利用軸對(duì)稱(chēng)求最短距離問(wèn)題

1、利用軸對(duì)稱(chēng)求最短距離問(wèn)題基此題引入:如圖1,要在公路道a上修建一個(gè)加油站，有A,B兩人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使兩人到加油站的總路程最短？你可以在a上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ BA思路分析：如圖2,我們可以把公路 a近似看成一條直線，問(wèn)題就是要在 a上 找一點(diǎn)M,使AM與 BM的和最小。設(shè)A'是A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，本問(wèn)題也就是要使 A M與 BM的和最小。在連接 A B的線中，線段 A B最短。因此，線段 A B與直線a的 交點(diǎn)C的位置即為所求。如圖3，為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，我們不妨在直線 a上另外任取一點(diǎn)N,連接 AN BN A No因?yàn)橹本€a是A，A&#

2、39;的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn) M,N在a上，所以AM= A M,AN= A N AM+BM= A M+BM= A B在厶A BN中, A Bv A N+BN AM+BMAN+BN即AM+BI最小。點(diǎn)評(píng)：經(jīng)過(guò)復(fù)習(xí)學(xué)生恍然大悟、面露微笑，不一會(huì)不少學(xué)生就利用軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)將上一道中考題解決了。思路如下：BO 9 定值，二 PBC的周長(zhǎng)最小，就是PB+ PC最小.由題意可知，點(diǎn) C關(guān)于直線DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)A,顯然當(dāng)P、A、B三 點(diǎn)共線時(shí) P科 PA 最小.此時(shí) DP= DE PB+ PA= AB.由/ ADFZ FAE / DFA=Z ACB=90°，得厶 DAFA ABC. EF/ BC 得 AE=

3、BE=AB= 15，EF=-.二 AF : BO AD：2 2 2AB,即卩 6 : 9= AD： 15.二 AD= 10. Rt ADF中，AD= 10，AF= 6，二 DF= 8.二 DE= DF + FE= 8+ 9 =空.當(dāng)x =竺時(shí)， PBC的周長(zhǎng)最小，y值略。2 2 2數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)告訴我們：教師要充分關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī) 律，合理組織教學(xué)內(nèi)容，建立科學(xué)的訓(xùn)練系統(tǒng)。使學(xué)生不僅獲得數(shù)學(xué)根底知識(shí)、基 本技能，更要獲得數(shù)學(xué)思想和觀念，形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。同時(shí)每年的中考題 也千變?nèi)f化，為了提高學(xué)生的應(yīng)對(duì)能力，除了進(jìn)行專(zhuān)題訓(xùn)練外，還要多歸納多總結(jié)， 將一類(lèi)問(wèn)題集中呈現(xiàn)給學(xué)生

4、。、兩條直線間的對(duì)稱(chēng)題目1如圖，在曠野上，一個(gè)人騎馬從 A出發(fā)，他欲將馬引到河 a1飲水后再到a2飲水，然后返回A地，問(wèn)他應(yīng)該怎樣走才能使總路程最短。點(diǎn)評(píng)：這道題學(xué)生拿到時(shí)往往無(wú)從下手。但只要把握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)就能迎刃而解了。作法：過(guò)點(diǎn)A作a1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',作a2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，連接A A交a1、a2于B、C,連接BC.所經(jīng)過(guò)路線如圖5： A-B-C-A,所走的總路程為A AD題目2 如圖,在厶ABC中,AC二BC=2,/ACB=90 ,D是BC邊上的中點(diǎn)，E是AB邊 上的一動(dòng)點(diǎn)，那么EC+ED勺最小值是點(diǎn)評(píng)：此題只要把點(diǎn)C、D看成基此題中的A、E兩鎮(zhèn)，把線段AB看成燃?xì)夤艿繿,問(wèn)題就可以迎

5、刃而解了，此題只是改變了題目背景，所考察的知識(shí)點(diǎn)并沒(méi)有 改變。三、四邊形中的對(duì)稱(chēng)題目3 如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為8, M在DC上，且DM=2,N是AC上的動(dòng) 點(diǎn)，那么DN+MN的最小值為多少？點(diǎn)評(píng)：此題也是運(yùn)用到正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形這一特殊性質(zhì)，點(diǎn)D關(guān)于直線AC的 對(duì)稱(chēng)點(diǎn)正好是點(diǎn)B,最小值為MB= 10C四、圓中的對(duì)稱(chēng)題目4：如圖，點(diǎn) A是。O上的一個(gè)六等分點(diǎn)，點(diǎn) B是弧AN的中點(diǎn), 點(diǎn)P是半徑ON上的動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)。0的半徑長(zhǎng)為1,求AP+BP勺最小值。點(diǎn)評(píng)：這道題也運(yùn)用了圓的對(duì)稱(chēng)性這一特殊性質(zhì)。點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'在圓上，AB1可得交 ON于點(diǎn) p，由/AON= 60° ,

6、/ B 0N= 30°,/ AOB = 90。，半徑長(zhǎng)為ABZ = 2。當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)p時(shí)，此時(shí)AP+BP有最小值為2的對(duì)稱(chēng)E題目5如圖1是一個(gè)沒(méi)有上蓋的圓柱形食品盒，一只螞蟻在盒外外表的A處，它想吃到盒內(nèi)外表對(duì)側(cè)中點(diǎn) B處的食物，盒高h(yuǎn)= 10cm,底面圓的周長(zhǎng)為32cm, A距離下底面 3cm.請(qǐng)你幫小螞蟻算一算，為了吃到食物，它爬行的最短路程為cm.點(diǎn)評(píng)：如圖2,此題是一道立體圖形問(wèn)題需要轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題來(lái)解決，將圓柱 的側(cè)面展幵得矩形EFGH作出點(diǎn)B關(guān)于EH的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，作ACL GH于點(diǎn) C,連接A B' 在Rt A B ' C中，AC= 16, B

7、' C= 12,求得A B '二20,那么螞蟻爬行的最短路程為20cm。通過(guò)變式訓(xùn)練既解決了一類(lèi)問(wèn)題，又歸納出了最本質(zhì)的東西，以后學(xué)生再碰到 類(lèi)似問(wèn)題時(shí)學(xué)生就不會(huì)不知所措。同時(shí)變式訓(xùn)練培養(yǎng)了學(xué)生思維的積極性和深刻性， 開(kāi)展了學(xué)生的應(yīng)變能力。綜上所述，引導(dǎo)學(xué)生在熟練掌握書(shū)本例題、習(xí)題的根底上，進(jìn)行科學(xué)的變式訓(xùn)練，對(duì)穩(wěn)固根底、提高能力有著至關(guān)重要的作用。更重要的是，變式訓(xùn)練能培養(yǎng)和 開(kāi)展學(xué)生的求異思維、發(fā)散思維、逆向思維，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生全方位、多角度思考問(wèn) 題的能力，有助于提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。題目6長(zhǎng)方體問(wèn)題如圖，一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的外表爬到對(duì)角

8、頂點(diǎn) Ci處三條棱長(zhǎng)如下圖，問(wèn)怎樣走路線最短？最短路線長(zhǎng)為 多少？析：展幵圖如下圖， 25 、29 . 37路線1即為所求。長(zhǎng)、寬、 高中，較 短的兩條 邊的和作為一條直角邊，最長(zhǎng)的邊作為另一條直角邊,斜邊長(zhǎng)即為最短路線長(zhǎng)由學(xué)生引申總結(jié)以下1 4:1、：如圖，A、B兩點(diǎn)在直線I的同側(cè)，點(diǎn)A與A關(guān)于直線I對(duì)稱(chēng)，連結(jié)AB交I 于P點(diǎn)，假設(shè)AB=a，( 1)求AP+PB(2)假設(shè)點(diǎn)M是直線I上異于P點(diǎn)的任意一點(diǎn)， 求證：AM MB AP PB.2、：A、B兩點(diǎn)在直線I的同側(cè)，試分別畫(huà)出符合條件的點(diǎn) M(1) 在I上求作一點(diǎn) M,使得AM BM最 B ??；A .(2) 在I上求作一點(diǎn) M,使得AM B

9、M最 大；(3) 在I上求作一點(diǎn) M,使得AM+BMft小。DF丄對(duì)的兩3、如圖，AD為/BAC的平分線，DEIAB于E,AC于F,那么點(diǎn)E、F是否關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)？假設(shè) 稱(chēng)，請(qǐng)說(shuō)明理由。4、：如圖，點(diǎn)"P2分別是P點(diǎn)關(guān)于/ ABC邊BA BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接p1 p2，分別交BA、BC邊于E、D點(diǎn)，假設(shè)pe2=m(1) 求厶PDE的周長(zhǎng)；(2) 假設(shè)M是BA邊上異于E的一點(diǎn)，N是BC邊上異于D的一點(diǎn)，求證： PMN的周長(zhǎng)4 PDE的周長(zhǎng)軸對(duì)稱(chēng)在此題中的主要作用是將線段在保證長(zhǎng)度不變的情況下改變位置，要注意體會(huì)軸對(duì)稱(chēng)在這方面的應(yīng)用。以此作為模型我們可以解決以下求最小值的問(wèn)題。5. 如圖，菱形ABCD中，AB=2 / BAD=60 , E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么 PE+PB的最小值是。分析：首先分解此圖