參數(shù)方程化普通方程

1、參數(shù)方程化普通方程重點難點掌握參數(shù)方程化普通方程的方法，理解參數(shù)方程和消去參數(shù)后所得的普通方程的等價性；應(yīng)明確新舊知識之間的聯(lián)系，提高綜合運用所學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題能力。例題分析（長R,。為參數(shù)）1 把參數(shù)方程化為普通方程（1）解:< y=2+1-2sin（長R,。為參數(shù)）解:= X2=(sin e +coS= 1+2sin 0 co&耙 y=sin 0 coSt隊，X2=1+2y。 ° ,把 sin。=X入，y=3-2x2,(2)又 |sin 9|wi,|cos2 0 |.,< 1|x | < 1, 1 <y<5 所求方程為 y=-2x2+3(-

2、1 < x< 1, 1 < y< 3)又 x=sin 0 +cos 0 =sin( 0 +y=sin 0 cos 0 =sin2 0|x| 嗎 |y| &所求方程為x2=1+2y (|x|< ,小結(jié) :上述兩個例子可以發(fā)現(xiàn)，都是利用三角恒等式進行消參。消參過程中都應(yīng)注意等價性，即應(yīng)考慮變量的取值范圍，一般來說應(yīng)分別給出x, y 的范圍。在這過程中實際上是求函數(shù)值域的過程，因而可以綜合運用求值域的各種方法。(3)（t豐t,為參數(shù)）法一:注意到兩式中分子分母的結(jié)構(gòu)特點，因而可以采取加減消參的辦法。x+y=1,又x=-11, y=所求方程為 x+y=1 (x -

3、1, y w2)法二:其實只要把t用x或y表示，再代入另一表達式即可。由2,x=x+xt=1-t,(x+1)t=1-x,即 t二代入y=1-x,x+y=1,（其余略）t 換成t 2而已，因而消參方法依舊，但帶來的變化是范圍的改變，可用這種方法稱為代入消參，這是非常重要的消參方法，其它不少方法都可以看到代入消參的思想。 （t 為參數(shù) ）分析 :此題是上題的變式，僅僅是把兩種求值域的方法法一 :x=-1, - t2> 0,2+1 > 1.,.0<-1<法二:解得t2=>0,-1 -1<xW同理可得出y的范圍。(5)(t 為參數(shù) )分析:現(xiàn)在綜合運用上述各種方法進

4、行消參，首先，求 x,y范圍。由x=x2=y=,t=0 時，y=0;=1,從而|y|=w|y|四法一:注意到分子，分母的結(jié)構(gòu)，采用平方消參，x2+y2=()2+()2=1 O法二:關(guān)鍵能不能用x, y表示t,且形式簡單x=得t2=，代入y=t(1+x)t=再代入x=x2+y2=1。法三:注意到表達式與三角中萬能公式非常相象可令 t=tg 0 (-), x=cos2 0 ,y=sin2 0 ,x2+y2=i,又 2 ee),(一,-1<x=cos2 0 01俱 y=sin2 程為 x2+y2=1(x R)。2已圓錐曲線方程是1)若t為參數(shù)，。為常數(shù)，求它的普通方程，并求出焦點到準線的距離。

5、2)若。為參數(shù)，t為常數(shù)，求它的普通方程，并求它的離心率 e。解 :1 )由已， 由 (1) 得t=代入 (2)y-4sin ()+5= 2(x-5cos(-1)=-(y-4sin ()+5)為頂點在(5cos()+1,4sin-5)開口向下的拋物線，其焦點到準線距離p=2)由已知=1，表不中心在(3t+1,-6t 2-5)的橢圓，其中 a=5, b=4, c=3,e=分析 :從上題可以看出，所指定參數(shù)不同，方程所表示的曲線也各不相同。從而給出參數(shù)方程一般應(yīng)指明所取參數(shù)。3.拋物線y2=4p(x+p)(p>0),過原點作互相垂直的兩條直線分別被拋物線截得線段為AB, CD, M為AB中點

6、， N 為 CD 中點， G 為 MN 中點。求G 點軌跡方程，并說明其圖形。解 : 設(shè) AB 方程為 y=kx 代入拋物線方程y2=4p(x+p)ym=k2x2-4px-4p2=0, 若A， B 坐標為(x1, y1), (x2, y2) 則xM =x,代入 y2=4p(x+p),AB± CD/. CD 方程為 y=-x2-4px-4p2=0,設(shè) C(*,y3),D(x4,y4)N(2pk2, -2pk)則 G 點坐標(x,y)為y2=p2(2)=p(x-2p)+k2-2)=p 2(x=p(k2+) > p - 2=2p,而yCR在方程中都已體現(xiàn)，1軌跡方程為y2=p(x-2

7、p)為頂點(2p,0)開口向右的拋物線。說明：消參一般應(yīng)分別給出 x,y的范圍，而二題中變量的范圍已體現(xiàn)在方程之中。在某些特殊情況，消參之 后給出x,y的范圍也不能說明原曲線的軌跡，這時應(yīng)用語言作補充說明。如方程，是0C 0,個圓，但消參之后得 x2+y2=1(|x| < 1, |y|卻無侏說明這一點。在線測試選擇題1 .曲線的參數(shù)方程為（4為參數(shù)），則方程所表示的曲線為（）1"A、射線 B、線段 一 C雙曲線的一支D、拋物線（0為參數(shù)，且 0W。2兀）所表示的曲線是B、雙曲線的一部分2 .參數(shù)方程（）.A、橢圓的一部分C、拋物線的一部分，且過 （-1,）點 'D、拋物

8、線的一部分，且過（1,3.已知直線l的參數(shù)方程為則直線l的傾斜角為（）D、A、B、C、4.拋物線（t為參數(shù)）的準線方程是（）A、x=3B、x=-1C y=0D、y=-25.彈道曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，”，vo, g為常數(shù)）當炮彈到達最高點時，炮彈飛行的水平距離是（C、D、 答案與解析解析： 1.- x=cos2(j)C 0, 1, y=1-cos2 4 =1-x,，x+y-1=0, xC 0, 1為一條線段。故本題應(yīng)選B。是不對的，因為只有當直（ 3） 本題認為直線l 的傾斜角是線的參數(shù)方程為：（其中t為參數(shù)），其中的a才是直線的傾斜角，消去參數(shù)t,化參數(shù)方程為普通方程后，再求直線l的傾斜

9、角是可以的。但直線 l的傾斜角。適合tan 0tan 0這里只要把兩個方程相除就可得:。故本題應(yīng)選Do(4)化參數(shù)方程為直角坐標方程，得(x-2)2=4(y+1),其準線方程為y=-1=-2。故本題應(yīng)選D。t=(5)由丫=丫01$訪00-,代入 X=V3tC0S a ,得知，當炮彈到達最高點時，C。X=VoCOSa .參數(shù)方程、極坐標疑難辨析參數(shù)方程是曲線與方程理論的發(fā)展，極坐標是坐標法的延伸參數(shù)方程的基本概念與極坐標系的理論是本章的重點參數(shù)方程與消去參數(shù)后所得的普通方程同解性的判定、極坐標方程與曲線的基本理論是本章的難點與疑點弄清這兩個難點，把握參數(shù)法變與不變矛盾的統(tǒng)一的思想是學(xué)好本章的關(guān)鍵

10、把握求軌跡方程的參數(shù)法的基本思路和消參數(shù)的基本方法，重視消參數(shù)前后X、 y 的取值范圍的變化是保證軌跡完備性、純粹性的關(guān)鍵.弄清一點的極坐標的多種表達式：（-1）np, 0 +n> , （ nC Z）和極坐標與直角坐標的互化是運用極坐標解決問題的基本功題1下列參數(shù)方程（t是參數(shù)）中方程y2=x表示同一曲線的是（）【疑難或錯解】參數(shù)方程與消去參數(shù)后所得的普通方程是否表示同一曲線的判定是一難點問題的實質(zhì)在于判定方程的同解性方程的同解性原是代數(shù)中的難點，加上參數(shù)方程中出現(xiàn)的函數(shù)不局限于代數(shù)函數(shù)，其困難就更大了.本題各個參數(shù)方程消去參數(shù)后所得普通方程都是y2=x,更增加迷惑性，因而誤選A、日C都

11、有.【剖析】 從A、B、C、D消去參數(shù)t后所得的普通方程都是 y2=x.但在A中y=t2>0,這與y2=x中y的允 許值范圍yCR不一致，故A應(yīng)排除.在B中，x=sin2tx 0 , 1與y=sint C -1 , 1與方程y2=x中的x, y取值范圍不一致，故B 也應(yīng)排除中的xC 0,+8）, ye R完全相同，所以D中參數(shù)方程與y2=xD【點評】參數(shù)方程與消去參數(shù)后所得普通方程是否同解的判定，涉及函數(shù)定義域與值域的研究而無通法可循， 只能根據(jù)參數(shù)方程通方程F（x， y）=0 中 x， y 的允許值范圍（即方程F（x， y）=0 的定義域）是否一致來判斷僅根據(jù)消去參數(shù)后所得的普通方程F

12、（x， y）=0 的外形來判定，常易失誤表示的曲線是（）A.圓 B.半圓C.四分之一圓 D.以上都不對消去0,彳導(dǎo)x2+y2=i,未分析x, y的取值范圍，即斷言表示的A時t不存在，所以消去t后方程x2+y2=i中xn ,即在圓x2+y2=1（ -1 ， 0） 所以此參數(shù)方程表示的曲線為單位圓x2+y2=1 上除去一點（ -1 ， 0） 在普通方程x2+y2=1中應(yīng)注明xC （-1, 1.應(yīng)選D.為參數(shù)）交于A、 B 兩點，求弦長|AB| 【疑難或錯解】以直線的參數(shù)方程代入雙曲線的普通方程（y-2）2-x2=i,有（-4t）2-（-1+3t）2=1,即7t 2+6t-2=0 方程的兩個根分別為

13、ti=PA, t2=PB,其中點P的坐標為（-1, 2）.方程的兩個根：錯解混淆了直線參數(shù)方程的標準型和非標準型中參數(shù)t的幾何意義.在標準型中，P（X0, yo）為直線上的定點，Q （x, y）為直線上任意一點，則 t表示有向線段 PQ的數(shù)量（規(guī)定直線向上、向右為正方向）.這一結(jié) 論不適用于非標準型因此運用直線參數(shù)方程求二次曲線的弦長時，應(yīng)先將直線的參數(shù)方程化為標準型，否則 將導(dǎo)致錯誤(y-2)2-x2=i.將雙曲線方程化為普通方程:方程的兩個根分別為 ti=PA, t2=PB,設(shè) A、 B 兩點的坐標分別為（x1， y1）、（x2， y2）故Xi-x2=a(ti-t2), yi-y2=b(t

14、i-t2), . (xi-X2)2+(yi-y2)2=(a2+b2)(ti-t2)2.利用這一結(jié)果也可求|AB| 之長，結(jié)果與正解同所以此曲線為以為端點的線段。消去參數(shù)過程中不分析x， y 的取值范圍，導(dǎo)致軌跡純粹性受破壞【剖析】錯解僅考慮abw。的情況，而忽視ab=0的情形，因而解答不完整.ab=0時，有a=0, biawQb=0； a=0， b=0 三種情況，應(yīng)逐一進行討論【正確】當abw。時，如上解有ab=0 時，有下列三種情形：此時，曲線為y軸(含原點)(1) a=0, bwo時，原方程為(2) awQ b=O,原方程為-1 |x| >|a|,即x刁a|或xv|a| .消去t,得

15、普通方程為y=O, x (-00, -|a| U |a| , +8).此時曲線為x軸上 的兩條射線，端點分別為(|a| , 0)指向正半軸；(-|a| , 0)指向負半軸.【點評】消去參數(shù)過程中不注意方程中x, y的取值范圍，對任意常數(shù) a, b的可能情況不分別討論是導(dǎo)致失誤的主要原因.t 為參數(shù)）問l 1 與 12 是否表示同一曲線為什么l1：未對x, y的取值范圍進行分析，根據(jù)兩曲線的普通方程，即斷言11和12表示同一直線，焉能不失誤.【剖析】在曲線1i的參數(shù)方程中，x=1+cos2 0 =2coSC 0, 2,消去參數(shù)。所得的普通方程 2x-y+1=0中xC 0, 2,所以曲線11為以（

16、0, 1）與（2, 5）為端點的線段.只l 2，所以l1、 l 2不是同一條曲線【點評】 在曲線11消去參數(shù)時，未分析 x的取值范圍，破壞了軌跡的純粹性，是導(dǎo)致失誤的主要原因.A 20°B 70°C 110 D 160而誤選（A）還有將原方程化為上述疑難的根源在于對直線參數(shù)方程標準型概念模糊所致在直線參數(shù)方程的標準型：D）而無法作出判斷.sin加0,故當a<0, b>0,且a2+b2=1時，才是標準型.等都不是直線參數(shù)方程的標準型，由此推出的直線的傾斜角都是錯的。欲將其化為標準型，應(yīng)將 x=tsin20 + 3 化為 x=3+(-t)sin(-20 )=3+(-

17、t)cos(90 +20°) 即 x=3+(-t)cos110 ,° y=(-t)sin(90 +20° )=(-t)sin110 .這才是此直線參數(shù)方程的標準型，此直線傾斜角為110°，應(yīng)選C傾斜率為110°，無須化為標準型另外結(jié)合直線的圖像，過點(3， 0)、(3+sin20 °， -cos20 °)。所以直線的傾斜角為鈍角，排除 A、B,又由cos20°>sin20 ；可知傾斜角v 160。，排除D,而選C.誠如華羅庚所說：不可得義忘形”，形義結(jié)合，?？煽焖佾@解。B 兩點，試求|PA|+|PB| 之值直

18、線 l 的參數(shù)方程為代入橢圓方程，得方程的兩個根分別為t1 =PA， t2=PBl| + |t 2|=t 1-t2|X 0| < 5的情況作- ti=PA>0, t2=PB<0.|PA|+|PB|=|t【剖析】 錯解對P(X0, 0)的不同位置未加分析，貿(mào)然畫圖，把點P畫在橢圓內(nèi)部,解答，忽視了點 P在橢圓上或外的情況，可見錯解是不完整的.【正確】當點P(xo, 0)在橢圓內(nèi)部時，|xo| <5,此時，上時，|x o|=5 ,方程為當點P(X0, 0)在橢圓外時，|X0| >5, tlt2>0,即tl、t2同號，【點評】當問題中出現(xiàn)任意常數(shù)(如這里的X0)時

19、，應(yīng)考慮各種可能，逐個進行分析討論，否則可能犯以偏概全或漏解的錯誤.直線及圓的參數(shù)方程t 的理解，非標準參數(shù)教學(xué)重點和難點: 直線參數(shù)方程及圓的參數(shù)方程的基本形式，對直線標準參數(shù)方程中參數(shù) 方程如何化為標準方程并求出傾角，并應(yīng)用直線參數(shù)方程解決有關(guān)問題。例題分析:例 1 下列各式中，哪一個是直線的三角式方程，試述理由，若是點角式參數(shù)方程時，寫出始點和傾角，若不是，化為點角式參數(shù)方程。1）t 為參數(shù)）；（2） t 為參數(shù)） ； （ 3）t 為參數(shù)）解 :（ 1 ）始點（-2， 3），傾角為是點角式參數(shù)方程。2）不是點角式參數(shù)方程，不滿為點角式參數(shù)方程的必要條件，即a2+b2=1(3)（t為參數(shù)）

20、不是點角式參數(shù)方程，令t'=-t ,得但是形如t 為參數(shù)）的可化為參數(shù)方程的標準式即t 為參數(shù)）直線始點為（-2, 2）,傾角為例2.寫出過點A （1, -2）,傾角為45°的直線11的點角式參數(shù)方程，若 11與l2：x+2y-4=0相交于B1）求 |AB| ；（ 2）求點B 的坐標。解 :設(shè)l1 的參數(shù)方程為（I） （t為參數(shù)） 把（I）代入12方程,1+t+2(-2+t)-4=0解出t=(II),|AB|=|t-0|=把（II）代入（I）彳#:B(小結(jié):從此例可看出應(yīng)用三角式參數(shù)方程求距離很簡捷。例3.求橢圓=1中斜率為2的平行弦中點的軌跡。解：(1)用普通方程解決，設(shè)弦

21、中點P(xo, yo),弦的兩端點 A(xi, yi), B(x2, y2)由已知得(i)-(2)：=0，(6)將（5）代入（6）,2=, .X0+3yo=0,軌跡為含在橢圓內(nèi)的一條線段。法（2）參數(shù)方程解題設(shè)弦中點P（xo,yo）,弦的傾角為 a,平行弦的直線參數(shù)方程為：（t為參數(shù)）（1）將（1）代入 2x2+3y2-6=0 中，整理后得：（2cos2a +3sina ）t+2（2x0cos a +3ysin a ）O+23y02-6=0,tl+t2=P 為弦中點，：ti+t2=0,即 2xocos a+3ysin a =0 又 tg a =2,2xo+6yo=0,=1內(nèi)的一條線段。P點軌跡

22、是方程為x+3y=0在橢圓小結(jié):此例用普通方程及參數(shù)方程對比解決，體會參數(shù)t的幾何意義，其中tl+t2=0對點角式方程而言具有普遍的意義，常用于解決弦中點問題。例4.設(shè)M, N是拋物線y2=2px(p>0)的對稱軸上兩點，且它們關(guān)于頂點O對稱，過M, N作兩條平行線，分別交拋物線于 Pi, P2, Qi, Q2,求證:|MP i| |MP2|二|NQ i| |NQ 2|證明：由已知可設(shè) M(a,0), N(-a, 0)(a>0)則直線 MPi, NQi的參數(shù)方程為：(1)和(2)其中t是參數(shù)，a是傾斜角。把(1)(2)分別彳入y2=2px中，由韋達定理可得：|MP i| |MP2|

23、=|NQ i| |NQ2|=,|MP i| |MP 2|=|NQ i| |NQ2|評述:此例中應(yīng)用了點角式參數(shù)方程中t的幾何意義，即|t i|,|t 2|為相應(yīng)點到定點 M的距離，據(jù)此證明了關(guān)于線段的等式問題。例5.橢圓長軸|AiA2|=6 ,焦距|FiF2|=4 ,過橢圓焦點 Fi引直線交橢圓于 若|MN|等于短軸時，求 a。解：.a=3, c=2,b=1, Fi(-2,0), .橢圓方程+y2=1M, N 兩點，設(shè)/ F2FiM=a , aC 0,才，.(1)( t 為參數(shù))法(1)設(shè)MN所在直線參數(shù)方程為將代入+y2=1 得:(1+8sin2 a )2-4tcos -1=0t1+t2=t

24、i t2=,2b=2=22,sin2 a = |t 1-t2| 2 =氏0,力,.二 sin a =Tto(法二)設(shè) MN 方程:y=k(x+2)x1+x2 =,X1 X2 =(2)<i>|MN|=|X 1-X2|<I> 又 |x 1-x2| 2 = (xi+x2)2-4xix2（下略）將,代入（3）,將代入（I）解得:k2=另；<ii> .1 e=,M(xi,yi), N(x2,y2)由第二定義：|MF 2|=ex 2+a,|MF i |=ex i+a2=|MN|=e(x i+X2)+2a=(X1 +X2)+6,+6,k2=（下略）。評述利用直線參數(shù)方程，

25、常常解決弦長的問題，對比普通方程的弦長公式可知，形式上要簡捷，運算上也將更 加簡化，減少運算的出錯可能。例 6 過 M(-1,0) 的直線 l 交雙曲線x2-y2=10 于 A， B 兩點，且|MA|=3|MB| ，求直線l 的方程。分析：|MA|=3|MB|,若設(shè)普通方程，則兩線段間的上述關(guān)系表述很繁瑣，條件不利于應(yīng)用。設(shè)直線參數(shù)方程點角式，直接利用參數(shù)t 的幾何意義表達|MA|=3|MB| ，可以很方便的代入式子中去應(yīng)用。(t為參數(shù))解 :設(shè)直線 MA 的參數(shù)方程為(-1+tcos (2-t2sin2 a-10=0(cos2a-sin2a )2-2tcos -9=0, 有 ti+t2=t1

26、12=又 |MA|=3|MB|ti = ± 32<>當 ti = ± 32 時，4t2=t2=3解得:cos2.2 sin a =,tg a =±l: y= ±(x+1)(x+1)<ii> 當t1 =3t2 時，同理可求l:y=本周小結(jié): 直線參數(shù)方程點角式問題，應(yīng)注重從下面幾點講解。<1>會判斷方程是否為點角式參數(shù)方程；<2>若參數(shù)方程為會化為點角式，并會求出傾角，一定要注意傾角的范圍。<3>會應(yīng)用它解決弦長問題，弦的中點線分弦成定比問題，點在直線上位置等常見問題。參考練習(xí)1 直 :110&#

27、176;D、 160t 為參數(shù)） 的傾斜角是（）A、 20°B、 70°C、2直t 是參數(shù)）與圓（a為參數(shù)）相交所得弦長為（A、(3-)B、(3+)C、D、3.圓x2+y2=8內(nèi)有一點P0(-1,2), AB為過P0且傾角為a的弦(1)當 a =線A'B的方程。Ti,求|AB| ; (2)當弦A'B'被點Po平分時，寫出直參考答案3解:設(shè)直線AB方程為：(1)(t為參數(shù))把代入x2+y2=8,整理得：t2-2(cos -2sin a-)3=0(2).直線與圓相交，(2)有實根，則由韋達定理：ti+t2=2(cos o-sin a),itt2=-3,當

28、a =冗時,|AB|2=|t 1-t2| 2 = (t1+t2)2-4tt2 = 2(COSTt-sinn舁4 X (-3)=30(2)弦A'B'被點Po平分cos a2sin a )=0tg a =A'B'方程為:y-2=(x+1),即 x-2y+5=0在線測試選擇題1.直線C、110 ° 'D、160（t為參數(shù)）的傾斜角是（）' A、20°' B、702.曲線的參數(shù)方程為（0<t<5）,則曲線是（）A、線段B、雙曲線的一支C、圓弧D、射線3 .橢圓的兩個焦點坐標是（）-A、（-3,5）, （-3,-3）

29、'B、（3,3）,（3,-5） 口C、（1,1）,（-7,1）'D、（7,-1）,（-1,-1）4 .下列參數(shù)方程（t為參數(shù)）與普通方程X2-y=0表示同一曲線的方程是（）B、C、D、5曲線的參數(shù)方程是（t是參數(shù)，tw0）,它的普通方程是（）y=y=A、(X-1)2(y-1)=1B、y=+1答案與解析C、D、答案：1、C 2、A 3、B 4、D 5、B解析： 1 本題考查三角變換及直線的參數(shù)方程。解：由直線方程知此直線過定點（3， 0），那么它的斜率k=-ctg20=tg（90° +20° ）=tg110°。因此直線的傾斜角為110°。故

30、應(yīng)選C。2 本小題考查化參數(shù)方程為普通方程的方法，及解不等式的知識。解：消去參數(shù)t,得x-3y-5=0。因為0<t<5,所以20x077, -10yW24。因此是一條線段，故選 A3本小題考查參數(shù)方程和橢圓方程的知識，以及坐標軸平移。解：原方程消參得=1，是中心為（3， -1），焦點在x=3 這條直線上的橢圓，c=4,：焦點坐標為（3, 3）及（3, -5）,所以選B4本小題考查參數(shù)方程和三角函數(shù)式的恒等變形解：選項A中x> 0,與x2-y=0中x的取值范圍不符；B中，-1<x< 1 ,與x2-y=0中的x范圍不符;y=C 中，=ctg2t=成x2-y=0； D 中， y=tg2t=x2,即 x2-y=0,故選 Do5本題考查參數(shù)方程的知識。解：由參數(shù)方程得消去t,得y=1-參數(shù)方程、極坐標知識小結(jié)=1-y，、求軌跡的參數(shù)方程(1)對于曲線的參數(shù)方程應(yīng)注意以下兩點：一是參數(shù)方程中參數(shù)的變化范圍是有限制的；二是給出一個t,解出唯一對應(yīng)的x, y 的值，因而得出唯一的對應(yīng)點。( 2)可供選擇的參數(shù)較多，如角度、時間、點的坐標、位移、直線斜率等。二、普通方程與參數(shù)方程的互化1 注意方程等價性在曲線的普通方程與參數(shù)方程的互化中應(yīng)注意方程的等價性通過參數(shù)的取值范圍推出x、 y 的取