環(huán)境水利學(xué)第3章 隨流擴(kuò)散與紊動擴(kuò)散 (4)

1、第一節(jié)第一節(jié) 隨流擴(kuò)散方程隨流擴(kuò)散方程第三章第三章 隨流擴(kuò)散與紊動擴(kuò)散隨流擴(kuò)散與紊動擴(kuò)散uuu vvv www 隨流擴(kuò)散：由于時均流速使污染物質(zhì)發(fā)生輸移的現(xiàn)象隨流擴(kuò)散：由于時均流速使污染物質(zhì)發(fā)生輸移的現(xiàn)象紊動擴(kuò)散：由于脈動流速使污染物質(zhì)發(fā)生輸移紊動擴(kuò)散：由于脈動流速使污染物質(zhì)發(fā)生輸移對層流對層流: : u、 v、w為零為零x，uy，vz，w設(shè)流體質(zhì)點(diǎn)具有瞬時流速矢量設(shè)流體質(zhì)點(diǎn)具有瞬時流速矢量 在在x、y、z直角坐標(biāo)上的分直角坐標(biāo)上的分量分別為量分別為u、v、w： v圖圖 直角坐標(biāo)系下的瞬時流速分量直角坐標(biāo)系下的瞬時流速分量1.1.一維隨流擴(kuò)散方程一維隨流擴(kuò)散方程 設(shè)設(shè)v=w=0v=w=0，只有

2、，只有u u分量（沿分量（沿x x軸）軸） lFickFick定律：定律：xcDqf l污染物隨流輸移的通量：污染物隨流輸移的通量：ucqs l在隨流作用和分子擴(kuò)散作用下，單位時間內(nèi)通過直角坐標(biāo)在隨流作用和分子擴(kuò)散作用下，單位時間內(nèi)通過直角坐標(biāo)系系yzyz平面上單位面積的示蹤物質(zhì)質(zhì)量：平面上單位面積的示蹤物質(zhì)質(zhì)量： xcDucq 第一節(jié)第一節(jié) 隨流擴(kuò)散方程隨流擴(kuò)散方程xqfqs圖圖 隨流和分子擴(kuò)散示意圖隨流和分子擴(kuò)散示意圖xcDucq 對隨流，式中：對隨流，式中：質(zhì)量守恒式：質(zhì)量守恒式： 22)(xcDucxtc 22xcDxcutc 根據(jù)不可壓縮流體的一維連續(xù)性方程根據(jù)不可壓縮流體的一維連續(xù)

3、性方程 有有：0 xu一維隨流擴(kuò)散方程一維隨流擴(kuò)散方程0 tcxq（3-1-1） 為了求得在一定的初始條件和邊界條件下該方程的解析解為了求得在一定的初始條件和邊界條件下該方程的解析解, ,一般都補(bǔ)充假定一般都補(bǔ)充假定u u/ /t t =0=0，亦即認(rèn)為，亦即認(rèn)為u u也不隨也不隨t t 而變。而變。圖圖 一維輸移的控制體示意一維輸移的控制體示意第一節(jié)第一節(jié) 隨流擴(kuò)散方程隨流擴(kuò)散方程用用直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)表示，有表示，有（3-1-2b） )()(222222zcycxcDzcycxcutc 對三維情形，有通量：對三維情形，有通量：將之代入質(zhì)量守恒式：將之代入質(zhì)量守恒式： 由水流連續(xù)方程由水流連續(xù)

4、方程 ，可得，可得: :cDcq qtc （3-1-2a） cDctc2 0 隨流擴(kuò)散方程與分子擴(kuò)散方程不同點(diǎn)是多了一些隨流項(xiàng)，隨流擴(kuò)散方程與分子擴(kuò)散方程不同點(diǎn)是多了一些隨流項(xiàng)，共同點(diǎn)是兩者都是質(zhì)量守恒定律在擴(kuò)散問題中的體現(xiàn)。共同點(diǎn)是兩者都是質(zhì)量守恒定律在擴(kuò)散問題中的體現(xiàn)。第一節(jié)第一節(jié) 隨流擴(kuò)散方程隨流擴(kuò)散方程（3-1-2c） 用用圓柱坐標(biāo)圓柱坐標(biāo)（r，q q， z）表示，有）表示，有式中：式中：ur 、 uq q和和us分別是流速在分別是流速在r、q q和和z方向上的分量。方向上的分量。1)(12222xccrrcrrrDzccrrctczr q q q q q q第一節(jié)第一節(jié) 隨流擴(kuò)散方程

5、隨流擴(kuò)散方程圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：圖圖 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系zzryrx q qq qsincos式中：式中：r、z分別為徑向距離、方位角、高度。分別為徑向距離、方位角、高度。第二節(jié)第二節(jié) 隨流擴(kuò)散方程的解析解隨流擴(kuò)散方程的解析解 用用解析法解析法求解三維隨流擴(kuò)散方程中濃度函數(shù)求解三維隨流擴(kuò)散方程中濃度函數(shù)c(x ,y ,z ,t )在在數(shù)學(xué)上是很困難的，數(shù)學(xué)上是很困難的， 一般只對一般只對一維隨流擴(kuò)散方程一維隨流擴(kuò)散方程，且在邊界，且在邊界條件和初始條件都比較簡單的情況下才有可能。條件和初始條件都比較簡單的情況下才有可能。 嚴(yán)格說來，由于水中污染物的存在對流動會

6、產(chǎn)生影響，嚴(yán)格說來，由于水中污染物的存在對流動會產(chǎn)生影響，例如熱污染、海水與河水混摻等，所以當(dāng)求解隨流擴(kuò)散方程例如熱污染、海水與河水混摻等，所以當(dāng)求解隨流擴(kuò)散方程（包括將要介紹的隨流紊動擴(kuò)散方程）時，（包括將要介紹的隨流紊動擴(kuò)散方程）時， 應(yīng)將它與應(yīng)將它與流體運(yùn)流體運(yùn)動基本方程組動基本方程組聯(lián)立求解包括流速和濃度等未知函數(shù)。聯(lián)立求解包括流速和濃度等未知函數(shù)。 在示蹤物質(zhì)的假定下，可以將流場和濃度場分開求解，在示蹤物質(zhì)的假定下，可以將流場和濃度場分開求解，即先求解流速，然后求解濃度。即先求解流速，然后求解濃度。 一、一維隨流擴(kuò)散的置換解法及瞬時源無界空間的解析解一、一維隨流擴(kuò)散的置換解法及瞬時源

7、無界空間的解析解 第二節(jié)第二節(jié) 隨流擴(kuò)散方程的解析解隨流擴(kuò)散方程的解析解一維隨流擴(kuò)散方程一維隨流擴(kuò)散方程: :令令=t，=x-ut，其中，其中u u為常數(shù)。采用為常數(shù)。采用微分連鎖規(guī)則微分連鎖規(guī)則, , 有有: :( 3-2-1 ) ( 3-2-1 ) ( 3-2-2 ) ( 3-2-2 ) xxx uttt22xcDxcutc 將將 寫作寫作t，便得：，便得：( 3-2-3 ) ( 3-2-3 ) 22 cDtc2222)()( xxx與一維分子擴(kuò)散方程相似與一維分子擴(kuò)散方程相似 如果站在速度為如果站在速度為 u 的動坐的動坐標(biāo)標(biāo) 上觀察，則一維隨流上觀察，則一維隨流擴(kuò)散問題變?yōu)樵陟o止水體擴(kuò)

8、散問題變?yōu)樵陟o止水體中的擴(kuò)散問題。中的擴(kuò)散問題。第二節(jié)第二節(jié) 隨流擴(kuò)散方程的解析解隨流擴(kuò)散方程的解析解在靜止水體中的擴(kuò)散解式中，以在靜止水體中的擴(kuò)散解式中，以(x-ut)置換置換x之后，如果之后，如果還滿足一維隨流擴(kuò)散問題給定的初始條件和邊界條件，還滿足一維隨流擴(kuò)散問題給定的初始條件和邊界條件，這就是問題的解這就是問題的解這種解法稱為這種解法稱為置換解法置換解法。x0u圖圖 一維隨流擴(kuò)散一維隨流擴(kuò)散將上兩式按將上兩式按=t、=x-ut 進(jìn)行變換之后，得進(jìn)行變換之后，得:( 3-2-4 ) ( 3-2-4 ) 和和( 3-2-5 ) ( 3-2-5 ) 和和( 3-2-6 ) ( 3-2-6 )

9、 ( 3-2-7 ) ( 3-2-7 ) )(2222ycxcDxcutc )(222222zcycxcDxcutc )(2222yccDtc )(222222zcyccDtc 第二節(jié)第二節(jié) 隨流擴(kuò)散方程的解析解隨流擴(kuò)散方程的解析解可以將置換解法應(yīng)用到可以將置換解法應(yīng)用到一維隨流二維一維隨流二維( (或三維或三維) )擴(kuò)散擴(kuò)散的某些問的某些問題中來。一維隨流二維和三維擴(kuò)散方程分別為題中來。一維隨流二維和三維擴(kuò)散方程分別為: :1 1、瞬時點(diǎn)源無界空間一維隨流擴(kuò)散、瞬時點(diǎn)源無界空間一維隨流擴(kuò)散與分子擴(kuò)散瞬時點(diǎn)源無界空間解式相應(yīng)，有解與分子擴(kuò)散瞬時點(diǎn)源無界空間解式相應(yīng)，有解: :可以驗(yàn)證，該解滿足

10、可以驗(yàn)證，該解滿足: 初始條件：初始條件：c( (x, 0) )= md d( (x) ) 邊界條件：邊界條件：c( (,t ) )=0， c( (, t ) )/ x=0( 3-2-8 )( 3-2-8 ) 4)(exp4),(2DtutxDtmtxc 第二節(jié)第二節(jié) 隨流擴(kuò)散方程的解析解隨流擴(kuò)散方程的解析解瞬時點(diǎn)源無界空間一維隨流擴(kuò)散瞬時點(diǎn)源無界空間一維隨流擴(kuò)散的解的解: :( 3-2-8 ) ( 3-2-8 ) DtutxDtmtxc4)(exp4),(2 圖圖3-1 3-1 瞬時點(diǎn)源一維隨流擴(kuò)散瞬時點(diǎn)源一維隨流擴(kuò)散第二節(jié)第二節(jié) 隨流擴(kuò)散方程的解析解隨流擴(kuò)散方程的解析解隨著時間的增加，正態(tài)

11、隨著時間的增加，正態(tài)曲線的峰值愈小，曲線的峰值愈小， 但離但離散程度愈大。散程度愈大。該式也是瞬時無限平該式也是瞬時無限平面源無界空間的一維面源無界空間的一維隨流擴(kuò)散問題的解。隨流擴(kuò)散問題的解。2 2、瞬時半無限長線源無界空間的一維隨流擴(kuò)散、瞬時半無限長線源無界空間的一維隨流擴(kuò)散與分子擴(kuò)散瞬時半無限長線源解式相應(yīng)，有解：與分子擴(kuò)散瞬時半無限長線源解式相應(yīng)，有解：它滿足瞬時半無限長線源無界空間的定解條件它滿足瞬時半無限長線源無界空間的定解條件 初始條件：當(dāng)初始條件：當(dāng)x0時，時，c(x, 0)= 0； 當(dāng)當(dāng)xx1時，時，c(x, 0)= 0； 當(dāng)當(dāng)|x| 0 , c(x，0)=0; 邊界條件：邊

12、界條件：c(0，t)= c0（常數(shù)），（常數(shù)），c(，t)=022xcDxcutc 一維對流擴(kuò)散方程：一維對流擴(kuò)散方程：若用置換法：若用置換法：0, )4(),(0 xDtutxerfcctxc 上式滿足初始條件，但不滿足邊界條件。上式滿足初始條件，但不滿足邊界條件。第二節(jié)第二節(jié) 隨流擴(kuò)散方程的解析解隨流擴(kuò)散方程的解析解圖圖 3-3 3-3 時間連續(xù)恒定點(diǎn)源一維隨流擴(kuò)散濃度與時間的關(guān)系曲線時間連續(xù)恒定點(diǎn)源一維隨流擴(kuò)散濃度與時間的關(guān)系曲線第二節(jié)第二節(jié) 隨流擴(kuò)散方程的解析解隨流擴(kuò)散方程的解析解通過拉普拉斯通過拉普拉斯(Laplace)變換方法求得解：變換方法求得解：)4()exp()4(2),(0

13、DtutxerfcDuxDtutxerfcctxc ( 3-2-19 )( 3-2-19 )四、一維隨流橫向擴(kuò)散的穩(wěn)態(tài)解（分層流）四、一維隨流橫向擴(kuò)散的穩(wěn)態(tài)解（分層流） 三維隨流擴(kuò)散方程：三維隨流擴(kuò)散方程：當(dāng)當(dāng)v = w = 0，并忽略在，并忽略在x方向和方向和y方向上的分子擴(kuò)散項(xiàng)，方向上的分子擴(kuò)散項(xiàng)，便得一維隨流橫向擴(kuò)散方程：便得一維隨流橫向擴(kuò)散方程： )()(222222zcycxcDzcycxcutc 22zcDxcutc ( 3-2-20 )( 3-2-20 )第二節(jié)第二節(jié) 隨流擴(kuò)散方程的解析解隨流擴(kuò)散方程的解析解l設(shè)各點(diǎn)的速度同為設(shè)各點(diǎn)的速度同為u（常量）（常量）l濃度的初始情形如圖

14、濃度的初始情形如圖3-43-4所示，所示，x軸上方的濃度為軸上方的濃度為0, 下方下方的濃度為的濃度為c0（常數(shù)）。（常數(shù)）。圖圖3-4 3-4 分層流分層流第二節(jié)第二節(jié) 隨流擴(kuò)散方程的解析解隨流擴(kuò)散方程的解析解邊界條件為邊界條件為: 當(dāng)當(dāng)x0時，時，c(x，)=0，c(x，-)=c0 當(dāng)當(dāng)z0時，時，c(0，z)=0 當(dāng)當(dāng)z2D/u），等濃度線沿），等濃度線沿x方向拉得很長。方向拉得很長。所以所以x方向的分子擴(kuò)散可以不計(jì)，變?yōu)橐痪S隨流二維橫向擴(kuò)散方向的分子擴(kuò)散可以不計(jì)，變?yōu)橐痪S隨流二維橫向擴(kuò)散的穩(wěn)態(tài)問題。的穩(wěn)態(tài)問題。Dt2第二節(jié)第二節(jié) 隨流擴(kuò)散方程的解析解隨流擴(kuò)散方程的解析解圖圖 3-2 3

15、-2 時間連續(xù)恒定點(diǎn)源一維隨流三維擴(kuò)散的等濃度線時間連續(xù)恒定點(diǎn)源一維隨流三維擴(kuò)散的等濃度線l將該問題設(shè)想為有一系列厚度為將該問題設(shè)想為有一系列厚度為 dx 的薄片，以速度的薄片，以速度u經(jīng)過與經(jīng)過與坐標(biāo)原點(diǎn)重合的源點(diǎn)；坐標(biāo)原點(diǎn)重合的源點(diǎn)；l經(jīng)過源點(diǎn)時，每一薄片接受的污染物質(zhì)量為經(jīng)過源點(diǎn)時，每一薄片接受的污染物質(zhì)量為 ，為每一為每一薄片通過源點(diǎn)的歷時，薄片通過源點(diǎn)的歷時，=x/u；l薄片在（薄片在（y-z ）平面上作橫向擴(kuò)散，也以速度平面上作橫向擴(kuò)散，也以速度u 沿沿x方向運(yùn)動。方向運(yùn)動。d d M圖圖3-5 3-5 簡化計(jì)算的運(yùn)動薄片分析簡化計(jì)算的運(yùn)動薄片分析第二節(jié)第二節(jié) 隨流擴(kuò)散方程的解析解

16、隨流擴(kuò)散方程的解析解根據(jù)二維擴(kuò)散的瞬時點(diǎn)源解根據(jù)二維擴(kuò)散的瞬時點(diǎn)源解，薄片中單位面積上的質(zhì)量為（即，薄片中單位面積上的質(zhì)量為（即污染濃度）：污染濃度）： 考慮到薄片的位置是由考慮到薄片的位置是由x=ut 給出，而且三維的濃度是薄片單位給出，而且三維的濃度是薄片單位面積上的質(zhì)量除以薄片厚度面積上的質(zhì)量除以薄片厚度d dx，故可得到本問題的解：，故可得到本問題的解：)44exp(4)44exp(42222tDztDyDDtuxMtDztDyDDtMzyzyzyzy d d d d )44exp(4),(22xDuzxDuyDDxMzyxczyzy ( 3-2-23 )( 3-2-23 )第二節(jié)第二

17、節(jié) 隨流擴(kuò)散方程的解析解隨流擴(kuò)散方程的解析解)44exp(4),(22xDuzxDuyDDutMzyxczyzy )44exp(4),(22xDuzxDuyDDxMzyxczyzy ( 3-2-23 )( 3-2-23 )因?yàn)橐驗(yàn)镈 D= =D Dx x= =D Dz z，并令，并令r r2 2= =y y2 2+ +z z2 2，式（，式（3-2-233-2-23）變?yōu)椋海┳優(yōu)椋? 3-2-24 )( 3-2-24 )4exp(4),(2DxurxDMzyxc 第二節(jié)第二節(jié) 隨流擴(kuò)散方程的解析解隨流擴(kuò)散方程的解析解六、時間連續(xù)無限長恒定線源無界空間一維隨流一六、時間連續(xù)無限長恒定線源無界空間一維隨流一維橫向擴(kuò)散的穩(wěn)態(tài)解維橫向擴(kuò)散的穩(wěn)態(tài)解4)(4exp422xDzuxDuyDDxmczyzyz d d d d 在在z軸上的無限長線源上取微分長度為軸上的無限長線源上取微分長度為來考慮所產(chǎn)生的二維來考慮所產(chǎn)生的二維濃度場濃度場dc(x，y)，根據(jù)式（，根據(jù)式（3-2-23）d d zmM第二節(jié)第二節(jié) 隨流擴(kuò)散方程的解析解隨流擴(kuò)散方程的解析解)44exp(4),(