）2+ y2= 1圓心為（4,0）.由題意知（4,0）到kx y 2 = 0的距離應(yīng)不大于2,|4 k 2|即一2 w 2.k+ 124整理，得 3k2 4kw 0,解得 ow kw3.34故k的最大值是3.&直線I過(guò)點(diǎn)（0， 4），從直線I上的一點(diǎn)P作圓C: X2+ y2 2y= 0的切線PA PQA, B為切點(diǎn)），若四邊形PACE面積的最小值為2,則直線I的斜率k為.答案 ±22,圓心（0,1）到直線y= kx 4的距離為解析易知圓的半徑為1,因?yàn)樗倪呅蜳AC啲最小面積是2,此時(shí)切線段長(zhǎng)為_(kāi)5_1 + k2=5，解得 k =± 2.9.若直線ax+ by=

13、1過(guò)點(diǎn)A（b, a），則以坐標(biāo)原點(diǎn) O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓的面積的最小值是 .答案 n解析 t直線ax+ by= 1過(guò)點(diǎn)A（ b, a）, , ,1 ab+ ab= 1. / ab= 2*又 OA= a2 + b2,以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓的面積為S=n oA= （ a + b） n2 ab n = n,面積的最小值為 n.10 .與直線x y 4 = 0和圓 A : x2 + y2 + 2x 2y = 0都相切的半徑最小的圓 C的方程是答案（x 1）2+ （y + 1）2 = 2解析易知所求圓C的圓心在直線y = x 上,故設(shè)其坐標(biāo)為 qc, c）,又其直徑為圓 A的圓心A 1,1）到

14、直線x y4=0的距離減去圓A的半徑，即62 = 2 2? r = 2,即圓心C到直線x y 4= 0的距離等于.2|2 c 4|2 2(x 1) + (y + 1) = 2.故有 .=2? c= 3 或 c= 1 , 結(jié)合圖形當(dāng)c= 3時(shí)圓C在直線x y 4= 0下方，不符合題意，故所求圓的方程為 2 211. 已知點(diǎn)F(x, y)是圓(x + 2) + y = 1上任意一點(diǎn).(1) 求點(diǎn)P到直線3x + 4y+ 12= 0的距離的最大值和最小值；y 2(2) 求的最大值和最小值.x 1 |3 X 2 + 4X 0+ 12|解 圓心C( 2,0)至煩線3x + 4y + 12= 0的距離為d

15、=22寸 32+ 42611所以點(diǎn)P到直線3x + 4y+ 12 = 0的距離的最大值為 d+ r = + 1 =556 1最小值為d r = 1 =三.55設(shè)k= Vx 1則直線kx y k + 2 = 0與圓（x + 2）2+ y2= 1有公共點(diǎn),.|-如 2| 三w k < 亠,k2+ 1，44，kmax= 3 , kmin= 3.即匕|的最大值為3+-，最小值為3衛(wèi)x 14412. (2014 蘇州模擬)已知圓M的方程為x2 + y2 2x 2y 6 = 0,以坐標(biāo)原點(diǎn) O為圓心的圓O與圓M相切.(1)求圓O的方程； 圓O與x軸交于E, F兩點(diǎn)，圓 O內(nèi)的動(dòng)點(diǎn) D使得DE DO DF成等比數(shù)列，求 DE- 6F勺取值范圍.解(1)圓M的方程可整理為(x 1)2+ (y 1)2= 8,故圓心M(1,1)，半徑R= 2 2.圓O的圓心為 O(0,0)，因?yàn)?M= 2<2 2,所以點(diǎn)O在圓M內(nèi)，故圓O只能內(nèi)切于圓 M設(shè)圓O的半徑為r，因?yàn)閳AO內(nèi)切于圓 M 所以 M= Rr,即 2= 2 2 r,解得 r = ,2.所以圓O的方程為x2+ y2= 2. 不妨設(shè) E(m,0) , F(n,0)，且 n<n.故 E( 2, 0) , F( 2, 0).設(shè)D(x, y)，由DE DO DF成等比數(shù)列，得 DEX DF= DO,即.x