從數(shù)的二進(jìn)制談起

1、第十四講 從數(shù)的二進(jìn)制談起在即將進(jìn)入21世紀(jì)的今天，電子（數(shù)字）計(jì)算機(jī)內(nèi)部數(shù)的存貯和計(jì)算采用二進(jìn)制已是眾所周知的事了.據(jù)學(xué)者考證，中國(guó)在公元前2000多年的伏羲氏發(fā)明的八卦，即用和-兩種符號(hào)拼出來(lái)的。如果把看成1，把-看成0，那么上述八卦可以翻譯成二進(jìn)制數(shù)（列于下面）。但是人類歷史進(jìn)程表明，二進(jìn)制大約被人類冷落了近四千年（在此期間一直重視和使用十進(jìn)制），直到20世紀(jì)40年代，科學(xué)技術(shù)的整體水平（有了無(wú)線電通訊、雷達(dá)技術(shù)和真空管、繼電器等電子元器件）進(jìn)一步提高，再加上反法西斯戰(zhàn)爭(zhēng)需要發(fā)明原子彈（原子彈許多設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)不能事先在實(shí)驗(yàn)室測(cè)出，而必須靠理論計(jì)算，而計(jì)算量超過人類有史以來(lái)全部算術(shù)運(yùn)算），著名

2、數(shù)學(xué)家馮諾伊曼（J.von Neumann）和另一些年輕數(shù)學(xué)家發(fā)明制成了稱之為ENIAC的通用電子數(shù)字計(jì)算機(jī)（用18000支真空管，1500個(gè)繼電器，幾十萬(wàn)電阻電容，自重30噸，耗電200千瓦）.直至今日，電子計(jì)算機(jī)主要還是馮諾伊曼體系.告訴大家這一些歷史，主要說(shuō)明我們不能停留在為祖先最早發(fā)明了二進(jìn)制而自豪這一步，還要看到數(shù)學(xué)大有用武之地，但要與經(jīng)濟(jì)建設(shè)和科學(xué)技術(shù)廣泛結(jié)合才能起大的或巨大的（如電子計(jì)算機(jī)）作用.下面看二進(jìn)制本質(zhì)到底是什么？人類天生雙手十指.“搬著手指頭”計(jì)數(shù)，是每個(gè)人幼時(shí)必經(jīng)之路.十進(jìn)制數(shù)有兩大內(nèi)涵.一是有十個(gè)不同數(shù)符：0，1，29；二是“逢十進(jìn)一”的進(jìn)位法則，有個(gè)、十、百、千

3、等自右向左的數(shù)位.倘若人類雙手八指，也許地球上今日該流行八進(jìn)制了.所以二進(jìn)制也有兩大內(nèi)涵.一是有兩個(gè)不同數(shù)符：0，1；二是“逢二進(jìn)一”.其實(shí)，我們已見過非十進(jìn)制的事物，一年十二個(gè)月，十二進(jìn)制；一周七天，七進(jìn)制；一小時(shí)六十分，一分六十秒，六十進(jìn)制；一英尺等于十二英寸（電視機(jī)常說(shuō)20英寸，21英寸），十二進(jìn)制；一副三角尺含2塊，一雙鞋含2只，一雙襪子含2只，一雙筷子含2根，這些都可看成二進(jìn)制.一個(gè)十進(jìn)制數(shù)1993可表述為：19931000+900+90+3=1103+9102+910+3 a3103+a2102+a110+a0其中0ai9，而i是0到n中的一個(gè)整數(shù)。再回到二進(jìn)制.大家知道：數(shù)是計(jì)算

4、物體的個(gè)數(shù)而引進(jìn)的，0代表什么也沒有，有一個(gè)，記為“1”；再多一個(gè)，記為“10”（在十進(jìn)制下記為2）；比“10”再多一個(gè)，記為“11”.依次類推，我們很容易接受（或自己發(fā)明）二進(jìn)制下，從小到大的數(shù)列，不妨列表：為了不引起混淆，我們把二進(jìn)制數(shù)右下角標(biāo)一個(gè)2，如：（10）2=（2）10，或省略括號(hào)，省略十進(jìn)制標(biāo)記，略為：102=2，或（10）2=2，11112=15和十進(jìn)制對(duì)數(shù)位有一省略名字一樣，二進(jìn)制的數(shù)位也可稱呼：例如：199310245122561286481，寫成二進(jìn)制為：040201（88）10因而二進(jìn)制的數(shù)化為十進(jìn)制，只要讀出二進(jìn)制各數(shù)位累加即可，如N（bnbn-1bn-2b2b1b0

5、）2則有N=（bn2nbn-12n-1bn-22n-2+b222b121+b0）10難度大的是怎樣較快地把一個(gè)十進(jìn)制數(shù)化為二進(jìn)制數(shù).還以1993為例，前面的方法是先找出二進(jìn)制的高位數(shù)字，記熟了2的各種冪次（a的n次冪表示n個(gè)a相乘，記為an），找到不超過1993的最大的2的冪，是210=1024，得b10=1，再找不超過（1993-210）的最大的2的冪，是29=512，得b9=1，依次類推得b8，b7b2，b1，b0.這是由高位到低位逐漸推得的方法?，F(xiàn)在設(shè)法自低位到高位，先找b0.顯然，十進(jìn)制偶數(shù)，b0=0，十進(jìn)制奇數(shù)b0=1，所以b0是N除以2的余數(shù).再說(shuō)b1，因?yàn)镹=bn2nb222以后

6、的余數(shù)，余數(shù)為0，b1就為0；余數(shù)為1，b1就為1；這樣的想法可逐漸向高位推，得出一般性方法.還以1993為例，寫出豎式：N=1993，b0為19932的余數(shù)，(1993)10=(11111001001)2以后熟悉了這一算法，我們可很快地化十進(jìn)制數(shù)為二進(jìn)制數(shù)。例 如化（19）10，（101）10，（81）10為二進(jìn)制的豎式為：（19）10（10011）2；（101）10（1100101）2；（81）10（1010001）2順便說(shuō)一句，現(xiàn)在使用電子計(jì)算機(jī)，直接輸入十進(jìn)制數(shù)即可，因?yàn)闄C(jī)器內(nèi)部已專門編有（十）化（二）程序，可以自動(dòng)轉(zhuǎn)換.下面講一下二進(jìn)制數(shù)的加減乘除四則運(yùn)算：加法“口訣”特別簡(jiǎn)單，00

7、0，10011，11=10.表述成運(yùn)算時(shí)的豎式（用十進(jìn)制和二進(jìn)制比較）讀者不難體會(huì)豎式中進(jìn)位及累進(jìn)等與十進(jìn)制相似的規(guī)則.關(guān)鍵之處會(huì)“逢二進(jìn)一”.減法的關(guān)鍵在于夠減就減；不夠減時(shí)，向高位借，而“借一還二”.（高位借一，相當(dāng)于低的為二）.例如：1 不夠減，向高位借，不夠減； 不夠減，借1還1 能借，再向更高位借；第三個(gè)豎式和十進(jìn)制中1007的思想是一樣的。二進(jìn)制的乘法口訣只有三句，10=0，00=0，11=1.看豎式：二進(jìn)制除法是乘法逆運(yùn)算，除法也就是連減.看豎式：十進(jìn)制中： 二進(jìn)制中：又如，19938822余57，二進(jìn)制除法，在試找商時(shí)，較省力，要么0，要么1。二進(jìn)制數(shù)有被電子計(jì)算機(jī)采用的好處，

8、但人們有時(shí)還覺得它表達(dá)一個(gè)數(shù)時(shí)，數(shù)位太長(zhǎng)，如（1023）10，表成二進(jìn)制為十位：（1111111111）2，為讀寫和觀察方便，要縮短數(shù)位又便于機(jī)器使用，科學(xué)家們偏愛于八進(jìn)制和十六進(jìn)制.大家可以自己擴(kuò)充八進(jìn)制的數(shù)的概念和運(yùn)算：八進(jìn)制有0，1，27共八個(gè)數(shù)符，由低位向高位是“逢八進(jìn)一”，如：N=（cnc3c2c1c0）8cn8n+cn-18n-1+ c282+c18+c0其中0ci7，i取0，1，2n。十進(jìn)制化八進(jìn)制：（1993）10=（3711）8；（88）10=（130）8 （4041）8451248+120811993+88=2081加法關(guān)鍵在于“逢八進(jìn)一”。減法：2081-199388（4

9、041）8-（3711）8（130）8，減法關(guān)鍵在于不夠減時(shí)，“退一還八”乘法：八進(jìn)制乘法口訣表重新制定如下：八進(jìn)制乘法：（7535）8=7512+564+38+5=（3933）10這些口訣讀起來(lái)不順口，如讀成“七七得六一”，當(dāng)然是八進(jìn)制的六個(gè)8加上一個(gè)1.同樣做除法時(shí)，也挺費(fèi)神，看著“七七乘法表”做可省心些，并不是說(shuō)除法有什么難度，主要是腦中的十進(jìn)制“九九表”干擾了“七七表”的記憶。（7535）8（23）8（317）8現(xiàn)在再講十六進(jìn)制。大家自然會(huì)想到16個(gè)數(shù)符要設(shè)想一套簡(jiǎn)明的表達(dá)符號(hào)，國(guó)際上通用為0，1，2，8，9，A，B，C，D，E，F(xiàn).這里特別請(qǐng)大家記住六個(gè)字母：A，B，C，D，E，F(xiàn).

10、A代表10，（十六進(jìn)制中比9多一的數(shù)），同理B代表11，C代表12，D代表13，E代表14，F(xiàn)代表15.這樣：N=（dndn-1d2d1d0）16dn16n+dn-116n-1+d2162+d116+d0其中di取自0，19，A，B，C，D，E，F(xiàn).i可取0，1n。例如 N（20A）16=216210=（522）10（AB）16101611=（171）10如把十進(jìn)制直接化為十六進(jìn)制：十六進(jìn)制中的加法其關(guān)鍵在于“逢十六進(jìn)一”，減法的關(guān)鍵則在于“退一還十六”。（821）16=8162+216+1=8256+32+1=2081=1993+88注意：十六進(jìn)制的乘法和除法很費(fèi)神，要構(gòu)造“十六十六表”.利

11、用這表做乘法及除法：（10AD）16=163+1016+13=4096+16013=4269（F3）16=1516+3=24342692431037367（FD437）16=15164+13163+4162316+7=（1516+13）164）16+3）16+7=1037367當(dāng)然這十六進(jìn)制的乘除法是很不習(xí)慣的.下面談一下二進(jìn)制和八進(jìn)制、十六進(jìn)制之間的較密切的相互關(guān)系。把一個(gè)二進(jìn)制的數(shù)自右向左3位一組，立刻可以翻譯成八進(jìn)制數(shù).其間對(duì)應(yīng)規(guī)律為：同樣，把一個(gè)二進(jìn)制數(shù)自右向左4位一組，立刻可以翻譯為十六進(jìn)制數(shù).其間對(duì)應(yīng)規(guī)律為：如（1993）10（11111001001）2（011111001001）

12、2=（3711）8（011111001001）2=（7C9）16前面在十六進(jìn)制下很不順手的除法FD43710AD=F3可以重新用二進(jìn)制檢驗(yàn)：（FD437）16=（1111 1101 0100 0011 0111）2（10AD）16（10000 1010 1101）排成除法豎式：最后，關(guān)于三進(jìn)制數(shù)、五進(jìn)制數(shù)、七進(jìn)制數(shù)，以及一般的g進(jìn)制數(shù)，讀者一定可以自己推出一套記數(shù)、轉(zhuǎn)化及加減乘除的法則來(lái)。例如：（1993）10=（5545）7=（30433）5=（2201211）3等.只要看豎式：這樣，將一個(gè)七進(jìn)制的數(shù)化成三進(jìn)制數(shù)時(shí)，可以先將此數(shù)化成十進(jìn)制數(shù)作中介而求得，例如：（1046）7173476=34

13、3286=（377）10（1046）7=（111222）3最后介紹幾個(gè)問題.研究表明，要保存數(shù)碼最經(jīng)濟(jì)的進(jìn)位制是三進(jìn)制.可惜現(xiàn)在物理器件較成熟的還是支持兩種狀態(tài)的二進(jìn)制。不久前剛逝世的本世紀(jì)杰出的科普作家阿西莫夫（IsaacAsimov）曾喜悅地談到自己年輕時(shí)獨(dú)立解決了一個(gè)看似與二進(jìn)制無(wú)關(guān)的有趣問題.問題是這樣的：如何制造個(gè)數(shù)最少的一些單位砝碼，如1克、2克、3克、4克等，能稱出1克到1千克的任何整克數(shù)的物體？答案是：1克、2克、4克、8克、16克、32克、64克、128克、256克、512克，共十個(gè)砝碼.實(shí)際上這些砝碼一直可稱出1到1023克之間任何整克數(shù)的物體.這在我們學(xué)完二進(jìn)制數(shù)以后就不

14、難理解了.如：x=a9a8a7a6a5a4a3a2a1a0，每個(gè)ai或0或1表示2克砝碼或不用或用上.如把問題再簡(jiǎn)化一些，如只許用3個(gè)砝碼，就制成1克、2克、4克.可稱1、2、7克的任何整克數(shù)物體，或說(shuō)要稱1、2、7克之間任一物體，3個(gè)砝碼是最少的了。因?yàn)?克必然要的.2克，如不要，再造一個(gè)1克砝碼，這樣用二個(gè)1克砝碼，僅能稱1克、2克共2種物體，效率不高.所以造一個(gè)1克，一個(gè)2克，這樣可以稱1、2、3克三種物體了.下一個(gè)不必造3克的砝碼，而造了一個(gè)4克的砝碼，所以1克、2克、4克是最省個(gè)數(shù)的體系了.十個(gè)砝碼最省的推理也相似.在結(jié)束本講之時(shí)，希望讀者注重于理解各種進(jìn)制的思想，不必去死記硬背八進(jìn)

15、制乘法表、十六進(jìn)制乘法表.并請(qǐng)思考類似于十進(jìn)制的分?jǐn)?shù)、小數(shù)、循環(huán)小數(shù)等內(nèi)容在二進(jìn)制或八進(jìn)制等體系下，如何進(jìn)行？習(xí)題十四1.（518）10（ ）2（ ）8（ ）16=（ ）3=（ ）5（ ）72.（AF01）16=（ ）73.12481632641285161024 用二進(jìn)制計(jì)算后，能很快得到十進(jìn)制答案嗎？（提示：類比于990+9009991000-1）4.請(qǐng)用二進(jìn)制運(yùn)算、三進(jìn)制運(yùn)算實(shí)現(xiàn)下面式子：5.用豎式做十六進(jìn)制除法：（FD 437）16（F3）166.請(qǐng)你造一個(gè)三進(jìn)制乘法表，造一個(gè)七進(jìn)制乘法表。7.一個(gè)g進(jìn)制的數(shù)，N=a5g5a4g4a3g3a2g2a1ga0.要計(jì)算它的十進(jìn)制數(shù)值時(shí)，有一

16、個(gè)簡(jiǎn)便算法：N（a5ga4）g+a3） g+a2）ga1）g+a0.這樣共進(jìn)行5次乘法5次加法，如死板地按a5g5+a1 ga0，需進(jìn)行（5+4+32+1）15次乘法5次加法，顯然浪費(fèi)時(shí)間.而另有一個(gè)聰明學(xué)生想：我在紙上先把g，g2、g3、g4、g5記下來(lái)這樣做了4次乘法，再把這5個(gè)g相應(yīng)與ai作乘法，又做5次，總共做了9次乘法，5次加法，中間還要耗費(fèi)空白紙記下gi，他仔細(xì)一想覺得不合算了，就接受了題目中的簡(jiǎn)便算法.現(xiàn)在請(qǐng)你用簡(jiǎn)便算法求出3進(jìn)制的N。N（210122）3（ ）108.在二進(jìn)制下，一個(gè)數(shù)擴(kuò)大2倍，就在右邊添一個(gè)0，擴(kuò)大4倍，右添二個(gè)0擴(kuò)大2倍，右添i個(gè)0.這個(gè)規(guī)則對(duì)嗎？類似規(guī)律在

17、八進(jìn)制下怎樣敘述？十六進(jìn)制下呢？請(qǐng)你自己想一下，如何“自圓其說(shuō)”地把二進(jìn)制數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)、小數(shù)，以及二進(jìn)制循環(huán)小數(shù)？10.如果天平兩邊都可以放砝碼，即可以調(diào)用兩砝碼的數(shù)值差，要稱物體而制造盡可能少的砝碼，借用多少進(jìn)位制？習(xí)題十四解答1.（518）10=（1006）8（1000000110）2=（206）16（201012）3（4033）0（1340）72.（AF01）16=10163+15162+1=44801=（244421）73.12481610245.十六進(jìn)制除法：6.三進(jìn)制乘法：七進(jìn)制乘法：7.N=（210122）3=235+134+033132+231+2（23+1）3+0）3+1）3

18、+2）32584。8.規(guī)律對(duì)的.（N）8，八進(jìn)制數(shù)擴(kuò)大8倍相當(dāng)于右邊添一個(gè)0；（N）16，十六進(jìn)制數(shù)擴(kuò)大16倍相當(dāng)于右邊添一個(gè)0。9.二進(jìn)制小于1大于0的數(shù)也叫純小數(shù)，整數(shù)部分記為0，后加小數(shù)二進(jìn)制分?jǐn)?shù)：分?jǐn)?shù)線上面寫二進(jìn)制整數(shù)，分?jǐn)?shù)線下面寫二進(jìn)制整數(shù)，值等于分子除以分母。二進(jìn)制循環(huán)小數(shù)，但是并非每個(gè)十進(jìn)制循環(huán)小數(shù)都可化成別的進(jìn)制循環(huán)小數(shù)的。此處含義：十進(jìn)制循環(huán)小數(shù)但在七進(jìn)制下，顯然不是一個(gè)循環(huán)小數(shù)10.天平兩邊均可放砝碼，調(diào)用三進(jìn)制合適.因?yàn)椋海?）10=（1）3，（2）10=（3-1）10=（10-1）3右邊放3克，左邊放1克，相當(dāng)于右邊放一個(gè)2克。（3）10（10）3，（4）10（10+1