中考數(shù)學(xué)壓軸題破解策略專題19中點(diǎn)模型

1、專題19中點(diǎn)模型破解策略1倍長(zhǎng)中線 在ABC中M為BC邊的中點(diǎn) 圖1 圖2 （1）如圖1，連結(jié)AM并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得MEAM連結(jié)CE則ABMECM （2）如圖2，點(diǎn)D在AB邊上，連結(jié)DM并延長(zhǎng)至點(diǎn)E使得MFDM連結(jié)CE，則BDMCEM， 遇到線段的中點(diǎn)問題，常借助倍長(zhǎng)中線的方法還原中心對(duì)稱圖形，利用“8”字形全等將題中條件集中，達(dá)到解題的目的，這種方法是最常用的也是最重要的方法 2構(gòu)造中位線 在ABC中D為AB邊的中點(diǎn)， 圖1 圖2 （1）如圖1，取AC邊的中點(diǎn)E，連結(jié)DE則DEBC，且DFBC （2）如圖2延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F使得CFBC連結(jié)CD，AF則DCAF，且DCAE 三角形的中位線從位置關(guān)

2、系和數(shù)量關(guān)系兩方面將將圖形中分散的線段關(guān)系集中起來通常需要再找一個(gè)中點(diǎn)來構(gòu)造中位線，或者倍長(zhǎng)某線段構(gòu)造中位線， 3等腰三角形“三線合一” 如圖，在ABC中，若ABAC通常取底邊BC的中點(diǎn)D則ADBC，且AD平分BAC 事實(shí)上，在ABC中：ABAC；AD平分BAC；BDCD，ADBC 對(duì)于以上四條語句，任意選擇兩個(gè)作為條件，就可以推出另兩條結(jié)論，即“知二得二” 4. 直角三角形斜邊中線如圖，在ABC看，ABC900，取AC的中點(diǎn)D，連結(jié)BD，則有BDADCDAC反過來，在ABC中，點(diǎn)D在AC邊上，若BDADCDAC，則有ABC900例題講解例1 如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的

3、中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AB的垂線，過點(diǎn)F作CD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G，連結(jié)AG、BG、CG且AGDBGC，若AD、BC所在直線互相垂直，求的值解 由題意可得AGB和DGC為共頂點(diǎn)等頂角的兩個(gè)等腰三角形，所以AGDBGC，AGDEGF方法一：如圖1，連結(jié)CE并延長(zhǎng)到H，使EHEC，連EH、AH，則AHBC，AHBC，而ADBC，ADBC所以ADAH，ADAH，連結(jié)DH，則ADH為等腰直角三角形，又因?yàn)镋、F分別為CH、CD的中點(diǎn)，所以方法二：如圖2，連結(jié)BD并取中點(diǎn)H，連結(jié)EH，F(xiàn)H則EHAD，且EHAD，F(xiàn)HBC，而ADBC，ADBC，所以EHF為等腰直角三角形，所以例2 如圖，在ABC中，BC22，

4、BDAC于點(diǎn)D，CEAB于E，F(xiàn)、G分別是BC、DE的中點(diǎn)，若ED10，求FG的長(zhǎng)解：連結(jié)EF、DF，由題意可得EF、DF分別為RTBEC，RTBDC斜邊的中線，所以DFEFBC11，而G為DE的中點(diǎn)，所以DGEG5，F(xiàn)GDE，所以RTFGD中，F(xiàn)G例3 已知：在RTACB和RTAEF中，ACBAEF900，若P是BF的中點(diǎn)，連結(jié)PC、PE（1） 如圖1，若點(diǎn)E、F分別落在邊AB、AC上，請(qǐng)直接寫出此時(shí)PC與PE的數(shù)量關(guān)系（2） 如圖2，把圖1中的AEF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E落在邊CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由（3）如圖3，若點(diǎn)F落在邊AB上，

5、則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由解（1）易得PCPEBF，即PC與PE相等（2）結(jié)論成立理由如下：如圖4，延長(zhǎng)CP交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則BCFD，易證BPCFPD，所以PCPD，而CED900，所以PECDPC（3） 結(jié)論仍成立，理由如下：如圖5，過點(diǎn)F作FDBC，交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，易得PDPC，F(xiàn)DBC所以而AFEPBCPFD，所以EAC18002AFEEFD，如圖，連結(jié)CE，ED，則EACEFD，所以AECFED，CEDAEF900，所以PECDPC例4 已知：ABC是等腰三角形，BAC900，DECE，DECEAC，連結(jié)AE，M是AE的中點(diǎn)（1） 如

6、圖1，若D在ABC的內(nèi)部，連結(jié)BD，N是BD的中點(diǎn)，連結(jié)MN，NE，求證：MNAE（2） 如圖2，將圖1中的CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使BCD300，連結(jié)BD，N是BD的中點(diǎn)，連結(jié)MN，求解：（1）如圖3，延長(zhǎng)EN至點(diǎn)F，使得NFNE，連結(jié)FB，易證DENBFN，從而可得BFDE，BFDE，延長(zhǎng)FB，CE交于點(diǎn)G，則G900，從而A、B、G、C四點(diǎn)共圓所以ABFACE，連結(jié)AF，所以ABFACE（SAS），所以AFAE，AFAE，而MNAF所以MNAE，MNAE（2）如圖4，同（1）可得，MNAE，MNAE，由題意可得AC2CE，作EHAC于H，則ECH600，所以CHECAC，EHAC，從而A

7、E，所以進(jìn)階訓(xùn)練1如圖，ABD和ACE都是直角三角形，其中ABD ACE90°，且點(diǎn)C在AB上，連結(jié)DE，M為DE的中點(diǎn)，連結(jié)BM，CM，求證：BMCM 【答案】略【提示】延長(zhǎng)CM，DB交于點(diǎn)F，則CBF90°，CMEFMD，從而BMCFCM2我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為”中垂三角形”如圖1，AF，BE是ABC的中線，且AFBE于點(diǎn)P，像ABC這樣的三角形均稱為“中垂三角形”，設(shè)BCa，ACb，ABc （1）猜想a 2，b2，c2三者之間的關(guān)系，并加以證明； （2）如圖2，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是AD，BC，CD上的中點(diǎn)BEEG，AD2，AB3求AF的

8、長(zhǎng)【答案】（1） a 2b2 5c2，證明略；（2） AF4【提示】（1）如圖，連結(jié)EF，由中位線定理可得在RtAPB，RtAPE和RtBPF中，利用勾股定理即可得到a 2b2 5c2； （2） 如圖，取AB的中點(diǎn)H，連結(jié)FH，AC，由中位線定理可得FHACEG，從而FHBE，易證APEFPB，所以APFP，所以ABF是“中垂三角形”從而利用（1）中結(jié)論求得AF的長(zhǎng)3巳知：ABC和ADE是等腰直角三角形，ACBADE90°，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)連結(jié)DF，CF （1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段DF，CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（不用證明）； （2）如圖2在（1）的條

9、件下將ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°請(qǐng)你判斷此時(shí)（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的判斷； （3）如圖3在（1）的條件下將ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，請(qǐng)你判斷此時(shí)（1）中的結(jié)論是否仍然成立，井證明你的判斷【答案】（1）DFCF，DFCF；（2）成立；（3）成立【提示】（2）延長(zhǎng)DF交BC于點(diǎn)G，則DEFGBF，從而得DFGF，CDCG，即得證（3）延長(zhǎng)CF至點(diǎn)G，使得FGCF，連結(jié)EG，則GECBCA，GEAC，可得CADGED連結(jié)DG，CD，從而ADCEDG（SAS）即得證4巳知：P是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合）分別過點(diǎn)A、C向直線BP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，O為AC的中點(diǎn)，如圖1將直線BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OFE 30