高中新課標數學概念、方法、題型、易誤點匯整(三)

1、高中新課標數學概念、方法、題型、易誤點匯整（三）13函數零點的求法：直接法（求的根）；圖象法；二分法.14求解數學應用題的一般步驟：審題認真讀題，確切理解題意，明確問題的實際背景，尋找各量之間的內存聯系；建模通過抽象概括，將實際問題轉化為相應的數學問題，別忘了注上符合實際意義的定義域；解模求解所得的數學問題；回歸將所解得的數學結果，回歸到實際問題中去。（2）常見的函數模型有：建立一次函數或二次函數模型；建立分段函數模型；建立指數函數模型；建立型。恒成立問題:分離參數法;最值法;化為一次或二次方程根的分布問題.af(x)恒成立af(x)max,;af(x)恒成立af(x)min; 15導數 導數

2、定義：f(x)在點x0處的導數記作；常見函數的導數公式: ； 。導數的四則運算法則：導數的應用：利用導數求切線：注意：所給點是切點嗎？所求的是“在”還是“過”該點的切線？注意：過某點的切線不一定只有一條; 如：已知函數，過點作曲線的切線，求此切線的方程（答：或）。 導數幾何物理意義:k=f/(x0)表示曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0)處切線的斜率。Vs/(t)表示t時刻即時速度,a=v(t)表示t時刻加速度。如一物體的運動方程是，其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在時的瞬時速度為_（答：5米/秒）利用導數判斷函數單調性： 是增函數； 為減函數；研究單調性步驟:分析y=f(x)定義域;

3、求導數;解不等式f/(x)>0得增區(qū)間;解不等式f/(x)<0得減區(qū)間;注意f/(x)=0的點; 如：設函數在上單調函數，則實數的取值范圍_（答：）；利用導數求極值：求導數；求方程的根；檢驗在根左右兩側符號,若左正右負,則f(x)在該根處取極大值;若左負右正,則f(x)在該根處取極小值;利用導數最大值與最小值：求的根；求區(qū)間端點值（如果有）；把極值與區(qū)間端點函數值比較,最大的為最大值,最小的是最小值。如：（1）函數在0，3上的最大值、最小值分別是_（答：5；）；（2）已知函數在區(qū)間1,2 上是減函數，那么bc有最_值_答：大，）（3）方程的實根的個數為_（答：1）特別提醒：（1）是

4、極值點的充要條件是點兩側導數異號，而不僅是0，0是為極值點的必要而不充分條件。（2）給出函數極大(小)值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗“左正右負”(“左負右正”)的轉化，否則條件沒有用完，這一點一定要切記！如：函數處有極小值10，則a+b的值為_（答：7）14（理科）定積分 定積分的定義：定積分的性質： （常數）； （其中。微積分基本定理（牛頓萊布尼茲公式）：定積分的應用：求曲邊梯形的面積：； 求變速直線運動的路程：；求變力做功：第三部分 三角函數、三角恒等變換與解三角形1角度制與弧度制的互化：弧度，弧度，弧度弧長公式：；扇形面積公式：。如已知扇形AOB的周長是6cm，該扇形的中心角是1弧

5、度，求該扇形的面積。（答：2） 2三角函數定義：角中邊上任意一點為，設則：3三角函數符號規(guī)律：一全正，二正弦，三兩切，四余弦；4誘導公式記憶規(guī)律：“奇變偶不變,符號看象限” (注意：公式中始終視a為銳角)5函數y=b（）五點法作圖;振幅?相位?初相? 周期T=,頻率?=k時奇函數; =k+時偶函數.對稱軸：；對稱中心：； 對稱軸：；對稱中心：；總之，函數在對稱軸處取得最值,在對稱中心處值為0;余弦正切可類比.如（1）函數的奇偶性是_（答：偶函數）；（2）已知函數為常數），且，則_（答：5）；（3）函數的圖象的對稱中心和對稱軸分別是_、_（答：、）；（4）已知為偶函數，求的值。（答：）6同角三角

6、函數的基本關系：；如：知，則_；_（答：；）；7兩角和與差的正弦、余弦、正切公式： 。8二倍角公式：；。如：函數的單調遞增區(qū)間為_（答：）9正、余弦定理正弦定理（是外接圓直徑）注：；。余弦定理：等三個；注：等三個。術語:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基準方向為起點（一般為北方），依順時針方式旋轉至指示方向所在位置，其間所夾的角度稱之。方位角的取值范圍是：0°360°等10。幾個公式:三角形面積公式：；內切圓半徑r=；外接圓直徑2R=巧變角：如，等如（1）已知，那么的值是_（答：）；（2）已知為銳角，則與的函數關系為_（答：）輔助角公式中輔助角的確定：(其中)如：（1）當函

7、數取得最大值時，的值是_(答：)；（2）如果是奇函數，則=(答：2)；11已知時三角形解的個數的判定： AbaCh其中h=bsinA,A為銳角時：a<h時，無解；a=h時，一解（直角）；h<a<b時，兩解（一銳角，一鈍角）；ab時，一解（一銳角）。A為直角或鈍角時：ab時，無解；a>b時，一解（銳角）。第四部分 數列1定義：等差數列 ；等比數列 ；等差數列的判斷方法：定義法或。等比數列的判斷方法：定義法，其中或。等差中項：若成等差數列，則A叫做與的等差中項，且。等比中項：若成等比數列，那么A叫做與的等比中項。提醒：等差（等比）數列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：

8、、及，其中、（）稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數個數成等差，可設為，（公差為）；偶數個數成等差，可設為，,（公差為2）；奇數個數成等比，可設為，（公比為）；但偶數個數成等比時，不能設為，因公比不一定為正數，只有公比為正時才可如此設，且公比為。如有四個數，其中前三個數成等差數列，后三個成等比數列，且第一個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個數的和為12，求此四個數。等比數列前項和公式有兩種形式，為此在求等比數列前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比是否為1時，要對分和兩

9、種情形討論求解。不是任何兩數都有等比中項，只有同號兩數才存在等比中項，且有兩個。如已知兩個正數的等差中項為A，等比中項為B，則A與B的大小關系為_2等差數列的性質：（1）當公差時，等差數列的通項公式是關于的一次函數，且斜率為公差；前和是關于的二次函數且常數項為0.（2）若公差，則為遞增等差數列，若公差，則為遞減等差數列，若公差，則為常數列。（3）當時,則有，特別地，當時，則有.如 等差數列中，則_ ；在等差數列中，且，是其前項和，則（ ）A、都小于0，都大于0 B、都小于0，都大于0C、都小于0，都大于0 D、都小于0，都大于0(4) 若、是等差數列，則、 (、是非零常數)、 ，也成等差數列，

10、而成等比數列；若是等比數列，且，則是等差數列. 如等差數列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為 。（5）在等差數列中，當項數為偶數時，；項數為奇數時，（這里即）；。如 在等差數列中，S1122，則_；項數為奇數的等差數列中，奇數項和為80，偶數項和為75，求此數列的中間項與項數.（6）若等差數列、的前和分別為、，且，則.如設與是兩個等差數列，它們的前項和分別為和，若，那么_；(7)“首正”的遞減等差數列中，前項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數列中，前項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組確定出前多少項為非負（或非正）；法二：因等差數列前項是關于的二次函

11、數，故可轉化為求二次函數的最值，但要注意數列的特殊性。上述兩種方法是運用了哪種數學思想？（函數思想），由此你能求一般數列中的最大或最小項嗎？如等差數列中，問此數列前多少項和最大？并求此最大值；若是等差數列，首項，則使前n項和成立的最大正整數n是 ；3.等比數列的性質：（1）當時，則有，特別地，當時，則有.如在等比數列中，公比q是整數，則=_；各項均為正數的等比數列中，若，則 。(2) 若是等比數列，則、成等比數列；若成等比數列，則、成等比數列； 若是等比數列，且公比，則數列 ，也是等比數列。當，且為偶數時，數列 ，是常數數列0，它不是等比數列. 如已知且，設數列滿足，且，則.；在等比數列中，為

12、其前n項和，若，則的值為_ _；(3)若，則為遞增數列；若, 則為遞減數列；若 ，則為遞減數列；若, 則為遞增數列；若，則為擺動數列；若，則為常數列.(4) 當時，這里，但，這是等比數列前項和公式的一個特征，據此很容易根據，判斷數列是否為等比數列。如若是等比數列，且，則 (5) .如設等比數列的公比為，前項和為，若成等差數列，則的值為 ；(6) 在等比數列中，當項數為偶數時，；項數為奇數時，.(7)如果數列既成等差數列又成等比數列，那么數列是非零常數數列，故常數數列僅是此數列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條件。如設數列的前項和為（）， 關于數列有下列三個命題：若，則既是等差數列又是等比數

13、列；若，則是等差數列；若，則是等比數列。這些命題中，真命題的序號是 ；4.數列的通項的求法：公式法：等差數列通項公式；等比數列通項公式。如已知數列試寫出其一個通項公式：_；已知（即）求，用作差法：。如已知的前項和滿足，求；數列滿足，求已知求，用作商法：。如數列中，對所有的都有，則_ ；若求用累加法：。如已知數列滿足，則=_ ；已知求，用累乘法：。如已知數列中，前項和，若，求已知遞推關系求，用構造法（構造等差、等比數列）。特別地，（1）形如、（為常數）的遞推數列都可以用待定系數法轉化為公比為的等比數列后，再求。如已知，求；已知，求；（7）形如的遞推數列都可以用倒數法求通項。如已知，求；已知數列滿

14、足=1，求；注意：（1）用求數列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（，當時，）；（2）一般地當已知條件中含有與的混合關系時，常需運用關系式，先將已知條件轉化為只含或的關系式，然后再求解。注：當遇到時，要分奇數項偶數項討論，結果是分段形式。如數列滿足，求；5.數列求和的常用方法：（1） 公式法：等差數列求和公式；等比數列求和公式，特別聲明：運用等比數列求和公式，務必檢查其公比與1的關系，必要時需分類討論.；（2） 常用公式：，.如等比數列的前項和S2，則_ ；計算機是將信息轉換成二進制數進行處理的。二進制即“逢2進1”，如表示二進制數，將它轉換成十進制形式是，那么將二進制轉換成十進制數

15、是 ；（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和. 如求和：（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數列前和公式的推導方法）. 如已知，則_；（4）錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數列前和公式的推導方法）. 如設為等比數列，已知，求數列的首項和公比；求數列的通項公式.；設函數，數列滿足：，求證：數列是等比數列；令，求函數在點處的導數，并比較與的大小。（5）裂

16、項相消法：如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：； ；，； ；.如求和： ；在數列中，且S，則n_ ；（6）通項轉換法：先對通項進行變形，發(fā)現其內在特征，再運用分組求和法求和。如求數列1×4，2×5，3×6，前項和= ；求和： ；6.“分期付款”、“森林木材”型應用問題(1)這類應用題一般可轉化為等差數列或等比數列問題.但在求解過程中，務必“卡手指”，細心計算“年限”.對于“森林木材”既增長又砍伐的問題，則常選用“統一法”統一到“最后”解決.(2)利率問題：單利問題：如零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型：若每期存入本金元，每期利率為，則期后本利和為：（等差數列問題）；復利問題：按揭貸款的分期等額還款（復利）模型：若貸款（向銀行借款）元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，分期還清。如果每期利率為（按復利），那么每期等額還款元應滿足：（等比數列問題）.如（1）家用電器一件2000元，實行分期付款，每期付款數相同，每期為一個月，