奧賽培訓(xùn)講義《曲線運(yùn)動(dòng) 萬(wàn)有引力》

1、第三部分 曲線運(yùn)動(dòng) 萬(wàn)有引力第一講 基本知識(shí)介紹一、曲線運(yùn)動(dòng)1、概念、性質(zhì)2、參量特征二、曲線運(yùn)動(dòng)的研究方法運(yùn)動(dòng)的分解與合成1、法則與對(duì)象2、兩種分解的思路a、固定坐標(biāo)分解（適用于勻變速曲線運(yùn)動(dòng)）建立坐標(biāo)的一般模式沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐標(biāo)；提高思想根據(jù)解題需要建直角坐標(biāo)或非直角坐標(biāo)。b、自然坐標(biāo)分解（適用于變加速曲線運(yùn)動(dòng)）基本常識(shí)：在考查點(diǎn)沿軌跡建立切向、法向n坐標(biāo)，所有運(yùn)動(dòng)學(xué)矢量均沿這兩個(gè)方向分解。動(dòng)力學(xué)方程，其中改變速度的大小（速率），改變速度的方向。且= m，其中表示軌跡在考查點(diǎn)的曲率半徑。定量解題一般只涉及法向動(dòng)力學(xué)方程。三、兩種典型的曲線運(yùn)動(dòng)1、拋體運(yùn)動(dòng)（類拋體運(yùn)動(dòng)）關(guān)

2、于拋體運(yùn)動(dòng)的分析，和新課教材“平跑運(yùn)動(dòng)”的分析基本相同。在坐標(biāo)的選擇方面，有靈活處理的余地。2、圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的處理：運(yùn)動(dòng)學(xué)參量v、n、a、f、T之間的關(guān)系，向心力的尋求于合成；臨界問(wèn)題的理解。變速圓周運(yùn)動(dòng)：使用自然坐標(biāo)分析法，一般只考查法向方程。四、萬(wàn)有引力定律1、定律內(nèi)容2、條件a、基本條件b、拓展條件：球體（密度呈球?qū)ΨQ分布）外部空間的拓展；球體（密度呈球?qū)ΨQ分布）內(nèi)部空間的拓展“剝皮法則”c、不規(guī)則物體間的萬(wàn)有引力計(jì)算分割與矢量疊加五、開(kāi)普勒三定律天體運(yùn)動(dòng)的本來(lái)模式與近似模式的差距，近似處理的依據(jù)。六、宇宙速度、天體運(yùn)動(dòng)1、第一宇宙速度的常規(guī)求法2、從能量角度求第二、第三宇宙速度

3、萬(wàn)有引力勢(shì)能EP = G3、解天體運(yùn)動(dòng)的本來(lái)模式時(shí)，應(yīng)了解橢圓的數(shù)學(xué)常識(shí)第二講 重要模型與專題一、小船渡河物理情形：在寬度為d的河中，水流速度v2恒定。岸邊有一艘小船，保持相對(duì)河水恒定的速率v1渡河，但船頭的方向可以選擇。試求小船渡河的最短時(shí)間和最小位移。模型分析：小船渡河的實(shí)際運(yùn)動(dòng)（相對(duì)河岸的運(yùn)動(dòng)）由船相對(duì)水流速度v1和水相對(duì)河岸的速度v2合成?？梢栽O(shè)船頭與河岸上游夾角為（即v1的方向），速度矢量合成如圖1（學(xué)生活動(dòng)）用余弦定理可求v合的大小v合=（學(xué)生活動(dòng)）用正弦定理可求v合的方向。令v合與河岸下游夾角為，則= arcsin1、求渡河的時(shí)間與最短時(shí)間由于合運(yùn)動(dòng)合分運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，故渡河時(shí)間

4、既可以根據(jù)合運(yùn)動(dòng)求，也可以根據(jù)分運(yùn)動(dòng)去求。針對(duì)這一思想，有以下兩種解法解法一： t = 其中v合可用正弦定理表達(dá)，故有 t = = 解法二： t = = = 此外，結(jié)合靜力學(xué)正交分解的思想，我們也可以建立沿河岸合垂直河岸的坐標(biāo)x、y，然后先將v1分解（v2無(wú)需分解），再合成，如圖2所示。而且不難看出，合運(yùn)動(dòng)在x、y方向的分量vx和vy與v1在x、y方向的分量v1x、v1y以及v2具有以下關(guān)系vy = v1yvx = v2 - v1x由于合運(yùn)動(dòng)沿y方向的分量Sy d ，故有解法三： t = = = t ()函數(shù)既已得出，我們不難得出結(jié)論當(dāng)= 90°時(shí)，渡河時(shí)間的最小值 tmin = （

5、從“解法三”我們最容易理解t為什么與v2無(wú)關(guān)，故tmin也與v2無(wú)關(guān)。這個(gè)結(jié)論是意味深長(zhǎng)的。）2、求渡河的位移和最小位移在上面的討論中，小船的位移事實(shí)上已經(jīng)得出，即S合 = = = 但S合（）函數(shù)比較復(fù)雜，尋求S合的極小值并非易事。因此，我們可以從其它方面作一些努力。將S合沿x、y方向分解成Sx和Sy ，因?yàn)镾y d ，要S合極小，只要Sx極小就行了。而Sx（）函數(shù)可以這樣求解法一： Sx = vxt =（v2 - v1x） =（v2 v1cos）為求極值，令cos= p ，則sin= ，再將上式兩邊平方、整理，得到這是一個(gè)關(guān)于p的一元二次方程，要p有解，須滿足0 ，即整理得 所以，Sxmin

6、= ，代入Sx（）函數(shù)可知，此時(shí)cos= 最后，Smin= = d此過(guò)程仍然比較繁復(fù)，且數(shù)學(xué)味太濃。結(jié)論得出后，我們還不難發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題：當(dāng)v2v1時(shí)，Smind ，這顯然與事實(shí)不符。（造成這個(gè)局面的原因是：在以上的運(yùn)算過(guò)程中，方程兩邊的平方和開(kāi)方過(guò)程中必然出現(xiàn)了增根或遺根的現(xiàn)象）所以，此法給人一種玄乎的感覺(jué)。解法二：純物理解矢量三角形的動(dòng)態(tài)分析從圖2可知，Sy恒定，Sx越小，必有S合矢量與下游河岸的夾角越大，亦即v合矢量與下游河岸的夾角越大（但不得大于90°）。我們可以通過(guò)v1與v2合成v合矢量圖探討v合與下游河岸夾角的最大可能。先進(jìn)行平行四邊形到三角形的變換，如圖3所示。當(dāng)變化時(shí)，

7、v合矢量的大小和方向隨之變化，具體情況如圖4所示。從圖4不難看出，只有當(dāng)v合和虛線半圓周相切時(shí)，v合與v2（下游）的夾角才會(huì)最大。此時(shí)，v合v1 ，v1、v2和v合構(gòu)成一個(gè)直角三角形，max = arcsin并且，此時(shí)：= arccos有了max的值，結(jié)合圖1可以求出：S合min = d最后解決v2v1時(shí)結(jié)果不切實(shí)際的問(wèn)題。從圖4可以看出，當(dāng)v2v1時(shí)，v合不可能和虛線半圓周相切（或max = arcsin無(wú)解），結(jié)合實(shí)際情況，max取90°即：v2v1時(shí)，S合min = d ，此時(shí)，= arccos結(jié)論：若v1v2 ，= arccos時(shí)，S合min = d 若v2v1 ，= arc

8、cos時(shí)，S合min = d二、滑輪小船物理情形：如圖5所示，岸邊的汽車用一根不可伸長(zhǎng)的輕繩通過(guò)定滑輪牽引水中的小船，設(shè)小船始終不離開(kāi)水面，且繩足夠長(zhǎng)，求汽車速度v1和小船速度v2的大小關(guān)系。模型分析：由于繩不可伸長(zhǎng)，滑輪右邊繩子縮短的速率即是汽車速度的大小v1 ，考查繩與船相連的端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況，v1和v2必有一個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成與分解的問(wèn)題。（學(xué)生活動(dòng)）如果v1恒定不變，v2會(huì)恒定嗎？若恒定，說(shuō)明理由；若變化，定性判斷變化趨勢(shì)。結(jié)合學(xué)生的想法，介紹極限外推的思想：當(dāng)船離岸無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，繩與水的夾角趨于零，v2v1 。當(dāng)船比較靠岸時(shí)，可作圖比較船的移動(dòng)距離、繩子的縮短長(zhǎng)度，得到v2v1 。故“船速增大”才

9、是正確結(jié)論。故只能引入瞬時(shí)方位角，看v1和v2的瞬時(shí)關(guān)系。（學(xué)生活動(dòng)）v1和v2定量關(guān)系若何？是否可以考慮用運(yùn)動(dòng)的分解與合成的知識(shí)解答？針對(duì)如圖6所示的兩種典型方案，初步評(píng)說(shuō)甲圖中v2 = v1cos，船越靠岸，越大，v2越小，和前面的定性結(jié)論沖突，必然是錯(cuò)誤的。錯(cuò)誤的根源分析：和試驗(yàn)修訂本教材中“飛機(jī)起飛”的運(yùn)動(dòng)分析進(jìn)行了不恰當(dāng)?shù)芈?lián)系。仔細(xì)比較這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的差別，并聯(lián)系“小船渡河”的運(yùn)動(dòng)合成等事例，總結(jié)出這樣的規(guī)律合運(yùn)動(dòng)是顯性的、軌跡實(shí)在的運(yùn)動(dòng)，分運(yùn)動(dòng)是隱性的、需要分析而具有人為特征（無(wú)唯一性）的運(yùn)動(dòng)。解法一：在圖6（乙）中，當(dāng)我們挖掘、分析了滑輪繩子端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)后，不難得出：船的沿水面運(yùn)動(dòng)是v

10、2合運(yùn)動(dòng)，端點(diǎn)參與繩子的縮短運(yùn)動(dòng)v1和隨繩子的轉(zhuǎn)動(dòng)v轉(zhuǎn) ，從而肯定乙方案是正確的。即：v2 = v1 / cos解法二：微元法。從考查位置開(kāi)始取一個(gè)極短過(guò)程，將繩的運(yùn)動(dòng)和船的運(yùn)動(dòng)在圖7（甲）中標(biāo)示出來(lái)，AB是繩的初識(shí)位置，AC是繩的末位置，在AB上取=得D點(diǎn)，并連接CD。顯然，圖中BC是船的位移大小，DB是繩子的縮短長(zhǎng)度。由于過(guò)程極短，等腰三角形ACD的頂角A0，則底角ACD90°，CDB趨于直角三角形。將此三角放大成圖7（乙），得出：S2 = S1 / cos 。鑒于過(guò)程極短，繩的縮短運(yùn)動(dòng)和船的運(yùn)動(dòng)都可以認(rèn)為是勻速的，即：S2 = v2 t ，S1 = v1 t 。所以：v2 =

11、v1 / cos三、斜拋運(yùn)動(dòng)的最大射程物理情形：不計(jì)空氣阻力，將小球斜向上拋出，初速度大小恒為v0 ，方向可以選擇，試求小球落回原高度的最大水平位移（射程）。模型分析：斜拋運(yùn)動(dòng)的常規(guī)分析和平拋運(yùn)動(dòng)完全相同。設(shè)初速度方向與水平面夾角，建立水平、豎直的x、y軸，將運(yùn)動(dòng)學(xué)參量沿x、y分解。針對(duì)拋出到落回原高度的過(guò)程0 = Sy = v0y t + （-g）t2Sx = v0x t解以上兩式易得：Sx = sin2結(jié)論：當(dāng)拋射角= 45°時(shí)，最大射程Sxmax = （學(xué)生活動(dòng)）若v0 、確定，試用兩種方法求小球到達(dá)的最大高度。運(yùn)動(dòng)學(xué)求解考查豎直分運(yùn)動(dòng)即可；能量求解注意小球在最高點(diǎn)應(yīng)具備的速度

12、v0x ，然后對(duì)拋出到最高點(diǎn)的過(guò)程用動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒。結(jié)論：Hm = 。四、物體脫離圓弧的討論物理情形：如圖8所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩一端固定，另一端系一小球。當(dāng)小球在最低點(diǎn)時(shí)，給球一個(gè)vo = 2的水平初速，試求所能到達(dá)的最大高度。模型分析：用自然坐標(biāo)分析變速圓周運(yùn)動(dòng)的典型事例。能量關(guān)系的運(yùn)用，也是對(duì)常規(guī)知識(shí)的復(fù)習(xí)。（學(xué)生活動(dòng)）小球能否形成的往復(fù)的擺動(dòng)？小球能否到達(dá)圓弧的最高點(diǎn)C ？通過(guò)能量關(guān)系和圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)，得出：小球運(yùn)動(dòng)超過(guò)B點(diǎn)、但不能到達(dá)C點(diǎn)（vC ），即小球必然在BC之間的某點(diǎn)脫離圓弧。（學(xué)生活動(dòng)）小球會(huì)不會(huì)在BC之間的某點(diǎn)脫離圓弧后作自由落體運(yùn)動(dòng)？盡管對(duì)于本問(wèn)題，能量分析

13、是可行的（BC之間不可能出現(xiàn)動(dòng)能為零的點(diǎn)，則小球脫離圓弧的初速度vD不可能為零），但用動(dòng)力學(xué)的工具分析，是本模型的重點(diǎn)在BC階段，只要小球還在圓弧上，其受力分析必如圖9所示。沿軌跡的切向、法向分別建、n坐標(biāo)，然后將重力G沿、n分解為G和Gn分量，T為繩子張力。法向動(dòng)力學(xué)方程為T + Gn = Fn = man = m由于T0 ，Gn0 ，故v0 。（學(xué)生活動(dòng)：若換一個(gè)v0值，在AB階段，v = 0是可能出現(xiàn)的；若將繩子換成輕桿，在BC階段v = 0也是可能出現(xiàn)的。）下面先解脫離點(diǎn)的具體位置。設(shè)脫離點(diǎn)為D，對(duì)應(yīng)方位角為，如圖8所示。由于在D點(diǎn)之后繩子就要彎曲，則此時(shí)繩子的張力T為零，而此時(shí)仍然在

14、作圓周運(yùn)動(dòng)，故動(dòng)力學(xué)方程仍滿足Gn = Gsin= m 在再針對(duì)AD過(guò)程，小球機(jī)械能守恒，即（選A所在的平面為參考平面）：m+ 0 = mg ( L + Lsin) +m 代入v0值解、兩式得：= arcsin ，（同時(shí)得到：vD = ）小球脫離D點(diǎn)后將以vD為初速度作斜向上拋運(yùn)動(dòng)。它所能到達(dá)的最高點(diǎn)（相對(duì)A）可以用兩種方法求得。解法一：運(yùn)動(dòng)學(xué)途徑。先求小球斜拋的最大高度，hm = = 代入和vD的值得：hm = L小球相對(duì)A的總高度：Hm = L + Lsin+ hm = L解法二：能量途徑小球在斜拋的最高點(diǎn)仍具有vD的水平分量，即vDsin= 。對(duì)A最高點(diǎn)的過(guò)程用機(jī)械能守恒定律（設(shè)A所在的

15、平面為參考平面），有m+ 0 = + mg Hm容易得到：Hm = L五、萬(wàn)有引力的計(jì)算物理情形：如圖9所示，半徑為R的均質(zhì)球質(zhì)量為M，球心在O點(diǎn)，現(xiàn)在被內(nèi)切的挖去了一個(gè)半徑為R/2的球形空腔（球心在O）。在O、O的連線上距離O點(diǎn)為d的地方放有一個(gè)很小的、質(zhì)量為m的物體，試求這兩個(gè)物體之間的萬(wàn)有引力。模型分析：無(wú)論是“基本條件”還是“拓展條件”，本模型都很難直接符合，因此必須使用一些特殊的處理方法。本模型除了照應(yīng)萬(wàn)有引力的拓展條件之外，著重介紹“填補(bǔ)法”的應(yīng)用。空腔里現(xiàn)在雖然空無(wú)一物，但可以看成是兩個(gè)半徑為R/2的球的疊加：一個(gè)的質(zhì)量為+M/8 ，一個(gè)的質(zhì)量為M/8 。然后，前者正好填補(bǔ)空腔和

16、被挖除后剩下的部分構(gòu)成一個(gè)完整的均質(zhì)球A ；注意后者，雖然是一個(gè)比較特殊的物體（質(zhì)量為負(fù)值），但仍然是一個(gè)均質(zhì)的球體，命名為B 。既然A、B兩物均為均質(zhì)球體，他們各自和右邊小物體之間的萬(wàn)有引力，就可以使用“拓展條件”中的定勢(shì)來(lái)計(jì)算了。只是有一點(diǎn)需要說(shuō)明，B物的質(zhì)量既然負(fù)值，它和m之間的萬(wàn)有“引力”在方向上不再表現(xiàn)為吸引，而應(yīng)為排斥成了“萬(wàn)有斥力”了。具體過(guò)程如下FAm = GFBm = G = G最后，兩物之間的萬(wàn)有引力 F = FAm + FBm = GG需要指出的是，在一部分同學(xué)的心目中，可能還會(huì)存在另一種解題思路，那就是先通過(guò)力矩平衡求被挖除物體的重心（仍然要用到“填補(bǔ)法”、負(fù)質(zhì)量物體的

17、重力反向等），它將在O、O的連線上距離O點(diǎn)左側(cè)R/14處，然后“一步到位”地求被挖除物與m的萬(wàn)有引力F = G然而，這種求法違背了萬(wàn)有引力定律適用的條件，是一種錯(cuò)誤的思路。六、天體運(yùn)動(dòng)的計(jì)算物理情形：地球和太陽(yáng)的質(zhì)量分別為m和M ，地球繞太陽(yáng)作橢圓運(yùn)動(dòng)，軌道的半長(zhǎng)軸為a ，半短軸為b ，如圖11所示。試求地球在橢圓頂點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，以及軌跡在A、C兩點(diǎn)的曲率半徑。模型分析：求解天體運(yùn)動(dòng)的本來(lái)模式，常常要用到開(kāi)普勒定律（定量）、機(jī)械能守恒（萬(wàn)有引力勢(shì)能）、橢圓的數(shù)學(xué)常識(shí)等等，相對(duì)高考要求有很大的不同。地球軌道的離心率很小（其值0.0167 ，其中c為半焦距），這是我們常常能將它近似為

18、圓的原因。為了方便說(shuō)明問(wèn)題，在圖11中，我們將離心率夸大了。針對(duì)地球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程，機(jī)械能守恒m+（）= m+（）比較A、B兩點(diǎn)，應(yīng)用開(kāi)普勒第二定律，有：vA（ac）= vB（a + c）結(jié)合橢圓的基本關(guān)系：c = 解以上三式可得：vA = ， vB = 再針對(duì)地球從A到C的過(guò)程，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，有m+（）= m+（）代入vA值可解得：vC = 為求A、C兩點(diǎn)的曲率半徑，在A、C兩點(diǎn)建自然坐標(biāo)，然后應(yīng)用動(dòng)力學(xué)（法向）方程。在A點(diǎn)，F(xiàn)萬(wàn) = Fn = m an ，設(shè)軌跡在A點(diǎn)的曲率半徑為A ，即：G= m代入vA值可解得：A = 在C點(diǎn)，方程復(fù)雜一些，須將萬(wàn)有引力在、n方向分解，如圖12所示。然后，F(xiàn)萬(wàn)n =Fn = m an ，即：F萬(wàn)cos= m即：G· =