高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-2學(xué)案：4.1 數(shù)系的擴(kuò)充及復(fù)數(shù)的引入 Word版含解析

1、§1數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入11數(shù)的概念的擴(kuò)展12復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1了解引入虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)集的擴(kuò)充過(guò)程2理解在數(shù)系的擴(kuò)充中由實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念(重點(diǎn))3掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件(易混點(diǎn))4理解復(fù)數(shù)的幾何表示(難點(diǎn))基礎(chǔ)·初探教材整理1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及分類閱讀教材P73部分，完成下列問(wèn)題1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)定義：形如abi的數(shù)叫作復(fù)數(shù)，其中a，bR，i叫作虛數(shù)單位a叫作復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫作復(fù)數(shù)的虛部表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即zabi.(2)復(fù)數(shù)集定義：復(fù)數(shù)的全體組成的集合叫作復(fù)數(shù)集表示：通常用大寫(xiě)字母C表示2復(fù)數(shù)

2、的分類及包含關(guān)系(1)復(fù)數(shù)abi，a，bR.(2)集合表示：圖4­1­1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若a，b為實(shí)數(shù)，則zabi為虛數(shù)()(2)若a為實(shí)數(shù)，則za一定不是虛數(shù)()(3)bi是純虛數(shù)()(4)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等()【答案】(1)×(2)(3)×(4)教材整理2復(fù)數(shù)的有關(guān)概念閱讀教材P74“1.2復(fù)數(shù)的有關(guān)概念”以下至P75“練習(xí)”以上部分，完成下列問(wèn)題1兩個(gè)復(fù)數(shù)相等abicdi當(dāng)且僅當(dāng)ac，且bd.2復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)；(2)復(fù)

3、數(shù)zabi(a，bR)復(fù)平面向量(a，b)3復(fù)數(shù)的模設(shè)復(fù)數(shù)zabi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是Z(a，b)，點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離|OZ|叫作復(fù)數(shù)z的?；蚪^對(duì)值，記作|z|，且|z|.如果(xy)ix1，則實(shí)數(shù)x，y的值分別為()Ax1，y1Bx0，y1Cx1，y0Dx0，y0【解析】(xy)ix1，x1，y1.【答案】A質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：_解惑：_疑問(wèn)2：_解惑：_疑問(wèn)3：_解惑：_小組合作型復(fù)數(shù)的概念與分類(1)若(x21)(x23x2)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值是()A1B1C±1D1或2(2)已知復(fù)數(shù)za(a21)i是實(shí)數(shù)，則

4、實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)(3)當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z(m22m)i為：實(shí)數(shù)？虛數(shù)？純虛數(shù)？【精彩點(diǎn)撥】依據(jù)復(fù)數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，列出方程(不等式)組求解【自主解答】(1)(x21)(x23x2)i是純虛數(shù)，由x210，得x±1，又由x23x20，得x2且x1，x1.(2)z是實(shí)數(shù)，a210，a±1.【答案】(1)B(2)±1(3)當(dāng)即m2時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)當(dāng)m22m0，且m0，即m0且m2時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)當(dāng)即m3時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)利用復(fù)數(shù)的分類求參數(shù)時(shí)，要先確定構(gòu)成實(shí)部、虛部的式子有意義的條件，再結(jié)合實(shí)部與虛部的取值求解要特別注意復(fù)數(shù)zabi(a，bR)為純虛數(shù)的充要條件是a0且

5、b0.再練一題1復(fù)數(shù)za2b2(a|a|)i(a，bR)為純虛數(shù)的充要條件是()A|a|b|Ba<0且abCa>0且abDa>0且a±b【解析】要使復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則a>0，a±b.故選D.【答案】D復(fù)數(shù)相等(1)下列命題：若abi0，則ab0；xyi22ixy2；若yR，且(y21)(y1)i0，則y1.其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A0B1 C2D3(2)已知x，yR，(x2y1)(x3y4)i105i，求x，y.【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件求解【自主解答】(1)命題中未明確a，b，x，y是否為實(shí)數(shù)，從而a，x不一定為復(fù)數(shù)的實(shí)部，b，y不一定是復(fù)

6、數(shù)的虛部，故命題錯(cuò)誤；命題中，yR，從而y21，(y1)是實(shí)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件得y1，故正確【答案】B(2)因?yàn)閤，yR，所以(x2y1)，(x3y4)是實(shí)數(shù)，所以由復(fù)數(shù)相等的條件得解得所以x3，y4.1復(fù)數(shù)z1abi，z2cdi，其中a，b，c，dR，則z1z2ac且bd.2復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)相等問(wèn)題最基本的也是最重要的思想方法轉(zhuǎn)化過(guò)程主要依據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件基本思路是：(1)等式兩邊整理為abi(a，bR)的形式；(2)由復(fù)數(shù)相等的充要條件可以得到由兩個(gè)實(shí)數(shù)等式所組成的方程組；(3)解方程組，求出相應(yīng)的參數(shù)再練一題2(1)(2016·重慶高二檢測(cè))若(xy)(2x3)

7、i(3xy)(x2y)i(其中x，y為實(shí)數(shù))，則x_，y_.(2)已知(2x8y)(x6y)i1413i，則xy_.【解析】(1)由復(fù)數(shù)相等的意義得所以(2)由復(fù)數(shù)相等的意義，得解得所以xy2.【答案】(1)11(2)2探究共研型復(fù)數(shù)的幾何意義探究1若向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i，向量2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i，如何求12對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)？【提示】因?yàn)橄蛄繉?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i，向量2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i，所以1(5，4)，2(5,4)，所以12(5，4)(5,4)(0,0)，所以12對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是0.探究2若復(fù)數(shù)(a1)(a1)i(aR)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P在第四象限，則a滿足什么條件？【提示】a滿足即1a1.(1)

8、已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部為1，且|z|2，則復(fù)數(shù)z的虛部是()A B.iC±iD±(2)求復(fù)數(shù)z168i及z2i的模，并比較它們模的大小【精彩點(diǎn)撥】(1)設(shè)出復(fù)數(shù)z的虛部，由模的公式建立方程求解(2)用求模的公式直接計(jì)算【自主解答】(1)設(shè)復(fù)數(shù)z的虛部為b，|z|2，實(shí)部為1，1b24，b±，選D.【答案】D(2)因?yàn)閦168i，z2i，所以|z1|10，|z2|.因?yàn)?0>，所以|z1|>|z2|.1復(fù)數(shù)集和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，每一個(gè)復(fù)數(shù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，只要在復(fù)平面內(nèi)找出這個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)所表示的點(diǎn)，就可以根據(jù)點(diǎn)的位置判斷復(fù)數(shù)實(shí)

9、部、虛部的取值2計(jì)算復(fù)數(shù)的模時(shí)，應(yīng)先找出復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，再利用復(fù)數(shù)模的公式進(jìn)行計(jì)算3兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小，但它們的?？梢员容^大小再練一題3(1)復(fù)數(shù)43i與25i分別表示向量與，則向量表示的復(fù)數(shù)是_(2)已知復(fù)數(shù)z3ai，且|z|<4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解析】(1)因?yàn)閺?fù)數(shù)43i與25i分別表示向量與，所以(4,3)，(2，5)，又(2，5)(4,3)(6，8)，所以向量表示的復(fù)數(shù)是68i.【答案】68i(2)z3ai(aR)，|z| ，由已知得<4，a2<7，a(， )構(gòu)建·體系1給出下列三個(gè)命題：若zC，則z20；2i1的虛部是2i；2i的實(shí)部是0.其中真命

10、題的個(gè)數(shù)為()A0 B1C2D3【解析】復(fù)數(shù)的平方不一定大于0，故錯(cuò)誤；2i1的虛部為2，故錯(cuò)誤；2i的實(shí)部是0，正確，故選B.【答案】B2已知復(fù)數(shù)z3i，則復(fù)數(shù)的模|z|等于()A5B8C6D【解析】|z|.【答案】D3下列命題正確的是_(填序號(hào))若x，yC，則xyi12i的充要條件是x1，y2；若實(shí)數(shù)a與ai對(duì)應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng)；實(shí)數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集【解析】由于x，y都是復(fù)數(shù)，故xyi不一定是代數(shù)形式，因此不符合兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，故是假命題當(dāng)a0時(shí)，ai0為實(shí)數(shù)，故為假命題由復(fù)數(shù)集的分類知，正確，是真命題【答案】4復(fù)數(shù)zx2(3x)i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)x

11、的取值范圍是_【解析】復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，解得x3.【答案】(3，)5已知復(fù)數(shù)z(m23m2)(m2m6)i，則當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67720023】(1)是實(shí)數(shù)；(2)是虛數(shù)；(3)是純虛數(shù)【解】z(m23m2)(m2m6)i.(1)令m2m60m3或m2，即m3或m2時(shí)，z為實(shí)數(shù)(2)令m2m60，解得m2且m3，所以m2且m3時(shí)，z是虛數(shù)(3)由解得m1，所以m1時(shí)，z是純虛數(shù)我還有這些不足：(1)_(2)_我的課下提升方案：(1)_(2)_學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十二)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1(2016·泰安高二檢測(cè))(2i)的虛部是(

12、)A2BC.D2【解析】(2i)2i，其虛部是.【答案】C2(2016·青島高二檢測(cè))在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zsin 2icos 2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【解析】sin 2>0，cos 2<0，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(sin 2，cos 2)在第四象限故選D.【答案】D3(2016·肇慶高二檢測(cè))若xii2y2i，x，yR，則復(fù)數(shù)xyi()A2iB2iC12iD12i【解析】由i21，得xii21xi，則由題意得1xiy2i，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得x2，y1，故xyi2i.【答案】B4已知復(fù)數(shù)z(a22a)(a2a2)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則

13、()Aa2或a1Ba2，且a1Ca0Da2或a0【解析】由題意，得a22a0，得a0或a2.故選D.【答案】D5如果復(fù)數(shù)z滿足條件z|z|2i，那么z()Ai B.iCiDi【解析】設(shè)zabi(a，bR)，由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得解得即zi.【答案】D二、填空題6設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z(m22m3)(m1)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m_.【解析】依題意有解得m3.【答案】37以3i的虛部為實(shí)部，以3i2i的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是_【解析】3i的虛部為3,3i2i3i的實(shí)部為3，所以所求的復(fù)數(shù)是33i.【答案】33i8復(fù)數(shù)zx1(y2)i(x，yR)，且|z|3，則點(diǎn)Z(x，y)的軌跡是_【解析】|z|3

14、，3，即(x1)2(y2)232.故點(diǎn)Z(x，y)的軌跡是以(1,2)為圓心，以3為半徑的圓【答案】以(1,2)為圓心，以3為半徑的圓三、解答題9已知mR，復(fù)數(shù)z(m22m3)i，當(dāng)m為何值時(shí)；(1)zR；(2)z是虛數(shù)；(3)z是純虛數(shù)；(4)z4i?【解】(1)zR，解得m3，當(dāng)m3時(shí)，zR.(2)z是虛數(shù)，即當(dāng)m1且m3時(shí)，z是虛數(shù)(3)z是純虛數(shù)，即當(dāng)m0或m2時(shí)，z是純虛數(shù)(4)z4i，即m1時(shí)，z4i.10已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，1對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為34i，2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2ai(aR)若1與2共線，求a的值【解】因?yàn)?對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為34i，2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2ai，所以1(3,4)，2(2a,1)因

15、為1與2共線，所以存在實(shí)數(shù)k使2k1，即(2a,1)k(3,4)(3k,4k)，所以所以即a的值為.能力提升1若復(fù)數(shù)zi是純虛數(shù)，則tan的值為()A7BC7D7或【解析】復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，sin 且cos ，cos .tan .tan7，故選A.【答案】A2已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量為(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，與實(shí)軸正向的夾角為120°，且復(fù)數(shù)z的模為2，則復(fù)數(shù)z為()A1iB2C(1, )D1i【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則x|z|·cos 120°2×1，y|z|·sin 120°2×，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1, )，z1i.【答案】D3復(fù)數(shù)z512i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為_(kāi)【解析】復(fù)數(shù)z512i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(5，12)，所以點(diǎn)Z與原點(diǎn)O的距離為|OZ|13.【答案】134若m為實(shí)數(shù)，z1(m