微分方程總復習題四及答案

1、總復習題四(A) e In 2 :(B)戶ln2：1、填空題(1)微分方程:/ = 2xy的通解為y =(2)微分方程y + y tan x = cos x的通解為y =(3)微分方程y = 的通解為v =1 + X(4)微分方程/ + 2/ + 5y = 0的通解為=(5)設(shè)y = wC|Sin/ + Ccos兀）（CC?為任意常數(shù)為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解則該方程為(6)微分方程/-4/ =小的通解為y =2、選擇題（1）設(shè)常數(shù)卩和9滿足卩2一40 = 0丿工0,則微分方程/ + “），+ = 0的通解是（(A) y = Ce -；(B) y = Cxe -:(C) y = (C

2、 + Cx)e - (D) y = C, + Cx .（2）若”和兒是二階齊次線性微分方程/+p（x）/ + Cv）y = 0的兩個解，則y = C+C*2（CC2為任意常數(shù)）（A）是該方程的通解：（C）是該方程的特解:（B）是該方程的解：（D）不一泄是該方程的解.（3）設(shè)”和兒是微分方程/+p/+y = /（x）的兩個特解，則以下結(jié)論正確的是（(A)比+比仍是該方程的解;(B)”-兒仍是該方程的解:(C)” +兒是方程y+y+qy=0的解:(D)”-兒是方程Z+py+qy = 0的解. 2x（4）若連續(xù)函數(shù)/（X）滿足/（x） = Ju f-It + n2.則/(%)=(C) +ln2：(D

3、) /“ + ln23、求下列一階微分方程的通解或給泄初始條件下的特解.(1)(y- l)dv - xydy = 0:(2)(3)Vy(x- V COS )dx + XCOSdy = 0 : XX(4)x-y + xy = y-. y(l) = l ；(6)2xyy + x -y =0：(7)(8)(y x + l)dx-(y x + 5(fy = ()x(9)cosUd + y = tan 小 dx(10) (x-sin y)dy + tan ydx = 0 , y(0)=24、求下列高階微分方程的通解或滿足所給初始條件下的特解.(1)y爪=xeX ；(2)(3)y = 0 , y(0) =

4、 /(O) = 0 :(4)x-y + xy = . (1) = 0, /(1) = 1；(5)(I + )/ + /=0(6)2y/ = /- + y (0) = 1 , /(0) = -l；(7)(8)/-12/ + 35y=0：(9)9/-30/ + 25y = 0：(10) 3/-4/ + 2y = 0：(11) y-2;/-3y = 7(12) y + 4y + 4y = cos2x*5.求解下列方程組(1) dx . =y+1 dt世=2宀 dtdxdt6、解答題(1)/(X)為可微函數(shù)，/(x) = cos2x + J f(ttsinitdtt,(2)- + 1 = 2%-, v

5、(l) = lX (ly(3)已知”=炫+戶，兒乞2 + ”二 兒=力”+小一八是某二階線性常系數(shù)非齊次微分方程的三個解，求此微分方程.設(shè) f (x)= sin,其中/(x)為連續(xù)函數(shù)，求/(x)7、應用題(4)(1)設(shè)y = /(X)是第一象限內(nèi)連接點A(1O), B(1O)的一段連續(xù)曲線，MUy)為該曲線上任意一點，點C為M在X軸上的投影，0為坐標原點.若梯形OCMA的而積與曲邊三角形r* IBCM的面積之和為+求/(X)的表達式.63(2) 一條長度為/的均勻鏈條，放苣在一水平而無摩擦力的桌而上，使得鏈條在桌邊懸掛 下來的長度為/兒問鏈條全部滑離桌而需多長時間？V(3)某湖泊的水量為譏每

6、年排入湖泊內(nèi)污染物A的污水量為一,流入湖泊內(nèi)不含A的水 6VV量為一，流出湖泊的水量為一已知2010年底湖中的A的含量為5加0,超過國家規(guī)定指標.63為了治理污染，從20H年初起，限建排入湖泊中含A的污水的濃度不超過器問至多需要經(jīng)過多少年，湖泊中的污染物的含量降至以內(nèi)(注：設(shè)湖水中A的濃度是均勻的總復習題四答案1、(1) Ce : (2) (x + C)cosx： (3) xarctanx- ln(l + x) +:2(4)cos2x + C.e- sin2x： (5) /-2/ + 2y = 0： (6) Q?亠+;0+-尤戶2、(1) C： (2) B： (3) D； (4) B： 3、(

7、1) (y-l)e =Cx： (2) y(x + y/l + x-) = C；Y*2 V(3) sin = -lnx + C : (4) y = ln(Cn): (5) y = : (6)+ y* = Cx:Xl + x(7 ) y = -(2xV , y() = -l : ( 8 ) (y-x)，+ lOy-2x = C ,令 w = yx ； ( 9 ) 2V = tanx-l + Cw : (10) x = (sin y) 4、( 1) y = xe-3e + CyX + Cx + :2sin y (2) y = Cf X x + G： K =secx： (4) y = (a; + 1/

8、 ： (5) (y + 1) = Gx + C?:2 2-X6?5 Y(6)，=嚴(7) y = r+x (8) y = Gd+C” (9) y = R+C (10) X-X J2J221(12 )y = R (C| cos X + C2 sin-x) ( 11 )，=彳+(歹*y = (C| + Gx)0亠 + - sin 2x : 85.(1)-v(Z) = C, cos z + C2 sin r + y(r) = -Cl sinz + C, cosf+” -1x(r) = -(C.C)cosrHC-C.)sinrk- 心=嚴+4(皿-1), y(t) =(G cos f + G sin f )不/(O) = 1 :