《2.4二項分布》導學案

1、2.4 二項分布 導學案學習目標1理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，并能解答一些簡單的實際問題2. 能進行一些與n次獨立重復試驗的模型及二項分布有關的概率的計算重點獨立重復試驗中事件的概率及二項分布的求法，試驗的概念及二項分布的概念.難點二項分布模型的構建 .教學過程擲一次硬幣可看作一次試驗，每次試驗有兩個可能的結果 :正面、反面 .由于硬幣均勻， 所以出現(xiàn)正面的概率為，如果將這枚均勻硬幣隨機擲 100次，那么正好出現(xiàn) 50次正面的概率 是否也是呢？問題1:前一次拋擲的結果是否影響后一次的拋擲的結果？或者說每次拋擲是否相互獨 立？前一次拋擲的結果 不會 影響后一次的結果， 因為它是在相同的

2、條件下作的試驗， 每 一次試驗 都是 相互獨立的，不會有影響 .問題2:什么是n次獨立重復試驗？有什么特點？在相同條件下，重復做n次試驗，各次試驗的結果相互獨立，那么一般就稱它們?yōu)閚次獨立重復試驗 .獨立重復試驗特點如下 :每次試驗是在同樣條件下進行的； 各次試驗的結果是相互 獨立的； 每次試驗都只有兩種結果， 即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生， 并且在任何一次試驗 中，事件發(fā)生的概率均相等 .問題3:什么是二項分布？一般地，在n次獨立重復試驗中，設事件 A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試驗中事件 A發(fā)生的 概率為P，那么在n次獨立重復試驗中，事件 A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=k)= pk(1-p嚴 ，k

3、 =0, 1, 2,，n此時稱隨機變量X服從二項分布，記作 XB(n, p)，并稱p為 成功概 率.利用二項分布來解決實際問題的關鍵在于在實際問題中建立二項分布的模型,也就是看它是否為n次獨立重復試驗，隨機變量是否為在這n次獨立重復試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)， 滿 足這兩點的隨機變量才服從二項分布,否則就不服從二項分布 .學習交流1某一試驗中事件A發(fā)生的概率為P，則在n次這樣的試驗中，發(fā)生 k次的概率為().k k n-kA. 1-pB.(1 -p) pk k n-kC.(1-p)kD.(1 -p)kpn-k【解析】在n次獨立重復試驗中，事件恰發(fā)生k次，符合二項分布，而 P(A)=p，則P()=1

4、-p，故 P(X=k)=(1 -p)kpn-k，故選 D.【答案】 D2已知隨機變量XB(5,),則P(X紹)=.【解析】P(X >4)=P (X= 4) +P (X= 5)= ()4(1-)+ ()5(1-)0=.【答案】3. 已知某種療法的治愈率是 90%，在對 10位病人采用這種療法后，正好有90%被治愈的概率是多少？ (精確到 0.01)【解析】10位病人中被治愈的人數(shù) X服從二項分布，即XB(10 , 0.9)，故有9人被治愈的概率為 P(X= 9)=x 0.99 X0.110.39.4. 二項分布公式的應用種植某種樹苗，成活率為 90%，現(xiàn)在種植這種樹苗 5棵，試求 :(1)

5、 恰好成活 4棵的概率；(2) 至少成活 4棵的概率；(3) 至多成活 4棵的概率 .(結果保留兩位有效數(shù)字 )【方法指導】由獨立重復試驗的概率公式計算，結合互斥事件和對立事件的概率求解.【解析】 (1) 恰好成活 4棵的概率為4 5-4P(X=4) = X0.9 X1-0.9) 弋.33;(2) 至少成活 4棵的概率為45-455-5P(X4)=X0.9 X(1-0.9) +X0.9 X(1-0.9) 胡.92;(3) 至多成活 4棵的概率為5 5-5P(X<4)=1-P(X= 5)=1 - X).9 X1-0.9) P.41.【小結】 由于各次種植的概率相同， 各次種植之間相互獨立，

6、 雖然各次種植的時間不同， 但可以看作是在相同的條件下進行的五次獨立重復試驗.在解決實際問題時要把握好獨立重復試驗概型的基本特征 每次發(fā)生的概率相同、各次之間相互獨立 .5. 二項分布的概率分布列9粒種子分別種在 3個坑中，每坑 3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為 0 . 5 .若一個坑內至少有 1粒 種子發(fā)芽，則這個坑不需要補種;若一個坑內的種子都沒發(fā)芽，則這個坑需要補種.假定每個坑至多補種一次，每補種 1個坑需10元，用X表示補種的費用，寫出 X的分布列.【方法指導】只需計算每個坑補種的概率即可 .【解析】因為一個坑內的3粒種子都不發(fā)芽的概率為(1-0.5)3=，所以一個坑不需要補種的概率為1-=

7、.3個坑都不需要補種的概率為03X() X() P670,恰有1個坑需要補種的概率為1 2X() X()弋.287,恰有2個坑需要補種的概率為2 1X() X() P.041 ,3個坑都需要補種的概率為X()3X()0«0.002.補種費用X的分布列為：X0102030P0.6700.2870.0410.002【小結】如果是在相同的條件下進行的某種活動，如射擊、投籃等，其每次活動成 功的概率相同，則其成功次數(shù)就服從二項分布有放回與不放回抽取問題在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件不放回，求抽到次品數(shù) X的分布列 【方法指導】根據(jù)題意判斷試驗類型，進一步計算【解析】抽取一次

8、，抽到次品的概率為=0.2，連抽3次抽到次品數(shù)X, XB(3 , 0.2),P(X=k)=X0.2kX0.83"k, k=0, 1, 2, 3.所以X的分布列為：X0123PX0.832 1X0. 8 XJ.21 2X0.8 X0.2X0.23問題這樣做對嗎？結論不對.此題的題目中是不放回地抽取，每次抽取的條件不同，不是獨立重復試驗,不屬于二項分布正解如下：由于是不放回試驗，故X服從超幾何分布P(X=O)= , P(X=1)= , P(X=2)=.所以X的分布列為：、XZ0121)【小結】在這類問題中如果是有放回地抽取，則每次取出次品的概率相等，取出的次品數(shù)就服從二項分布；但如果是不

9、放回地抽取，則抽出的次品的概率就會發(fā)生變化，這時取出的次品數(shù)服從超幾何分布例題應用例一某車間有5臺車床，每臺車床的停車或開車是相互獨立的，若每臺車床在任一時 刻處于停車狀態(tài)的概率為，求：(1) 在任一時刻車間有3臺車床處于停車的概率；(2) 至少有一臺處于停車的概率.【解析】設有X臺車床處于停止狀態(tài)，則XB(5 ,).(1) 在任一時刻車間有3臺車床處于停車的概率為P (X= 3)=X()3X(1-)5" 3=.(2) 至少有一臺處于停車的概率為P(X羽)=1-P(X=0)=1-馮(1-)5-0=.例二加工某種零件要經(jīng)過三道工序，設第一、二、三道工序的合格率分別為，且各道工序互不影響

10、(1) 求這種零件合格的概率；(2) 從該種零件中取4次，求合格品的概率分布列【解析】(1)設事件A表示零件合格的概率，由每道工序是相互獨立的，則有 P(A)=XX =.(2)設X表示合格品的個數(shù)，則04-0P(X=0)=X() X(1-)=,1 4-1P(X=1)=X() X(1-)=,2 4-2P(X=2) = X() X(1-)=,3 4-3P(X=3) = x() x(1-)=,4 4-4P(X=4) = X() X(1-)=.故合格品的概率分布列為：X 01234P例三 若把探究三的條件改為每次抽1件，然后放回”求抽到次品數(shù)X的分布列，那么答案是什么？【解析】抽取一次抽到次品的概率為

11、=0.2,抽到次品數(shù)X，XB(3，0.2)，P(X=k)=X0.2kX0嚴,k=0, 1, 2, 3.所以X的分布列為：X0123P».832 1».8 X0.21 2».8 ».2X0.23課堂練習1. 某學生解選擇題出錯的概率為0.1，該生解三道選擇題至少有一道出錯的概率是().A. 0.12 >0.93 22B. 0.1 +0.1 X0.9+0.1X0.9C. 0.13D. 1-0.93【解析】設該生錯了 X道選擇題，則有P(X)=1-P(X=0)=1-».10 >1-0.1)3-0 = 1-0.93.【答案】D2. 某人射擊

12、1次，擊中目標的概率是 0.8，他射擊4次，至多擊中3次的概率是. 【解析】設擊中目標的次數(shù)為 X,則 P(X<3)=1-P(X=4)= 1- X).84X(1-0.8)4-4=0.5904.【答案】0.59043. 在一次測試中，甲、乙兩人獨立解出一道數(shù)學題的概率相同，已知該題被甲或乙解出的概率是0.36，寫出解出該題人數(shù) X的分布列.【解析】設甲、乙獨立解出該題的概率為x,由題意1-(1-x)2=0.36，解得x=0.2.所以解出該題人數(shù)X的分布列為：X012P0.640.320.044. (2010年 湖北卷)一個病人服用某種新藥后被治愈的概率為0.9,則服用這種新藥的4個病人中至

13、少3人被治愈的概率為(用數(shù)字作答).【解析】本題主要考查二項分布 .340.9 0.1 + 0.9 =0.9477.【答案】 0.9477課后練習1. 流星穿過大氣層落在地面上的概率為0 . 002，流星數(shù)為 10的流星群穿過大氣層有 4個落在地面上的概率為 ( ).A.3.32X10-5B.3.32X10-9-5-9C.6.64X10D.6.64X10【解析】相當于1個流星獨立重復10次，其中落在地面上的有 4次的概率P=X 0.0024x(1 -6 -90.002) P.32X10-，應選 B.【答案】B2. 甲、乙兩隊參加乒乓球團體比賽，甲隊與乙隊實力之比為3 : 2,比賽時均能正常發(fā)揮

14、技術水平，則在 5局3勝制中，甲打完 4局才勝的概率為 ().32A.() B.()()33C.() ()D.()()【解析】由題意可知，甲最后一場一定取勝，前3場有2勝1負，服從二項分布，P=()3 :【答案】A3. 如果XB(20, p),當p=且P(X=k)取得最大值時，k=.【解析】當p=時，P(X=k)= ()k ()20-k= ()20，-顯然當k=10時，P(X=k)取得最大值. 【答案】 104. 假設每一架飛機的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為1-p，且各引擎是否出現(xiàn)故障是獨立的 .已知 4引擎飛機中至少有 3個引擎正常運行,飛機就能正常飛行；2引擎飛機中要 2個引擎全部正常運行

15、，飛機才能正常飛行要使4引擎飛機比2引擎飛機更安全，則p的取值范圍是多少？【解析】由題意, 4引擎飛機正常飛行的概率為 p3(1-p)+p4, 2引擎飛機正常飛行的概率 為p2,所以p3(1-p)+p4>p2，解得<p< 1,即p的取值范圍是(,1).5. 某電子管正品率為，次品率為，現(xiàn)對該批電子管進行測試，設第次首次測到正品，則P(E=)等于().22A.() X B.() X2 2C.()2XD.() 2X【解析】P(E=)表示第3次首次測到正品的概率，故第 1、2次都是次品，即P(E=) = ()2x. 【答案】C6. 某射手射擊 1次,擊中目標的概率是 0.9 ,他連

16、續(xù)射擊 4次,且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響 .則他恰好擊中目標 3次的概率為 ().33A.0.9 X0.1B.0.933C. X0.9 X0.1D.1-0.1【解析】由獨立重復試驗公式可知選C.【答案】C7. 一射手命中 1 0環(huán)的概率為 0.7，命中 9環(huán)的概率為 0 .3，則該射手打 3發(fā)得到不少于 29環(huán)的概率為(設每次命中的環(huán)數(shù)都是自然數(shù))【解析】由題意知打 3發(fā)得到不少于 29環(huán)，則含有的情況為 2發(fā)10環(huán)1發(fā)9環(huán)或3發(fā)都為10 環(huán)，故所求概率為 X0.72 X0.3+X0.73= 0.784.【答案】 0.7848. 某人從第一層坐電梯到第十層，則從第二層到第九層電梯停

17、的次數(shù)不少于3次的概率是多少？停幾次概率最大？ (假設每層停的概率為 )【解析】依題意，從第2層到第9層停不少于3次，應包括停3次，停4次，停5次，直 到停8次.所求概率 p= ()3()5+ ()4()4+ ()5()3+ + ()8= (+ + )()8=28-(+ )() 8= (28-37)()8=.設從第2層到第9層停k次，則其概率為()k()8-k=()8,.當k= 4時，最大，即()8最大，從第2層到第9層停不少于3次的概率為，停4次概率最大.9. 下列例子中隨機變量X服從二項分布的有 隨機變量X表示重復拋擲一枚骰子n次中出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)； 某射手擊中目標的概率為 0.9

18、，從開始射擊到擊中目標所需的射擊次數(shù)X； 有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用有放回抽取方法，X表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù) (M<N )； 有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法，X表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù) .【解析】對于，設事件A為拋擲一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)是 3的倍數(shù)” P(A)=，而在n次 獨立重復試驗中事件 A恰好發(fā)生了 k次(k=0, 1, 2,，n)的概率P(X=k)=x()kX()n-k,符合二 項分布的定義，即有 XB(n,);對于，X的取值是1, 2, 3,，P(X=k)=0.9X0.1k-1(k=i, 2, 3,，n)，顯然不符合二項分布的定義，因此 X不服從二項分布； 和的區(qū)別在于： 是 有放回”抽取，而是 無放回”抽取，顯然中n次試驗是不獨立的，因此 X不服從二項 分布，對于 有XB(n,).故應填.【答案】 10. 甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標的概率分別是和.假設兩人射擊是否擊中目標,相互之間沒有影響；每人各次射擊是否擊中目標,相互之間也沒有影響.(1)求甲射擊 4次,至少有 1次未擊中目標的概率；(2) 求兩人各射擊 4次，甲恰好擊中目標 2次且